第12講解直角三角形實(shí)際應(yīng)用

（限時(shí)120分鐘,滿分120分）

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

I.在RS48C中，ZC=90°,AB=\（）i4C=8,則cosB的值等于（）

3435

A.-B.-C.-D.-

5543

2.如圖，在△入8c中，ZC=90°,設(shè)NA,ZB,NC所對(duì)的邊分別為出b,c,則（）

A.a=bsinBB.b=csinBC.a=btanBD.h=ctanB

3.在正方形網(wǎng)格中，N/3AC如圖所示放置，則cosN/MC等于（)

4.如圖是梯子兩梯腿張開(kāi)的示意圖，A8=AC=2米，梯腿與地面的夾角/AC8=0,則梯子頂端高水平地

面的高度A?？杀硎緸椋ǎ?/p>

A.2sin6米B.2cos8米c高米D.3小

cosO

5.在△A8C中，若NA,N8滿足|cos4-苧|+（1-￡即8）2=0,且NA,N4均為銳角，則NC的度數(shù)

為（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

6.要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a一般要滿足50。S區(qū)75。，如果

現(xiàn)在想要安仝地攀上5切高的墻，那么使用的梯子最短約為（）〃?.（結(jié)果精確到0.1,〃）（sin50%0.77,

cos50°^0.64,sin75°~0.97,cos75°~0.26)

A.4.9B.5.2C.6.5D,19.2

7.靜止在斜面上的立方體受到的重力和摩擦力如圖所示，重力G的方向豎直向下，摩擦力/的方向與斜

面平行.若斜面的坡角a=18。，則重力G與摩擦力/的夾角。的大小為（）

A.162°B.108°C.72°D.18°

8.如表是小林填寫的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告的部分內(nèi)容:

題目測(cè)量孔子像的高度

測(cè)量目標(biāo)及其示意

圖

相關(guān)數(shù)據(jù)8七=1.8機(jī)，CD=2.0/M,Za=20°,Zp=62°

根據(jù)以上信息，可求出孔子像的高度約為（）

（結(jié)果精確到0.1處參考數(shù)據(jù)：tan20OY）.36,tan62%1.88）

A.39〃B.3.8/nC.3.6wD.3.4w

9.如圖，在RsABC中，NACB=90。，點(diǎn)。為/W上一點(diǎn),連接CO.若tanA=：,BC=CD=2,則4。

的長(zhǎng)為（）

D.2Vs

10.我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓

合體，而無(wú)所失矣”.即通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開(kāi)始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓

內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，…，邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng).再

根據(jù)“圓周率等于圓周長(zhǎng)與該圓直徑的比”來(lái)計(jì)算圓周率.設(shè)圓的半徑為R,圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周

長(zhǎng)/6=6R,則兀。梟=3.再利用圖2圓的內(nèi)接正十二邊形計(jì)算圓周率，首先要計(jì)算它的周長(zhǎng)，下列結(jié)

C.Zi2=24/?sin30°D./i2=24/?cos30°

填空題（共5小題,滿分15分，每小題3分）

11.在RsABC中，ZB=90°,sinC=則cos4=.

12.如圖，在4x3的網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A、8、C、。都在小正方形的頂點(diǎn)上，A/ACQ相交于點(diǎn)E,則sinNBEO

的值是________________

13.由于木質(zhì)衣架沒(méi)有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作且不易收納.小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用

時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開(kāi)即可.如圖①，衣架桿CM=（M=20a*/AO8=120。；若衣架收

攏時(shí)，NAO8=60。,如圖②所示；則收攏時(shí)的寬度比松開(kāi)時(shí)的寬度縮短了cm.（保留一位

小數(shù)，V3?1.73)

圖①圖②

14.如圖，在△ABC中，ZACT=120°,AC=BC,E是邊BC上的一點(diǎn)，尸是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，G為

A尸的中點(diǎn)，連接EG.若CF=2BE,則lan/GE/7的值為

15.如圖，在矩形/WC。中，"=4,/1/）=!（）,E,b是BC邊上兩點(diǎn)，且8E=3,CF=2,連接AF,DE,

AF和DE交于點(diǎn)G,連接BG,則cosZABG的值是_______________________.

三,解答題（共8小題，滿分75分）

16.（7分）如圖，在綜合實(shí)踐活動(dòng)課中，小敏為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿八8的高度，站在教學(xué)樓的。處測(cè)得旗

桿底端4的俯角為60。，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30。.若旗桿與教學(xué)樓的距離CO=6米，求旗桿A3

17.（7分）2025年1月7日凌晨4點(diǎn)，長(zhǎng)征三號(hào)乙火箭攜尾焰騰空巨響，將實(shí)踐二十五號(hào)衛(wèi)星送入預(yù)定

軌道.這一偉大時(shí)刻，凝聚著無(wú)數(shù)航天人的智慧與汗水，承載著中華民族對(duì)宇宙探索的夢(mèng)想與追求.如

圖，運(yùn)載火箭從地面。處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，地面。處的雷達(dá)站測(cè)得人。=4（場(chǎng)〃，2秒后，火箭

豎直上升到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)地面C處的雷達(dá)測(cè)得B處的仰角/OCB=45。，O,C,。在同一直線上，

已知。0=20bkm,CQ=4.6b〃，求火箭從4到8處的平均速度.（結(jié)果精確到M〃心，參考數(shù)據(jù)：W工

1.732）

18.（7分）為切實(shí)保障學(xué)生睡眠質(zhì)量，某校使用了一批如圖I所示的可躺式課桌椅.該套課桌椅在某種躺

睡模式下的側(cè)面（材料厚度忽略不計(jì)）如圖2所示，椅子的椅面AB與地面MN平行，桌腿PQ及椅腿

C。都垂直于地面MN,CD=40c7H,PQ=68C"1,椅背8E=S6cm,此時(shí)椅背最高點(diǎn)E剛好落在桌面”G

上，椅面與椅背BE構(gòu)成的夾角/ABE=135。，桌面/G與桌腿PQ構(gòu)成的夾角/尸PQ=37。，求此

時(shí)點(diǎn)E到地面的距離及點(diǎn)E到點(diǎn)尸的距離.（結(jié)果精確到01c孫參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.60,cos370=0.80,

tan37°==0.75,V2?1.41)

圖I

19.（9分）小明從家4步行前往公園E,已知點(diǎn)E在點(diǎn)4的正東方向，但是由于4E道路施工，小明先沿

正北方向走了600米到達(dá)8處，再?gòu)?處沿北偏東60。方向行走600米到達(dá)。處，從。處沿正東方向

走了500米到達(dá)。處，在。處休息了6分鐘，最終沿Q-E方向到達(dá)E處，已知點(diǎn)E在點(diǎn)。的南偏東

45。方向.小明從家出發(fā)的同時(shí)，爺爺從家選擇另一路線A-F-E后步行前往E處，已知點(diǎn)少在點(diǎn)4

的南偏東60。方向，且點(diǎn)/；在點(diǎn)七的正南方向.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,V3?1.732）

（1）求AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1米）；

（2）已知小明步行速度為80米/分鐘，爺爺步行速度為70米/分鐘，小明和爺爺始終保持勻速行駛，請(qǐng)

計(jì)算說(shuō)明小明和爺爺誰(shuí)先到達(dá)公園？（結(jié)果保留一位小數(shù)）

20.（9分）綜合與實(shí)踐.

在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)測(cè)算某熱氣球的高度，探索實(shí)際生活中測(cè)量高度（或距離）的方

法.

【實(shí)踐活動(dòng)】如圖1,小明、小亮分別在點(diǎn)B,C處同時(shí)測(cè)得熱氣球4的仰角NABO=45。，NACO=53。,

BC=I5〃7,點(diǎn)B,C,D在地面的同一條直線上，ADLBD于點(diǎn)O.（測(cè)角儀的高度忽略不計(jì)）

【問(wèn)題解決】（1）計(jì)算熱氣球離地面的高度

474

（參考數(shù)據(jù)：sin53°右q,cos53°?tan53°?

oFo,o

【方法歸納】小亮發(fā)現(xiàn),原來(lái)利用解直角三角形的知識(shí)可以解決實(shí)際生活中的測(cè)量問(wèn)題，其一般過(guò)程為：

從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，再通過(guò)解直角三角形得出實(shí)際問(wèn)題的答案.

愛(ài)思考的小明類比該方法求得銳角三角形一邊上的高.根據(jù)他的想法與思路，完成以下填空：

（2）如圖2,在銳角三角形"C中，設(shè)/4BC=a,BC=m,ADLBC于點(diǎn)D,用含a,p

和的代數(shù)式表示AD.

解：設(shè)A/）=x,因?yàn)閕ana=

所以叱嬴?

同理，因?yàn)?2呻=器=5，

所以CD=①_______________________.

因?yàn)锽C=BD+CD=m,

解得.『②_______________________.

即可求得4D的長(zhǎng).

21.（9分）廣州地鐵經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，地鐵出入口更加人性化和便民化.如圖1是某地鐵出入口，有步梯

和電梯兩種由地下層通往地面層的出入方式.其截面如圖2所示，A/3是由地下直通地面的電梯，AC,

CD,DE,EF,FB是步梯，AC,DE,/步的傾角相同，CD,Eb與地面平行.已知電梯/W全長(zhǎng)30米，

傾角NB4H為37。，。。=后尸=3米.

（1）求地面層與地下層的垂直高度8"；

（2）求步梯AC的傾角NCAH的正切值和步梯通道的全長(zhǎng).

參考數(shù)據(jù)：sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°~0.75.

22.（13分）探究發(fā)現(xiàn)：多出來(lái)一塊巧克力

現(xiàn)有一塊4x6的巧克力板，每小塊巧克力是邊長(zhǎng)為1的正方形，海燕先從兩邊端點(diǎn)M、N處斜向切開(kāi)再

從點(diǎn)￡處向下切開(kāi)（如圖1）,與MN交于點(diǎn)￡把巧克力分成八。、K三塊（如圖2）,再將這三塊重

組合起來(lái)（如圖3）,海燕驚喜地發(fā)現(xiàn)巧克力居然多出一塊.于是海燕猜想按照這樣不停地操作下去，

有吃不完的巧克力了.

（1）海燕猜想是否正確;

二

2

\一

NN

MM(F)

圖4

23.（14分）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)要借助尢人機(jī)測(cè)量某山坡上信號(hào)塔頂端E到地面的距離EE

活動(dòng)內(nèi)容測(cè)量信號(hào)塔頂端到地面的距離EF

活動(dòng)目的運(yùn)用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題

測(cè)量工具無(wú)人機(jī)、測(cè)量角度的儀器、皮尺等

測(cè)量示意說(shuō)明：如圖為信號(hào)塔和建筑物的側(cè)面示意

圖