考點培優(yōu)練01空間幾何體的結構、表面積與體積

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目錄

考點01空間幾何體的直觀圖...............................................1

考點02空間點、線、面的位置關系.................4

考點03空間中的向量運算...........................7

考點04空間幾何體的表面積、體積.................10

考點05球的切接、問題............................12

考點06截面、交線問題............................17

考點07立體幾何中的動態(tài)、軌跡問題...............23

???考點通關

考點01空間幾何體的直觀圖

I------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I直觀圖

i（1）畫法：常用斜二測畫法.

12）規(guī)則：

j①原圖形中x軸、軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中廣軸、y'軸的夾角為45?；?35。.

\②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于X軸和Z軸的線段在直觀圖

:中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

1.（2025?全國?模擬預測）用斜二測畫法畫出的一個水平放置的平面四邊形的直觀圖面積為拉，則以該平

面四邊形為底面的一個高為6的四棱錐的體積為（）

A.6B.8C.12D.24

【答案】B

【詳解】由S尺出圖=^S原圖得原平面四邊形面積為'2=4,

門次閉4際陽J2

所以以該平面四邊形為底面的一個高為6的四棱錐的體積為gx4x6=8,

故選:B

2.（24-25高三"重慶?階段練習）已知正三棱錐的體積為更，其底面三角形的斜二測直觀圖面積為逐，

3

則三棱錐的高為（）

A.2B.-C.1D"

22

【答案】A

【詳解】設底面三角形面積為S,三棱錐的高為〃，

由直觀圖的性質得如=受，解得S=4V5,

S4

因為正三棱錐的體積為至，所以,X46乂力=隨，解得力=2,故A止確.

333

故選:A

3.（2024.浙江杭州.模擬預測）已知正三棱錐的高為2,其底面三角形的斜二測直觀圖面積為石，則三棱錐

的體積為（）

A.述BD.2

3-I4

【答案】A

【詳解】正三棱錐的底面為正三角形，設其邊長為〃，底面三角形的斜二測直觀圖如圖示:

4

故三棱錐的體積為%&2;孚

故選：A

4.（多選題）（2025?陜西西安?二模）如圖，四邊形ABC。的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形AB'CD',已知

A8'=4,cry=2,則下列說法正確的是（）

5’（才）B'父

A.AD=2>f2B.AB=4

C.四邊形A48的面積為6萬D.四邊形A4CO的周長為6+#+&

【答案】BC

【詳解】A選項，過點C,。作CM0M垂直于f軸于點M

因為等腰梯形AEC77中A8=4,CD'=2,

所以MV=2,A!M--1,

乂/DWM=45。，所以A7）'=&，A錯誤；

B選項，由斜二測法可知八4==4,B正確；

C選項，作出原圖形，可知AO=2A'O'=2x^，AB=4，8=2,AD1AB,

故四邊形ABCD的面積為+=6夜，C正確；

D選項，過點。作。〃_LA8J?點口，

則A”=CO=2,BH=4-2=2,CH=AD=2叵，

由勾股定理得BC=y]BH2+CH2=25/3，

四邊形4BCD的周K為AB+C/）+A/）+BC=4+2+2j5+2j5=6+2&+2j5,D錯誤.

故選：BC.

5.（多選題）（2025?遼寧?三模）有一張長方形的紙（如圖所示），現(xiàn)可任意沿虛線將其剪開或折疊（不將紙

剪斷），可以得到的圖形的直觀圖是（）

【答案】ABD

【詳解】

KLMNO

FGHI

ABCDE

A項沿著LG和M豎線剪開，沿中間線上翻得到.

B項。/和C"線剪開，LG和線剪開，沿中間線上翻得到.

C項四邊形和四邊形NCHG都被剪了，四邊形和四邊形位置沖突，所以不可能得到.

D項沿LG和M剪開，沿中間線二翻，再沿?！ň€剪開，沿中間線下翻得到.

故選：ABD.

考點02空間點、線、面的位置關系

「???■?????■????■■?■?■■■?■,■?■■■??,?■??????????■?■?■，■???■?■?■?■??■■■?■?■?????????■?■?■■?■?????■???????■???????■???■???■???■???????■???■■■■■?■?■?■?，

卜.基本事實1:過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.

i基本事實2：如果一-條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.

:基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

:基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

\2.“三個”推論

:推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

:推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面.

:推論3：經過兩條平行直線，有士只有一個平面.

?1

3.空間中直線與直線的位置關系

西至直線:在同一平面內，有且只有一

個公共點；

（平行直線:在同一平面內,沒有公共點;

異面直線:不同在任何一個平面內,沒有公共點.

?1???■?????■?????■???■?■?????????????■?????■???■?■?■?■?????■?????■???????????????■???????????????■???■???????????■???■?■???■???■?????■???????????????■?■??

1.（25-26高三上?廣東廣州荔灣區(qū)?調研）空間中有兩個不同的平面火/?和兩條不同的直線7%九，則下列命題正

確的是（）

A.若a1/7,m11九，貝！n1/?

B.若a1/7,m1a,九1￡,則m1n

C.若則n//a

D.若"ua,7i//3mu3nl//a,則a///?

【答案】B

【詳解】選項A,若。_10,血_1%加JL?i,則幾與0可以相交，也可以平行，不一定垂直，A錯；

選項B,若a_L/?,m1a,n_L0,則直線zn,n的方向向量分別是平面a,0的法向量兩平面垂直，

即為它們的法向量垂直，則mlmB正確；

選項C,若nl￡,且al￡,則九〃a或nua,C錯；

選項D,若nuu則可能有。〃0,也可能c,/?相交，D錯.

故選：B.

2.設機，〃是兩條直線，a,0是兩個平面，則下列命題為真命題的是（）

A.若m1a>n1/?,m//n,則a1p

B.若aCi6=m,n//a,n///?,fflm//n

C.若mca,nu6，m//n,則a///?

D.若a1/?,m〃Q,n//p,則m_Ln

【答案】B

【詳解】對于A,由m1a,m//n,得幾J.a,而n10,則a〃3，A錯誤；

對于B,由〃〃a,得存在過鹿的平面yna=a且a與tn不重合，則a〃九，

由〃/夕，得存在過〃的平面6C。=b,則匕〃九〃a,

又因此。〃/?,又aC6=m,則m〃a〃n,B正確；

對于C,由mua,nuB，m//n,得a與￡相交或平行，C錯誤；

對于D,由a10,m//a,n/",得ni與n相交、平行或異面，D錯誤.

故選：B

3.（24-25高三?安徽蚌埠?）給出下列四個判斷：

①若a,b為異面直線，則過空間任意一點P,總可以找到直線與a,b都相交.

②對平面a,0和直線Z,若a工0,lip,貝”IIa.

③對平面a,0和直線Z,若！_La,1//B，則a10.

④對直線，1，%和平面。，若L〃a，Z2//G?且，2過平面a內一點P，則，2ua.

其中正確的判斷有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【詳解】對于①，過直線b上一點咋直線優(yōu)IIQ,設過優(yōu)和匕的平面為a,則當點P在平面a內，且不在直線b上

時，找不到直線同時與a,b都相交，故①錯誤；

對于②，由題可得］可能在。內，故②錯誤；

對于③，因〃"，則在/?內存在n，使，〃n,則nla,又nu￡,則aJL￡,故③正確；

對于④，因1"/a,Z2//^i?則，2ua或，2〃。，又，2過平面a內一點P，則%ua,故④正確.

故選:B

4.設a、b是兩條不重合的直線，a、/?、y是三個不重合的平面，貝!下列命題中錯誤的是（）

A.若Q||a,bua,則Q||b

B.若aII夕,aCy=a,/?Cy=b,則a||h

C.若Q110,則QIIb

D.若aIIp,a1.a,bLP,則aIIb

【答案】A

【詳解】若aIIa,bca,則a||b或a與b互為異面直線，故A錯誤；

若a||p,any=a,pC\y=b,由面面平行的性質定理，可得aIIb,故B正確；

若aJLJL"，由線面垂直的性質，可得aIIb,故C正確；

若a||p,a1a,則Q10,

又因為bl/7,a,0是兩個不同的平面，a、b是兩條不重合的直線，則aIIb,D選項正確；

故選：A

5.（24-25高三下?天津濱海新區(qū)?三模）已知7九，n是兩條不同的直線，a,S是兩個不同的平面，則下列命題

正確的是（）

A.若m//a,九ua,貝1J771//71B.若77i〃a,m//n,貝i]7i〃a

C.若m1a,n1/7,mln,則a10D.若al/7,an/?=Z,mil,則m_La

【答案】C

【詳解】對于A,由m〃a,nca,則7九〃九或犯幾異面，故A錯誤；

對于B,由加〃0,m//n,貝ij〃〃a或〃ua,故B錯誤；

對于C,由mla,mln,則〃//a或nua,

則在平面。內存在直線a〃九，而n10,則al/?,所以a10,故C正確；

對于D,由al/7,an/?=Lmil,

只有當?nu￡或ni〃/?時，m1.a,故D錯誤.

故選:C.

考點03空間中的向量運算

1.空間向量的有關定理

(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a,b(bWQ),a〃。的充要條件是存在實數(shù)九使小邁.

(2)共面向量定理：如果兩個向量m力不共線，那么向量p與向量m)共面的充要條件是存在唯二的

有序實數(shù)對(x,丁)，使pra+vb.

(3)空間向量基本定理

如果三個向量a,b,。不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數(shù)組(心j,z),使得

p=xa±ybizc.{a,b,c}叫做空間的一個基底.

2.空間向量的數(shù)量積及運算律

(1)數(shù)量積

非零向量”，力的數(shù)量積

。力二|a||〃|cos〈。，垃.

(2)空間向量的坐標表示及其應用

1.(24-25高三下.遼寧鞍山第二十四中學.一模)已知向量G=(3,5,1),S=(2,1,4),則0+3)?5=()

A.36B.32C.56D.52

【答案】A

【詳解】向量左=(3,5,1),(2,1,4),則五+B=(5,6,5),

所以(d+B)?B=2x5+6xl+4x5=36.

故選：A

2.已知空間向量d=(2,2,—1),平面。的一個法向量為元=(4,0,3),則向量日在平面a上的投影向量是()

A.-?24)B.C，0,|)c?(”-|)D.”,-苧

【答案】D

【詳解】向量五在平面a法向量運=(4,0,3)上的投影向量:

著備=?(4，。，3)=6。，9,

設C=(2,2,-1)在平面a上的投影向量是2

則［+801)=(2,2,-1),

所以5=C，2，_§

故選：D

3.如圖，在平行六面體718。。一為8￡。1中，M為41cl與8必的交點.若麗=d,AD=b,AAi=c,則

卜列向審中與兩相等的向敢是(

.iir.

A.-—a—b+c

22

C聲+轉+1D.-ra+rS+c

【答案】D

【詳解】因為M為4G與&D］的交點，所以M是&G與叢。1的中點,

所以的=西+鉗=西+^^77+(^^=荏+(而+標=-1a+|S+c.

故選：D.

4.在正三棱錐力-BCD中，。為△BCD外接圓圓心，則彳5=()

7.....?2—?7........

A.AB+AC+ADB.*8+"。+1。

C.3而+g無+3而D.lAB^AC^AD

【答案】D

【詳解】如圖，在正三棱錐A-BCD中，取CD中點M,連接AM,8M,

則點。為底面中心，且在8M上，

所以而=AB+~BO

一2—?

=AB+-BM

2

=AB+-（AM-AB）＞

o

=工前+4；（而+而）=工通+二就+［而.

332333

故選：D.

5.已知平行六面體力。。。一4兄6。1中力力I=3,夕。=4,而7?反一函?三=5,貝ijcos（刀I；前）=（）

A.-B.--C.-D.--

1212IS1S

【答案】B

【詳解】如圖：

?.?砥?沆-福友=須+DD^)DC-(AB+兩)?前=頌+

AA^)^AB-(AB+AA^AD

+AA^-AB-AB-AD-AA^-AD=AA^-AB-AA^-AD=AA^-(AB-AD^AA^'DB=5,

故選：B.

考點04空間幾何體的表面積、體積

幾何體、表面積體積

柱體S&=S他+2S底V=Sh

錐體S&=S側+S帳V=^Sh

學潭

臺體S&=S但+S上+SbV13+JS|5

球表兀序vA/e3

S=43—

1.（25-26高三上?甘肅武威涼州區(qū)?）亭是我國古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場所，也是

園林風景的重要點綴.重檐圓亭（圖1）是常見的一類亭，其頂層部分可以看作是一個圓錐和一個圓臺的組

合體.已知某重檐圓亭圓臺部分的直觀圖如圖2所示，在其軸截面48C0中，AB=4m,CO=6m,點力到CO

的距離為1m,則該圓臺的側面積為

【答案】D

【詳解】過點/，作因為點4到CO的距離為1m,所以/E的長度為1m,

因為=4m,CD=6m,所以。E=—=Im,I=AD=7DE?+AE2=V2m,

r==2

i~2m,r2=-^=3m,S=71(4+r2)Z=5V2nm.

故選：D.

2.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等且它們的高均為則圓錐的體積為（）

A.2A/2TEB.3\/2TTC.6V2TTD.9或IT

【答案】A

【詳解】設圓柱和圓錐的底面半徑均為R,側面積分別為Si，S2，

則圓錐的母線/=

所以51=2&TTR,S2=/2TTR?V2+R2=TTR?12+腔,

又因為工=52，

即2或nR=TTR-J2+R2,解得R2=6,

所以圓錐的體積V=—-V2=2V2IT.

故選：A.

3.（25-26高三上?遼寧大連部分高中學校?）空間中有一正方體48CZ）-4I8IGDI，將點4即&a依次連接,

得到體積為舊的三棱錐，則正方體的體積為（）

A.12V2B.24C.6y/6D.36

【答案】D

【詳解】

由題意可得，三棱錐的體積等于正方體的體積減去四個體枳相等的三棱錐體積，

即匕-/CD]=以BCDTiBiG%-^B-ABtC-^D-ADtC-^At-ABrDr一七一兩小

設正方體的邊長為a,貝U有V5=M_4Qxxa?xa）==Q=0，

所以正方體體積為3V5，

故選:D.

4.（24-25島三下?廣東廣州執(zhí)信中學?模擬）如圖是一個直徑為12cm的球形容器和一個底面直徑為4cm、深9cm

的圓柱形水杯（壁厚均不計），則球形容器裝滿時，約可以倒?jié)M水杯（）

A.4杯B.6杯C.8杯D.16杯

【答案】C

【詳解】球形容器的直徑為12cm，則半徑為6cm,

所以球形容器的體積匕=x63=2887T(cm?),

底面直徑為4cm、深9cm的圓柱形水杯的底面半徑為2cm,

所以圓柱形水杯的體積丫2=nx22x9=361T(crrP),

所以匕=8%,則球形容器裝滿時，約可以倒?jié)M水杯8杯.

故選:C

5.已知一個底面半徑為I的圓錐側面展開圖形的面積是底面面積的4倍，則該圓錐的母線長為()

A.4B.IC.2D.6

【答案】A

【詳解】設該圓錐的底面半徑為，，母線長為/，

由題意nrZ=4TU*2,所以！=釬=4.

故選:A

考點05球的切接、問題

r--------------------------------------------------------------------------------------

\一、正方體與球

jI.內切球：內切球直徑2R=正方體棱長”

：2.棱切球：棱切球直徑2R=正方體的面對角線長&口

；3.外接球：外接球直徑2R二正方體體對角線長V54

：二、長方體與球

;外接球：外接球直杼2R=體對角線長近2+稅+「2(〃.「分別為長方體的長、寬、高).

I

三、正棱錐與球

1.內切球：憶E極吟S表底以筆體積法），「是內切球半徑，/1為正棱錐的高.

2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E,半徑為r,配=（小R）2+d（正棱錐外

接球半徑為R，高為〃）.

四、直棱柱的外接球

球心到直棱柱兩底面的距離相等，直棱柱兩底面外心連線的中點為其外接球球心慶2=（小2+3（直棱柱的

外接球半徑是R,高是力，底面外接圓半徑是一）.

五、圓柱的外接球

R=J（￥+/便是圓柱外接球的半徑，力是圓柱的高，「是圓柱底面圓的半徑）.

六、圓錐的外接球

R2=〃?-R）2+/（R是圓錐外接球的半徑，力是圓錐的高，/?是圓錐底面圓的半徑）.

?1

1.已知圓錐AP的軸截面是斜邊為2的直角三角形，球。的半徑等于圓錐AP的高，則圓錐4P的表面積與球。

表面積之比為（)

6+1

A.V2+1r

B.嚕4D.平

【答案】C

【詳解】圓錐力P的軸截面是斜邊為2的直角三角形,

則圓錐的高為I,母線長為近,

所以該質I錐的表而積為7TX1XV2+7TX12=（V2+1）7T,

球0的半徑為1,表面積為4TT,

所以圓錐4P的表面積與球。表面積之比為烏

4

故選:C

2.（25?26高三?遼寧鞍山?）中國古代數(shù)學經典《九章算術》系統(tǒng)地總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，書中

將底面為長方形且有一條側楂與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為

鱉嘯.如圖為一個陽馬與一個鱉席的組合體，已知P4J■平面ABCE,四邊形力8。。為正方形,AD=2V3,FD=1,

若鱉膈「一月0E的體積為2,則陽馬P-71BC0外接球的表面積為（）

A.144nB.367TC.24nD.18TT

【答案】B

【詳解】設陽馬P-4外接球的半徑為R,

由題意有：VP-AED=-xSxAP=-x-x2V3xlxAP=2=>AP=273,

3hAED32

又P4J■平面A8CE,四邊形力8C0為正方形，所以24114B,AZ）1A8,

2

所以(2R)2=PA2+AD2+AB2=(2V3)x3=2R=6=R=3,

所以陽馬P-ABCD外接球的表面積為：S=4TTR2=36m

故選：B.

3.已知正三棱錐4—BCD的底面邊長為6,二面角A—BC—O的余弦值為則正三棱錐人一BCD外接球的

表面積為（）

.256>/13n625dH625c256

A.-----TTB.----ITcrLD，M

1313

【答案】C

【詳解】如圖所示,正三棱錐A-8CD,作AH1平面BCD于點兒則H為正三角形BCD的中心,

取BC的中點E,連接。瓦力E,設外接球心為。，則。在AH上，連接。D.

由已知△BCD的邊長為6,由于4E1BC,DE18C,4/lED即二面角力一BC—D的平面角，貝kos44ED=5.

4

因為DE=7BD2一BE2=,62—32=3顯,所以EH==Jx=VI

所以力用』二總=4,周=以--加=心-（?=?!

設外接球。的半徑為r，則。力=OD=r,OH=\AH-r\=\V13-r\f

又DH=-DE=x3V3=2V3,OD2=DH2+OH2,

所以產=（2V3）2+（V13-r）2,解得丁=等合.

2

故正三棱錐A-BCD外接球的表面積S=4nr2=4nx（誓）=詈IT.

故選：C.

4.已知三棱錐P-ABC中，平面PBC平面48C,且平面A8C是邊長為26的等邊三角形,P31BC,2BC=PC,

則三棱錐P-48C外接球的表面積為（）

A.52兀B.39KC.26nD.13兀

【答案】A

【詳解】令G是三棱錐P-4BC外接球的球心，G，是G在平面48c上的射影.，。,0分別為BC,PC的中點，則

OD//PB.

■:PB1BC,：.0D1BC.

???平面P8C，平面力8。，平面尸BCn平面力BC=BC,ODu平面PBC,

：.0D1平面力8C

???4/18。是等邊三角形，：,0A1BC,G'是A/IBC的重心.

以0為坐標原點，。4。。,。0所在直線分別為％y,z軸建立空間直角坐標系.

?：2BC=PC,AB=BC=AC=273,則PB=J(4>/3)2-(2V3)2=6,

AZ(3,0,0),B(0,-V3,0),C(0,6,0),P(0,一6,6),D(0,0,3),0(1,0,。).

22

設G(l,0,z),由GP=GB,得J(1-0)2+(0+bp+--6)2=J(1_0)2+(0+V3)4-(z-0),

化簡得(z-6)2=z2,解得z=3.

...R=PG=J(1-0)2+(0-V3)2+(3-0)2=V13

2

，三棱錐P-力BC外接球的表面積為S=4TT/?2=4^（713）=52K.

故選：A.

5.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝,

它的盛酒部分可以近似地看作半球與圓柱構成的組合體（假設內壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示,

已知半球的半徑為R,圓柱的高也為R,則銀杯盛酒部分的容積為（）

T

圖1

A.-nR3B.-TXR3C.ED,那3

33

【答案】A

【詳解】半球的體積為匕=:x]/?3=:口內，圓柱的體積為彩=S?h=nR2,R=TT/?3,

因此銀杯盛酒部分的容積為V=匕+/=[TTR3+RR3=5R3

故選：A.

考點06截面、交線問題

二哪新「受2京；商蕨意篙碧豆底元荷商藤?噎真而拓葭版訪巔■前「百頭遴亍二謔而去兩殯;而琴完素「落:

靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、周長、扇形弧長、面積:

等相結合求解，二是利用空間向量的坐標運算求解.：

1.如圖,在正方體不。。-4$￡。1中，點瓦F,G分別為棱4i%BC,DDi的中點,過點E/,G作正方體的截

面，則截面的形狀為()

A.六邊形

【答案】A

【詳解】因為多面體力正方體，所以

8CD-48[GD]48J.AD,AA}LAB,AAAA.AD,

如圖：以點4為原點，荏，同,鞏為%,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系，

設＜8=2,則E(l,0,2),F(2,l,0),G(0,2,l),

所以前=(1,1,一2),EG=(-1,2.-1).

設平面EFG的法向量為元=(x,y,z),

則[F￥="+"2z=0,取、=],則z=l,

,71-EG=-x+2y-z=0

所以元=(1,1,1)為平面EFG的一個法向量，

取SB1的中點L,G)的中點M,的中點N,

可得L(2,0,l),M(l,2,0),N(0,l,2),

所以瓦=(1,0,-1)，'EM=(0,2,-2),~EN=(-1,1,0),

因為瓦-71=1x1+0x1+(-1)x1=0,EM-n=04-2-2=0,EW-n=-1+1+0=0,

所以點L,M,N都在平面￡TG內，

連接EL,LF,FM,MG,GN,NE,

所以過點瓦尸,G的正方體的截面為六邊形ELFMGN,

故選:A.

2.（25-26高三上?河南豫西北教研聯(lián)盟?）已知球。是正三棱錐P-力8c的外接球,48=^PA=N5,AE=河,

過點E作球。的截面，若截面面積為搭m則直線OE與該截面所戊的角為（）

16

A.-B.mC.-D.工

6432

【答案】C

【詳解】如圖，作PHJ■平面/1BC,垂足為，，則”是正三角形4BC的中心,

因為AB=AC=BC=聰,PC=PA=PB=V5,

所以HC=1,則PH=y/PC2-CH2==2,

因為版=工而，取48的中點7,所以E7=立,...EH=g+…府4

34

設正三棱錐外接球的半徑為R,貝噥2=|2-R『+1,得R=I

4

所以OH=PH-R=2-￡=3故0E=70H2+EH2=2+二=1,

44y1616

設過點E的球。的截面圓的半徑為r,圓心為S,Q為截面圓上一點，

.?-—=nr2,則r2=—,

1616

所以OS2=R2—N=無-蘭=U=m,則os=3,

16161642

所以0E與該截面所成角為乙OES,故sin乙OES=器=苧，

??.LOES=j即0E與該截面所成角為g

JO

故選:C.

3.在正方體力BCD-ABiGDi中，E,F,G分別是GQ,AD,CCl的中點，過E,F,G三點的截面把正

方體分成兩部分，則體積較大的部分與正方體體積之比為（)

A.蘭B.?C.匯D.

167214472

【答案】C

【詳解】

如圖所示，延長EF,DC相較于H,連接EH,交BC于人相同方法，做出rK,

則五邊形EK/7G為截面，

不妨設正方體棱長為1,

則?所以=在.AHCJ?AHDF,所以JC=L

226

同理可得。if=DJ=、KDi=",

26

可知截得較小部分體積V=V^-,邊長代入得V=^x1（jxi）x|-2xixi（ixi）xi=^-

DFH2VI_KD1E

1_至

72—144J

較大部分體積為1-各=言，立方體體積為1，所以較大部分與總體積之比為

144144144

故選：C.

4.已知正方體4BCD—48iGDi的體積為1,點M在棱8C上（點M異于B,C兩點），N為CQ的中

點，若平面4MN截正方體4BCD-4B1GD1所得的截面為五邊形，則8M的長的取值范圍是（）

A.（咽B.&1）C.[1,1）D.[/

【答案】B

【詳解】因為正方體A8G）-4與GDI的體積為1，所以該正方體的棱長為1，則0V8MV1.

當BM=X時，連接,DiN,則MN〃ADi,

2

A,M,N,Di四點共面，截面為四邊形AMNDi（如圖），不符合題意，

當BMvg時，延長B]8.NM交于點G,

由ABGM與ACNM相似可得夠=等

NCCM

所以8GV-,因為NCi=J所以在線段NG上一定存在一點P,

使得NP=BG,即四邊形PNGB為平行四邊形，所以BP〃NG;

過P作PQlCDi于Q,連接力Q,則易知4Q//8P,

所以4Q〃MN,即4M,N,Q四點共面，所以截面為四邊形.

當BM冷時，延長B]8.NM交于點G,

由ABGM與△CNM相似可得戶=等

NCCM

所以BG>5因為NCi=點所以在線段NG的延長線上一定存在一點P,

使得NP=BG,即四邊形PNGR為平行四邊形，所以BP〃NG;

如圖，過P向的延長線作垂線，交于點Q,連接4Q,交AMi于H,

則易知AQ〃8P,所以即月,M,N,H四點共面.

連接QN交GDI于丁，連接H7，即所求截面為五邊形AMN77L

綜上可知故B正確.

故選：B.

5.(24-25高三下?浙江北斗星盟?三模)在棱長為4的正方體中，M、N分別為48、的中

點，過直線MN的平面a截該正方體所得截面「，則當平面a與平面的所成角為最小時，截面「的面枳為

()

A.8V5B.3V30C.12百D.

3

【答案】B

【詳解】以點4為坐標原點，AB.AD.4公所在直線分別為％、y、z釉建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則M(2,0,0)、N(4,4,2)，設平面a交直線441于點P(O,O,Q)，

則標=(2,4,2),而=(-2,0,0),

設平面a的一個法向量為記=(居yz),貝IJ［沆.乂上2x+4y+2z=0,

取x=2a,可得萬=(2a,-Q-2,4),

易知平面力BCD的一個法向量為元=(0,0,1),

設平面a與平面48C。的所成角為6,

cosO=|cos(in,n)|=4

|曾m||Jn|=J/4a2,+(-4a-—2)2$+—16=V,5a2.+4a+2=0,

當且僅當。=時，cos。取最大值手，此時平面a與平面ABC。所成先最小,

56

則記=(TT，4),

設平面Q交棱BB1于點尸(0,瓦0),MF=(-2,瓦0),

因為MFua,則而?沆=勺-勺》=0,解得b=l,即點F(0,1,0),

結合圖形可知，平面a分別交棱BBi、DDi于點、E、G,

先證明射影面積法：設點C在平面a內的射影點為如下圖所示:

過點C在平面ABC內作CD1AB,連接C'D,

因為CC'1平面ABC',4Bu平面SBC',所以CC'IAB,

因為CD1力8,CCrC\CD=C,CC\COu平面CCD,故A81平面CC'D,

因為C'Du平面CUD,所以。切148,

故為銳二面角。-AB-。'的平面角,

在RfCC'D中'3"*汕=連’

推廣到其他多邊形的面積也成立,

本題中，S多邊形8CDFM=S口ARCD~^^AFM=42--X2X1=15,

設截面r的面積為5,由射影面積法可得辿詈笆=cose=耳,

故S=S多邊形BCDFM."=15X粵=3傾.

故選：B.

考點07立體幾何中的動態(tài)、軌跡問題

“動態(tài)”問題是高考立體兒何問題中最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些“動態(tài)”的點、線、面等元素，

給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時，由于“動態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，

將立體幾何問題與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問題以及解析幾何問題之間建立橋梁，使得它

們之間靈活轉化.

1.（24-25高三下?內蒙古包頭部分學校?適考）如圖，正方體力BCD-&B1GD1的棱長為2,瓦尸分別是棱4D,DD.

的中點，點戶是底面48。。內一動點，則下列結論正確的為（）

D]G

A.不存在點P,使得FP〃平面/WC15

B.過8,E,尸三點的平面截止方體所得截面圖形是五邊形

C.三棱錐G—4B1P的體積為4

D.三棱錐r—/CD的外接球表面積為9n

【答案】D

【詳解】對于A,當P為8。中點時，由三角形中位線定理可得月7/8%,

因為FPU平面A8C1O1，/WiU平面A4QO1，所以尸/7/平面A8CW1.故A錯誤；

對干B,由中位線可得EF〃人5,在正方體中，易證/0J/8G，所以EF〃8G，

即8G就是一條截線，連C/,得極面EBC/,乂因EFHBCi，所以截面EBG尸為梯形，故B錯誤;

對于C,點P到平面&B1GD1的距離為2，

故方向=[x（x2x2x2=/故C錯誤；

對于D,因兩兩垂直，

則三棱錐尸-ACD的外接球可以補形成以這三邊長為長、寬、高的長方體的外接球，

則外接球半徑A即該長方體的體對角線的一半，即R=匹三/=

故其表面積S=4K/?2=9K,故D正確.

故選:D.

2.（多選題）如圖，已知正方體.48。。-公當6。1的樓長為3,點、P在線段AC上運動，則（）

A.POi〃平面占SCi

B.存在唯一點P,使得尸劣與B%所成角的大小為30。

C.PZ\與平面&BiGDi所成的角隨AP的增大先變大再變小

D.若。為棱8c上一動點，則a&PQ的周長的最小值為3(73+1)

【答案】ACD

【詳解】對于A,連接4%CD1,由正方體的性質可得,AD\〃B￡,CD.//A.B,

因為A〃i〃4G，A%U平面力18C1，4Gu平面&8Q,所以AO]〃平面44G，

同理可證CD1〃平面4/G，

又ACOi=劣，AD1,CD1u平面4C￡)i，所以平面4CO"/平面，

又PJU平面ACD]，所以PA〃平面48G，A正確；

對于B,因為DDJ/BB],所以P&與BBi所成角為30。時,P?與所成角也為30。,

因為DDi=3,tan30°=亶，所以DP=3x3=V5,

33

所以*尸在底面力夙;。內的軌跡是以。為圓心，內為半徑的一段圓弧，

如圖，在正方形力BCD中，DA=DC=3,AC=3>/2,

作。由等面積法可得DE=苧>6,

所以不存在"使得PDi與8當所成角的大小為30。，B錯誤;

對于C,DiP在平面/18C0內的投影為DP,設PD1與平面&B1GD1所成的角為e,

則tan"篝=/，由圖易得隨”的增大PO先變小再變大.麻以tan。先變大再變小.

因為8￡（0'）時，y=tan。為增函數(shù),

所以尸為與平面所成的角隨人「的增大先變大再變小，C正確;

對于D,把△A&C和側面8CC/1分別繞旋轉到底面內，如圖,

△%PQ的周長為*P+PQ+QB〉由圖易知，最小值為圖中虛線長,

f

因為△&PQ為等邊三角形，且邊長為3位，所以aCBi夕中，CBX=CB=372,48傳）=150°,

由余弦定理可得為夕=D正確.

故選：ACD

3.（多選題）如圖，正方體力8co-力潭傳1。1的棱長為3,動點夕在正方體內及其表面上

運動，點E在棱A。上，且力E二內，則下列說法正確的有（）

BC

A.若麗=am+〃西，入+〃=1,則三棱錐P-4G。的體積為定值

B.棱G5上存在點尸，使得EP〃平面力BB]A1

C.若力】P1G。，則動點尸所圍成的圖形的面積為9企

D.若動點P在正方形A4c。內，A1P=x/2EP,則線段8P的