專題。8一元二次函數(shù)、方程和不等式必刷題型

（9大題型64題）

:二次不等式整數(shù)解問(wèn)題

題型01L利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

一、單選題

1.（24-25高一上?海南省直轄縣級(jí)單位力考）已知實(shí)數(shù)XQYZ且x+2），+4z=0,則上的取值范圍是（）

X

二、多選題

2.（23-24高一上.河北廊坊.月考）已知實(shí)數(shù)，滿足-IKx+yK3,4<2^-y<9,則（）

A.l<x<4B.-2<>'<i

173

C.2<4x+y<15D.

三、填空題

3.（23-24高一上?黑龍江鶴崗?月考）正實(shí)數(shù)。、）滿足：/一力2=2,則2的取值范圍為.

a

4.（24-25高一上?上海?月考）已知實(shí)數(shù)X、），滿足:3<%+），<4,2〈工+），2<6,則0.+#1+）；）的取值范圍

是____________

5.（24-25高一上?河北石家莊?期中）設(shè)max｛々也c｝表示。,b,c內(nèi)最大的數(shù)，設(shè)0<。1,且〃+彌1,

貝Ijmax｛〃-a,c一反1一。｝的最小值為.

題型02L利用基本不等式求最值

一、單選題

1.（23-24高一上?云南昭通?期中）己知。>0,人>0,則〃的最小值為（）

ab-

A.2B.273C.2V2D.35/2

2.已知x>0,y>0,且4x+），一孫=0,則x+y的最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

3.（24-25而一上?安徽合肥?期末）已知x+y=3,且x>0,>'>0,則』+J的最小值是（）

xy+1

A.IB.2C.jD.2V2

4.（24-25高一下.浙江?月考）若正實(shí)數(shù)4。滿足4/+9從=1，則.的最大值是（）

2a+3b-l

A.1—y/2B.14-5/2C.y/2,—1D.-^2

5.（24-25高一上?云南玉溪?期中）若正數(shù)。，力滿足"+。+〃=8,貝1」（。+1『+（〃+1）2的最小值是（）

A.15B.18C.24D.36

二、多選題

6.設(shè)正數(shù)滿足x+2），=3,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.個(gè)的最小值為'B.?+淮最小值為4

C.4+的最大值為6D./+4./的最小值為2

7.已知“，〃為正實(shí)數(shù)，且"+%+。=16,則（）

A.2。+〃的最小值為8B.上十丁二的最小值為正

。+1b+22

C.c活的最大值為8D.b+一一的最小值為模二!

9一々10

三、填空題

8.（24-25高一上?陜西渭南?月考）已知0VxV1,則上（4-3“）的最大值為.已知且a+b=2,

則---+----的最小值為.

a-2b+\

9.（24-25高一上?廣東江門?期中）已知。力wR,（1）若。，人都是正數(shù)，且"=a+〃+3,則曲的最小

值為一；⑵若"I,則點(diǎn)+七的最大值為一.

題型03證明不等式

一、解答題

1.(24-25高一上.山西?期中)設(shè)”，〃均為正數(shù)，且。+〃=1.

(1)求"+從-4"的最小值；

(2)證明：a+2b+^-^--9>0,

ab

2.(24-25高一上?陜西西安?月考)己知。且a+2Z?=4.

(1)求(2。)”的最大值；

/2研1一/2—2〃7

(2)證明:----+------>一-.

ab4

3.(24-25高一上?重慶萬(wàn)州?期中)(1)已知x>0,)>0,且x+4y=4G，求外的最大值.

(2)證明：Vx,j,ze(0,+oo),(x+4y)(y+z)(4z+x)^32xyz.

年+1)2

(3)求/J\/乙、的最小值.

(1+2乂2〃+1)

4.(24-25高一上?重慶?月考)學(xué)習(xí)了不等式的內(nèi)容后，老師布置了這樣一道題：

12

已知。>0,/?>0,且a+b=l,求)，=一十1的最小值.

ab

李雷和韓梅梅兩位同學(xué)都“巧妙地用了a+〃=I”，但結(jié)果并不相同.

12|212II~F

李雷的解法：由于〃土方-1,所以，=一+7+1-1=-4?/—+6+7一1,而，+上321々?上=2,

abababa\a

=2夜.那么y>2+2x/2-l=l+2x/2,則最小值為1+2&.

韓梅梅的解法：由于〃+〃=1,所以彌4+8)=3+2+學(xué)，而

ab\ab)ab

3+—+23+=3+2>/2，則最小值為3+2>/2.

(1)你認(rèn)為哪位同學(xué)的解法正確，哪位同學(xué)的解法有錯(cuò)誤？(錯(cuò)誤的需說(shuō)明理由)

（2）為鞏固學(xué)習(xí)效果，老師布置了另外兩道題，請(qǐng)你解決:

(i)已知a>0,b>0,c>0,且4+8+c=l,求證：-+4-+->2X/2+-.

a2bc2

(ii)已知。>0,b>0,a+2b=1,求"+2。+1的/小值

lab

1?

5.（24-25高一上?上海奉賢?月考）問(wèn)題：正實(shí)數(shù)滿足。+。=1,求上+［的最小值.其中一種解法是：

ab

，+看=（1+:］（〃+。）=1+*當(dāng)'+223+2&,當(dāng)且僅當(dāng)2=當(dāng)且a+〃=l時(shí)，即4=夜-1且8=2-&時(shí)

abyab）abah

i0

取等號(hào)，故而■;■+［的最小值是3-2夜.學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問(wèn)題：

ab

14

⑴已知四是正實(shí)數(shù)‘且"〃='求五二+正的最小值;

,2

（2）①已知實(shí)數(shù)久尻爪），，滿足三上=1,求證:a2-b2<(x-.y)2;

/b2

②求代數(shù)式M=J4〃L6-J2〃?-6的最小值,并求出使得M最小的，"的值.

6.（24-25高一上?安徽?期中）我們知道，若。/€（0,物），則有不等式??+：+廠成立（當(dāng)

且僅當(dāng)〃=b=c時(shí)等號(hào)成立）.從?+"。［_/+y+〈2/歸+/+2ab+次+2“a?+加+〃

I3J393

=2合一26一2/+2"+2兒+2c"=5—b）2+S—,）2+（/一a）￡。可以得至1J.即正數(shù)小力，c的算術(shù)平均數(shù)

99

的平方不大于“，Ac平方的算術(shù)平均數(shù).請(qǐng)運(yùn)用這個(gè)結(jié)論解答下列三道題：

⑴求代數(shù)式2Vm+J3-2/的最大值;

⑵已知X>（），y>0，Z>（）,若不等式/以4+4+6）?4+），+2恒成立,求實(shí)數(shù)〃7的取值范圍;

a+b+c<a4+Z74+c'

(3)若a,b,cw(0,+oo),證明:

7.（24-25裔一上?陜西西安?月考）已知x,y,ze（0,母）.

（1）若x+y=l,證明：4x+y［y<\f2；

⑵若x+y=l,證明:我+打工我：

（3）若x+y+z=l,證明我+東+我>"G_z.

8.（24-25畝一上?福建泉州?月考）（1）已知。，b,c均為正實(shí)數(shù)，且滿足。+〃+c=3.證明：

公產(chǎn)c2a2_

abc

②>la2b+b2a+\]b2c+c2h+ylc2a+a2c<3亞?

〃+4/’+4

（2）已知y=a「+2x+c,若a<2,且對(duì)任意xeR,不等式）亞。恒成立，求-----的最小值.

z.-a

題型04基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

一、單選題

I.（24-25高一上?福建福州?期中）用一段長(zhǎng)為24m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園（菜園的一邊靠堵），菜園的

面積最大是（）nf

A.36B.144C.60D.72

2.（24-25高一上?江蘇鹽城?期末）對(duì)于直角三角形的研究，中國(guó)早在商朝時(shí)期，就有商高提出了“勾三股

四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯才提出并證明了勾股定理.如

果一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于6,則這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值等于（）

25

A.125/2B.12C.6+6貶D.—

3.（24-25高一上?陜西西安?月考）小明、小紅兩人同時(shí)相約兩次到同一水果店購(gòu)買葡萄，小明每次購(gòu)買3

千克葡萄，小紅每次購(gòu)買50元葡萄，若這兩次葡萄的單價(jià)不同，則（）

A.小明兩次購(gòu)買葡萄的平均價(jià)格比小紅低

B.小紅兩次購(gòu)買葡萄的平均價(jià)格比小明低

C.小紅與小明兩次購(gòu)買葡萄的平均價(jià)格一樣

D.兩次購(gòu)買葡萄的平均價(jià)格無(wú)法比較

二、解答題

4.（24-25高一上?四川成都?期末）利用一堵長(zhǎng)8m,高3m的舊濡建造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體儲(chǔ)物倉(cāng)庫(kù)，如圖所

示.由于空間限制，倉(cāng)庫(kù)的寬度固定為3m.已知倉(cāng)庫(kù)三個(gè)側(cè)面的建造成本為900元/n『，倉(cāng)庫(kù)底面的建造

成本為600元/m，整個(gè)倉(cāng)庫(kù)的建造成本預(yù)算為32400元，假設(shè)成本預(yù)算恰好用完.設(shè)倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)與高分別為

a,h（單位：m）.

⑴求。與〃滿足的關(guān)系式；

（2）求倉(cāng)庫(kù)占地（即底面）面積S的最小值;

（3）求倉(cāng)庫(kù)的儲(chǔ)物量（即容枳V）的最大值.

5.（24-25高一上?浙江麗水?期末）如圖，設(shè)矩形的周長(zhǎng)為24cm,把VA8C沿4C向A4DC

折疊，折過(guò)去后交。。于點(diǎn)尸，設(shè)A8=.rcm,CP=acm.

（2）設(shè)VCPE的面積為求S的最大值.

6.已知〃、b、c、，為正實(shí)數(shù)，利用平均不等式證明（1）（2）并指出等號(hào)成立條件，然后解（3）中的

實(shí)際問(wèn)題.

（1）請(qǐng)根據(jù)基本不等式。+822奴（4力￡氏），證明："+"；+八〃力Cd;

（2）請(qǐng)利用（I）的結(jié)論，證明：土等上之蛆碇；

⑶如圖，將邊長(zhǎng)為0.5米的正方形硬紙板，在它的四個(gè)角各減去一個(gè)小正方形后，折成一個(gè)無(wú)蓋紙盒.如果

要使制作的盒子容積最大，那么剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少米？

延孽基本不等式中的恒成立與有解問(wèn)題

一、單選題

I.（24-25高一上?山東聊城?期末）已知0<々<1,若2+丁也21恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

a1一〃

A.；,+8）B.g,+8）C.（ogD.（0,4]

2

2.（24?25高一下?安徽馬鞍山?開(kāi)學(xué)考試）已知不等式2x+〃-后>0（x>-l）恒成立，則實(shí)數(shù)次的取值范

圍是（）

A.m<-2B.m>-4C.m>-2D.m<-4

3.（24-25高一上?四川達(dá)州?月考）“。=4”是“不等式（1+），）[+色R9（"（））對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立”

ry）

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（24-25高一上?安徽亳州?月考）對(duì)一切x,）>。，都有5.1+12向工〃（、+），），則實(shí)數(shù)。的最小值是（）

A.8B.9C.10D.前3個(gè)答案都不對(duì)

5.（24-25高一上?遼寧大連?期中）不等式+應(yīng)次式對(duì)所有的正實(shí)數(shù)式，），恒成立，則/的最

大值為（）

A.2B.72C.yD.1

二、填空題

6.（24-25高一上?廣東深圳?期末）已知。且2。+力=2,若/-3/4￡+2恒成立，則實(shí)數(shù)f的取

ba

值范圍是.

7.（24-25高一上?天津?期中）不等式（3-〃?戶+3-〃?>「？對(duì)于工￡[0,3]恒成立，則機(jī)的取值范圍____.

8.（24-25高一上?貴州?期中）己知x>L）>3,且（工一1）（），-3）=21+3），-11,若不等式2x+y-〃?>。恒成

立，則實(shí)數(shù)用的取值范圍為.

延孽一元二次不等式恒成立問(wèn)題

—>單選題

I.（2025高一?全國(guó)?專題練習(xí)）若不等式加+2or-4<2/+4.r對(duì)任意實(shí)數(shù)%均成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A.-2<a<2B.a<-2^a>2

C.-2<a<2D.a?-2

2.（24-25高一上?重慶?期中）當(dāng)x>0時(shí)，/+如+1>工恒成立，則。的取值范圍為（）

A.—1<6/<3B.-1WaW3C.a>-1D.ci>-2

二、多選題

3.（24-25高一上?廣東廣州?期末）使不等式如d+履一<0對(duì)一切實(shí)數(shù)十都成立的一個(gè)充分條件是（）

O

A.k=0B.k=lC.k=-\D.-3<A:<0

三、填空題

4.（24-25高一上?安徽宿州?期中）已知關(guān)于x的不等式/-（〃+4）X+2.+5》。在（9,2）上恒成立，則”的

最小值為一.

5.（24-25高一上?重慶?期中）己知函數(shù)/"）=三士絲2,“為實(shí)數(shù)，若對(duì)于Vxw（0,+oo）J（x）N2恒成立，

x+1

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

6.（24-25高一上?重慶?期中）當(dāng)x之。時(shí)，關(guān)于x的不等式（工-〃+2）口~〃+/卜+叫20恒成立，則實(shí)

數(shù)"的值為.

7.（24-25高一上?上海楊浦?月考）若不等式--丘-〃*1對(duì)所有以恒成立，則人々的取值范圍

為?

四、解答題

8.（24-25高一上?湖南衡陽(yáng)?期末）已知關(guān)于x的不等式2X-1>K（X2_1）.

（1）是否存在實(shí)數(shù)K,使不等式對(duì)任意xwR恒成立；

（2）若不等式對(duì)于恒成立，求K的取值范圍；

（3）若不等式對(duì)于Kc[-2,2卜恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

題型07一元二次不等式有解問(wèn)題

一、單選題

1.（23-24高一上.山東聊城.月考）若存在xe（O,2],使不等式依?_2x+3a<0成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A4

A.B.（）<a<-

37

C.a>—D.a>-

37

2.（24-25裔一上?江蘇常州?月考）方程加7-6=0在區(qū)間[1,3：內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍培（）

A.[2,5]B.[1,7]C.（2,5）D.[1,5]

3.（24-25高一上?山西?期中）若命題"Vx￡[l,4],V-6公〃W0”為假命題，則〃的取值范圍是（）

A.[-5,+oc）B.（-5,-H?）

C.（f,-5）D.（^o,-5]

4.（24-25高一上?福建莆田?月考）若去w{x|lW},使得2or+a+240成立，則實(shí)數(shù)”的范圍是（）

A.a>\B.a>2C.a>3D.?>—

5

二、多選題

5.（24-25高一上?陜西渭南?月考）已知命題pNxwR,a?+2x+3>0的否定是真命題，則命題〃成立的一

個(gè)充分條件可以是（）

三、填空題

14v

6.（24-25高一上?四川德陽(yáng)?月考）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,）'滿足一+一=1,且不等式"+與<〃"3〃7有解，則

xy4

實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是.

7.（24-25高一上?江蘇蘇州?月考）已知關(guān)于工的不等式丁-（〃+2）工+。+540在xw（l,4］上有蟀，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是.

題型08k含參一元二次不等式分類討論

一、單選題

1.（24-25高一上廣東湛江?月考）已知關(guān)于.1的不等式產(chǎn)―4^+3/〈0（4〈0）的解集為（％,%）,則

（芯+天）+'-的最大值是（）

XAX2

A.一1B.空

33

r473D.一迪

33

二、多選題

2.（24-25高一上?云南昭通?月考）關(guān)于x的不等式五的解集可能為（）

m-x

A.{x|x=-5}B.{A|/?<X<-5}

C.{H-54x<"z}D.{A|-5<X</??}

三、解答題

3.（24-25高一下?安徽電州?開(kāi)學(xué)考試）已知=?€R.

⑴若不等式的解集為{Mxv-1或x>3},求〃的值；

（2）若"0,解不等式/（力>1.

4.設(shè)函數(shù)/(x)=ar2+(l-a)x+a-2,awR.

（1）若。=一2,求/（“＜0的解集；

（2）解關(guān)于x的不等式：/（x）＜6r-l.

5.（24-25高一上?浙江杭州?開(kāi)學(xué)考試）解關(guān)于x的不等式加+x-a＞l.

6.（24-25高一上?廣東梅州?期末）已知函數(shù)/（x）=f+爪+6.

⑴若關(guān)于x的不等式/（x）?0的解集為[2㈤，求實(shí)數(shù)上〃的值；

（2）對(duì)于參數(shù)keR,解關(guān)于x的不等式/（力20.

7.（24-25高一上?江蘇連云港?月考）解關(guān)于x的不等式: