2.4：圓的方程

【知識(shí)梳理】

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)條件:圓心為C3,b),半徑長為匚

(2)方程：。一。)2+()，一加2=戶.

(3)特例：圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長為「的圓的方程是1+產(chǎn)=汽

知識(shí)點(diǎn)二圓的一般方程

1.圓的一般方程

當(dāng)了+序一4Q0時(shí)，二元二次方程f+y2+Dr+E_y+"=0稱為圓的一般方程.

2.方程『+/+3+?，+/=0表示的圖形

條件圖形

D2+￡2-4F<0不表示任何圖形

表示一個(gè)點(diǎn)(一今,-￡)

D2+E2-4F=0

表示以(一夕一f)為圓心，以色誓二竺為半徑的圓

D2+E2-4F>0

知識(shí)點(diǎn)三點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)M(.g而與圓C：(x—〃)2+(y—〃)2=/的位置關(guān)系及判斷方法

位置關(guān)系利用距離判斷利用方程判斷

點(diǎn)M在圓上\CM\=r(xo-t/)2+(yo-/?)2=r

點(diǎn)M在圓外\CM\>r(xo-a)2-\~(yo-b)2>r

點(diǎn)M在圓內(nèi)\CM\<r(xo-a)2-\-(yo—b)2<r

【例題詳解】

題型一、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例1】.(25.26高二上?陜西渭南?階段練習(xí))根據(jù)下列條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

⑴過點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(2,1),半徑為。;

⑵過三點(diǎn)0(0,0)，M(T，3),%(-3,T).

【答案】⑴(I『+(Y+I)2=5或(工-咪+(丁-3)2二5

(2)(X+2)2+(>-1)2=5

【分析】(1)利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程，結(jié)合點(diǎn)在圓上即可求解；

(2)解法一：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再代入三點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解，解法二：設(shè)出圓的一般方程，再代入三點(diǎn)坐標(biāo),

即可求解.

【詳解】(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(。力)，貝胴的方程為(x-4+(y-4=5.

因?yàn)?OJ),(2,1)是圓上的點(diǎn),

/+(一)“=&

所以，，解得或，

(2—4+(j)-=5,b=-\b=3

因此，所求圓的方程為(x-球+("1)2=5或(x-3)2=5.

(2)解法一、設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—af+G，—。):/,

22

a+b'=ra=-2

,a-3b+5=0

(-l-(7)2+(3-Z?)2=r2得V,，得卜=1

a+2b=Q

(-3-fl)2+(-l-/?)2=r2r=5

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+2)2+(y-l)2=5.

解法二、設(shè)所求圓的一般方程為/+產(chǎn)+m+@+b=0,(02+七一4尸>0),

F=0F=0

將已知三點(diǎn)的必標(biāo)代入，即得方程組-D+3K+F+10=0,解得E=-2,

-30-E+F+10=0D=4

故所求圓的方程為f+y2+4x_2y=0,B|J(x+2)2+(y-l)2=5.

【變式口.(25-26高二上?全國?課堂例題)根據(jù)下列條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

⑴圓心在點(diǎn)。(-2,1),且過點(diǎn)A(2,-2)；

⑵過點(diǎn)(0.1)和點(diǎn)(2,1),半徑為代：

(3)過三點(diǎn)。(0,0),以(-1,3),%(-3,-1).

【答案】⑴(工+2『+()，—］/=25

(2)(x-l)2+(y+l)2=5n￡(x-l)2+(y-3)2=5

(3)(x+2)2+(y-l)2=5

【分析】(1)利用兩點(diǎn)的距離公式及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；

(2)利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程，結(jié)合點(diǎn)在圓上即可求解；

(3)首先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再代入三點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.

【小題1】所求圓的半徑r=|CA|=J(2+2)?+(-2-爐=5.

又因?yàn)閳A心為(一2,1),

所以所求圓的方程為(x+2y+(y-1)2=25.

【小題2】設(shè)圓心坐標(biāo)為(。/)，則圓的方程為(x—a'+(>—6)2=5.

因?yàn)?0、1),(2,1)是圓上的點(diǎn),

(/2+一(一"『一=5),』解得］「或.a=1

所以

b=-lb=3

因此，所求圓的方程為(x-l>+(y+l)2=5或(x-l『+(.y-3)2=5.

【小題3］設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-〃)2+()-方)2=r2,

22

a+b'=ra=-2

。一3b+5=0,

，(—1—4+(3—〃>=產(chǎn)得.b=\

a+2b=Q

(-3-a)2+(-l-/?)2=rr=5

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(X+2)2+()，-1)2=5.

【變式2].(24-25高二上?廣東深圳?期中)求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑴圓心為(2,3),經(jīng)過點(diǎn)(L-1)；

⑵圓心在直線x=—1上，且與)'軸交于點(diǎn)404),5(0,2).

【答案】⑴(工―2尸+(尸3)2=17.

(2)(X+1)2+(>--3)2=2

【分析】(1)根據(jù)圓心和圓上的點(diǎn)求圓的半徑，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)根據(jù)垂徑定理，圓心在線段A3的垂直平分線上，又圓心在直線x=-I上可求圓心，再求半徑，得圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程.

【詳解】(1)由兩點(diǎn)間的距離公式可得圓的半徑r=J(2-l)2+(3+l『=a,

故園的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2『+(y-3>=17.

(2)因?yàn)閳A與y軸交于點(diǎn)40,4),8(0.2),所以圓心在直線)，=3上.

又圓心在直線x=-1上，所以圓心的坐標(biāo)為(-1,3),

所以圓的半徑廠=J(—l—0尸+(3-4]=&,

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X+1)2+(y-3)2=2.

題型二、圓的一般方程的求圓心與半徑

I

【例2】.(

烏

烏

1n1

292

2B.(-

烏

烏

更

立D.(-

C.(彳*1

22922

【答案】B

【分析】配方得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑.

【詳解】C:x2+>,2+2x-x/2y4-^=0=>(x+l)"+=1,

故圓心為(-1,4)，半徑為1.

故選：B

【變式(24-25高二上?湖南永州?階段練習(xí))圓C:/+y2+2.4)，+l=0的圓心坐標(biāo)為()

A.(L2)B.(1,-2)C.(-1,-2)D.(-1,2)

【答案】D

【分析】把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到圓心坐標(biāo).

【詳解】由/+)，+2.?4)，+1=0得(x+iy+()，-2)'=4,故圓心坐標(biāo)為(一1,2).

故選：D.

【變式2].(24-25高二上?廣東湛江?期中)圓W+),2+2x—4)，+3=0的圓心和半徑分別為()

A.(―1,2)?>/2B.(-1,2),后

C.(1-2),72D.(1,-2),V3

【答案】A

【分析】轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【詳解】由f+y2+2x-4y+3=0可得：

(x+lR(),一2『=2,

所以圓心和半徑分別為(-1,2),虎.

故選：A

題型三：求圓的一般方程

【例3】.(23-24高二上?新疆喀什?期中)已知三角形48C的三個(gè)頂點(diǎn)為4-口)，伏-4,0),C(4,-4),

⑴求三角形A8C外接圓。1的方程；

(2)判斷點(diǎn)陷(3,—1)"也(2,—3)是否在這個(gè)圓上.

【答案】⑴V+y2+2x+8y—8=0

⑵點(diǎn)M在這個(gè)圓上，點(diǎn)不在這個(gè)圓上

【分析】(1)設(shè)出圓的一般方程，代入計(jì)算即可；

(2)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓方程判斷即可.

【詳解】(1)設(shè)三角形ABC外接圓。1的方程為產(chǎn)+)，2+m+斗，+尸=OQ+￡2—4/7>O)

\+\-D+E+F=0D=2

由已知可得方程組:「6+0-4。+0+尸=0解得：-E=8,

I6+I6+4D-4E+F=OF=-8

則圓。1的方程為x2+y2+2x+8y-8=0.

(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為(x+l)2+(y+4)2=25.

把點(diǎn)M(3,-1)的坐標(biāo)代入圓的方程，得(3++(-1+4f=25,

即點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足圓的方程，所以點(diǎn)M在這個(gè)圓上，

把點(diǎn)M（2,—3）的坐標(biāo)代入圓的方程得（2+1）2+（-3+4）2=10/25,

即點(diǎn),叫的坐標(biāo)不滿足圓的方程，所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上.

【變式1].（23-24高二上?新疆塔城?期中）己知“BC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0,4）,B（-3,-1）,C（-2,2）.

⑴求AB邊中線所在直線的方程；

⑵求小。。外接圓的一般方程.

【答案】（1“+丁=0

⑵/+丁2_7工+3），-28=0

【分析】（1）先求出線段A8的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式可求出力B邊中線所在直線的方程;

（2）設(shè)aABC的外接圓為/+）,2+以+4+/=0,然后解方程組可求得答案.

【詳解】（1）因?yàn)锳（0,4）,8（-3,-1）,

(33}

所以線段48的中點(diǎn)坐標(biāo)為,,又因?yàn)?。（?,2）,

1-22;

所以4B邊中線所在直線的方程為即x+y=0：

（2）設(shè)AABC的外接圓為/+），2+。戈+@+/=0,則

16+4E+F=0D=-l

<9+l-3O-E”=0解得?E=3

4+4-2。+2七+尸=0尸=-28

所以圓方程為父+），2一71+3），-28=0.

【變式2].（24-25高二上?上海?期中）若圓C過點(diǎn)0（0,0）,A（4,0）,8（2,2）.

⑴求圓。的一般方程；

（2）求圓C關(guān)于直線l：y=2x+3對(duì)稱的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】⑴d+y2-4x=0

（2）（x+W+（yY?=4

【分析】（1）代入三點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求圓的一般方式.

（2）要求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓，只需求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱前后的圓半徑相等即可求解.

【詳解】（1）設(shè)圓C的一般方程為f+），2+Ox+砂+尸=0,則

F=0

-16+4D+F=0解得JE=。

4+4+2D+2E+F=0F=0

團(tuán)圓C的?般方程為f+y2-4x=0.

(2)

由(1)得圓。的圓心為。(2,0),半徑r=2,圓C'半徑為2.

設(shè)則CC'JL/，且CC的中點(diǎn)在直線/上,

Iz1)

18

in=---

5

，解得)

14'

n=一

5

團(tuán)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為卜+￡jJ=4.

題型四：二元二次方程表示圓的參數(shù)問題

【例4】.(25-26高二上?陜西渭南?階段練習(xí))已知方程/+),2-2(/+3卜+2(1-4/2b+16/'+9=0表示一個(gè)圓.

⑴求/的取值范圍；

⑵求這個(gè)圓的圓心和半徑；

【答案】⑴(一；,1);

(2)圓心坐標(biāo)為“+3,-1+4/)，半徑為r=7-7/2+6/+1.

【分析】(1)由二元二次方程表示圓的條件列不等式求解;

(2)配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后可得圓心坐標(biāo)與半徑.

【詳解】(1)由題意4。+3)2+4(1-4/)2-4(16〃+9)>0,解得：-1<r<l

所以他取值范圍是(-；/)；

(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是。一/一3尸+()，+1-4/)2=-7/+6/+1,

圓心坐標(biāo)為(i3,-1+4產(chǎn))，半徑為廠=J—71+6/+l.

【變式1].(24-25高二上?河南許昌?期中)若方程為/十丁一2(〃1k+沖+〃『―2=0表示圓M.點(diǎn)A(l,-2),

網(wǎng)一1,4)在圓川上，

⑴求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

⑵求出圓M的圓心坐標(biāo)和半徑，并求當(dāng)〃?=1時(shí)圓M的方程.

⑶求過點(diǎn)A,8且圓心在直線2刀-)，-4=。上的圓可的方程.

【答案】⑴〃?<2或〃?>6；

⑵圓心?！ā?-/),半徑gdM-8/〃-12,x2+y2+y-1=0；

⑶3-3)2+(y-2)2=2().

【分析】(1)利用方程表示圓的條件，列出不等式求解即得.

(2)利用圓的一般式方程求出圓心的半徑，把m=1代入求出圓的方程.

(3)根據(jù)給定條件，求出線段A3的中垂線方程，進(jìn)而求出圓心和半徑得解.

【詳解】(1)由方程為Y+),-2(/〃-1卜+/可+加-2=。表示圓M,W4(w-1)2+m2-4(m2-2)>0,

整理得病-8m+12>0,解得機(jī)<2或，〃>6,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是〃?<2或切>6.

(2)圓用的圓心坐標(biāo)為(加-1,-絲)，半徑.=),4"〃—1尸+m2_蟲加2_2)=,dm2—8m+12,

22v2

當(dāng)〃=11時(shí)，圓M的方程為9+曠+),一]=0

(3)線段A8的中點(diǎn)為(0,1),直線9的斜率3,=土獸=-3,

[2x-y-4=0(

則線段A8的中垂線的方程為y=：x+l,由1?解得.

3y=-x+\[y=2

因此圓N的圓心N(3,2),半徑|AN|="(1-3尸+(—2-2尸=聞,

所以圓N的方程為(x-3)2+(y-2>-20.

【變式2].(22-23高二上?重慶渝中?階段練習(xí))已知圓C的方程為：尸一2(?！猯)x+y2-2+2/=0(4CR)

⑴求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

⑵當(dāng)圓C半徑最大時(shí)，點(diǎn)。在圓C上，點(diǎn)。在直線工一k4=0上，求|P。的最小值.

【答案】(1)一3<。<1；

(2)30-2.

【分析】（I）方程配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由右邊大于0可得；

（2）由（1）得同半徑，由函數(shù)性質(zhì)得最大值，從而得〃值，求出圓心坐標(biāo)，然后求得同心到已知直線的距離，確

定直線與圓相離，由距離減半徑得最小值.

【詳解】（1）方程配方得：*—/+1）2+9=3-2〃-/,它表示圓，

貝1」3—2口一標(biāo)＞。，解得一3＜。＜1；

(2)由(1)r=，3-2』一/=卜々+1)2+4,。=-1時(shí)，*x=2,

圓方程為(x+2)~+)'=4,圓心為M(-2,0),

|-2-0-4|

圓心M到直線X-y-4=0的距離為〃==3a>2已知直線與圓相離,

所以|PQ|的最小值是4-〃=3&-2.

題型五：圓的定點(diǎn)問題

【例5】.（23-24面二上?湖北荊州?期末）圓C?x?+）2ar書的-=恒過的定點(diǎn)為（)

A.(-2,1),(2,-1)B.(-1,-2),(2,1)

C.(-1,-2),(1,2)D.(—2,—1),(2,1)

【答案】D

【分析】將方程進(jìn)行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.

【詳解】圓C:犬+V+如-2@-5=0的方程化為a（x-2y）+（f+），-5）=o,

叫…x-2y―=50=o叫,x=-2

[y=ly=-l

故圓。恒過定點(diǎn)（-2,-1）,（2,1）.

故選：0.

【變式11（2024高二?全國?專題練習(xí)）已知曲線C：（1+4）/+（1+。））？一4%+8。），=。.

⑴當(dāng)〃我何值時(shí)，方程表示圓？

（2）求證：不論。為何值，曲線。必過兩定點(diǎn).

【答案】⑴。工一1;

（2）證明見解析；

【分析】（1）當(dāng)a=-l時(shí)，方程為x+2），=0表示一條直線，當(dāng)。工-1時(shí)，化簡整理上知方程，可知滿足圓的方程;

（2）將已知方程整理為丁+9-4%+。12+），2+8?=（）,從而可得方程組，解方程組求得兩定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)論可證得.

【詳解】（1）當(dāng)〃二一1時(shí)，方程為工十2y-。表示一條直線.

當(dāng)。工一1時(shí)，(I+a)x2+(1+a)y2-4x+Say=0,

整理得a一磊尸+(“含尸4十16</

(a+1-

上T4+16a2..

由于百>°

所以aw-1時(shí)，方程表示圓.

(2)證明：方程變形為x2+y2-4x+a(x2+),2+8y)=o,

彳2+),2-4x=0

由于。取仟何值,上式都成立,則#

x2+y2+8y=0

所以曲線C必過定點(diǎn)A(o,o),

即無論。為何值，曲線C必過兩定點(diǎn).

【變式2].(21-22高二上?安徽?階段練習(xí))若圓C/〃+2=0過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)m的值為()

A.1B.2C.2或1D.-2或一1

【答案】A

【分析】把坐標(biāo)(。,0)代入圓方程求解.注意檢驗(yàn)，方程表示圓.

【詳解】將(0,0)代入圓方程，得病-3，〃+2=0,解得〃?=1或2,當(dāng)加=2時(shí),，x2+y2=0,舍去，所以帆=1.

故選：A.

【變式3].(25-26高二上?湖北武漢?階段練習(xí))對(duì)任意實(shí)數(shù)。工-2,動(dòng)圓(〃+2)/+(4+2方2—4..2〃=0恒過兩個(gè)

定點(diǎn)，請(qǐng)寫出一個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(U)或(LT)

【分析】我們可以將動(dòng)圓方程整理為關(guān)于〃的方程，然后根據(jù)對(duì)任意。工-2方程恒成立的條件來求解定點(diǎn).

【詳解】將原方程(a+2)f+(。+2))2一4工一勿=0整理為：

a(x2+-2)+2x2+2y2-4x=0

因?yàn)閷?duì)于任意aw-2,該方程恒成立，所以"的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都必須為()，即:

x2+y-2=0

2X2+2/-4X=0

由第一個(gè)方程—+）,2=2,代入第二個(gè)方程得：

2x2-4x=0,x=l

將x=l代入f+y2=2,得1+y?=2,y?=l,y=±1.

所以，定點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）或（1,-1）.

故答案為：（11）或

題型六：圓的方程綜合問題

【例6】.（25-26高二上?寧夏銀川?階段練習(xí)）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)4-11）,5（1,3）,且圓心C在直線y=-3x上.

⑴求圓C的方程；

（2）若點(diǎn)尸（乂?。┰趫AC上，求/+），2的最大值與最小值.

【答案】⑴（x+l）2+（y-3）2=4

⑵最大值為4加+14,最小值為14-4師.

【分析】（1）可設(shè)圓心為CQ,-3力，由|C4|二|C6|求出圓心坐標(biāo)及半徑進(jìn)行求解；

（2）由檸k表示原點(diǎn)（°，°）與圓。上的點(diǎn)℃工）‘）間的距離，進(jìn)行求解即可得出丁十丁的最值.

【詳解】（1）由己知可設(shè)圓心為。（為-34）,

則，即（a+1）?+（—3白一I）?=（々_+（—3a—3）~,

解得a=T,fflC（-l,3）,|O4|2=（-l+l）2+（3-l）2=4,

團(tuán)圓。的方程為（X+1『+（），—3）2=4.

（2）"f+y2表示原點(diǎn)（0,0）與圓。上的點(diǎn)尸（X,），）間的距離，

而原點(diǎn)。在圓c外，|oq=>/記，圓c的半徑「=2,

（3j?+）,2的最大值為行+2,最小值為而-2?

團(tuán)一十丁的最大值為4+14,最小值為14一4碗.

【變式1].（25-26高二上?河南南陽?開學(xué)考試）根據(jù)下列條件，求圓的方程.

⑴圓心是（4,0）,且過點(diǎn)（2,2）；

⑵經(jīng)過點(diǎn)4（<-5）,5（6,-1）,且以線段AB為直徑的圓的方程；

⑶已知VA8C的三個(gè)頂點(diǎn)為A（L4）,8（-2,3）,C（4,-5）,求VA8C的外接圓方程.

【答案】⑴(x-4『+y2=8

⑵(if+(y+3)2=29

(3)X2+/-2X+2>'-23=0

【分析】(1)確定半徑，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)可直接寫出圓的直徑式方程，再化成標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

(3)用待定系數(shù)法可求圓的一般方程.

【詳解】(1)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：a-4)'+(y-0)’=(4-2)，+(0-2)、

即(x-4j+)，2=8.

(2)所求圓的直徑式方程為：(x+4)(x-6)+()，+5)(y+l)=0,

即(x-l)2+(y+3f=29.

(3)設(shè)所求圓的方程為丁+)，+6+砂+/=().

l+16+D+4E+F=0[D=-2

由題意得：卜+9—2。+3七+尸=0,解得<E=2.

16+25+4D-5￡+F=0[F=-23

所以所求圓的一般方程為X2+r-2x+2_y-23=0.

【變式1].(22-23高二上?江蘇?期末)己知圓。的圓心在x軸上，并且過4L3),以3,3)兩點(diǎn).

⑴求圓C的方程；

(2)若尸為圓C上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)M(8,0),點(diǎn)Q滿足PM=3QM,求點(diǎn)。的軌跡.

【答案】⑴*-2)2+丁=10

⑵以(6,0)為圓心，巫為半徑的圓

3

【分析】(。從4,8兩點(diǎn)坐標(biāo)可看出線段平行于1軸，則它的垂直平分線垂直于％軸，所以線段的垂直平分線

與x軸的交點(diǎn)為圓心，圓心到點(diǎn)的距離為半徑，從而得到求圓C的方程.

(2)設(shè)。(.％)，),戶小,)，。),將向量式「必二3?！边M(jìn)行坐標(biāo)表示，得到x與工,丁與兒的關(guān)系，因?yàn)辄c(diǎn)P為圓C上任

意一點(diǎn)，所以利用圓C的方程(即x與與關(guān)系)，進(jìn)而得到了與X)的關(guān)系(即點(diǎn)。的軌跡方程)，從而得到點(diǎn)Q的軌跡.

【詳解】(1)因?yàn)閳A。過兩點(diǎn)，所以圓心C在線段48的垂直平分線上.

因?yàn)?1,3),3(3,3),所以線段A8的中點(diǎn)為(2,3),直線AB的斜率L=0,

所以線段人8的垂宜平分線斜率不存在,方程為:x=2.

因?yàn)閳AC的圓心在工軸上，所以線段八B的垂直平分線與/軸的交點(diǎn)為圓心，所以圓心為C(2,o).

又半徑TA"?所以圓C的方程為:(x-2)2+y2=io.

(2)設(shè)。(x,y),P由PM=3QM,得(8—%,—%)=3(8

8-x=24-3x,XQ=3X-16,

所以0即《

-)'o=-3y,%=3y.

因?yàn)辄c(diǎn)p(2%)在圓C上，所以(/一2『+N；=10,所以(3x-18)2+(3y)2=10,

化簡整理得。的軌跡方程為:-2=當(dāng)，

所以點(diǎn)。的軌跡是:以(6,0)為圓心，叵為半徑的圓.

3

【高分演練】

一、單選題

1.(25-26高二上?江蘇?階段練習(xí))若方程￡+y+4加一2)，+4/一用=()表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是()

A.rn<-\B.〃zWlC.m>-\D.//7>-l

【答案】C

【分析】將圓的一般方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)等號(hào)右邊的式子大于0,即或求解.

【詳解】原方程可化為(x+2,〃y+(y-l)2=l+,〃，方程表示圓，則有1+〃?>0,即〃?>—.

故選：C.

2.(25-26高二上?浙江舟山?階段練習(xí))已知圓的方程為胃+/-21+6)，+1=0,則該圓的半徑為()

A.73B.3C.x/10D.9

【答案】B

【分析】將圓的一般方程配方成標(biāo)準(zhǔn)方程，即得圓的半徑.

【詳解】由丁+丫2-2%+6)，+1=0配方，可得(工―l)2+(y+3)2=9,故該圓的半徑為3.

故選：B.

3.(25-26高二上?黑龍江大慶?階段練習(xí))已知直線八點(diǎn)-丁-4%+1=0恒過定點(diǎn)乙則以尸為圓心，2為直徑的圓的

方程為()

A.(x-4)2+(y-l)2=4B.(x+4)2+(>-+1)2=4

C.(x-4)2+(y-l)2=1D.(x+4)2+(y+l)2=1

【答案】C

【分析】求出定點(diǎn)后結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義即可得.

x-4=0x=4

【詳解】kx-y-4k+\=k(x-4)-y+\=0,令.一…"解得

尸1

故直線/恒過定點(diǎn)尸（4,1）,

則以。為圓心，2為直徑的圓的方程為（x—4）2+（y-l）2=|.

故選：C.

4.（25-26高二上?湖南長沙?階段練習(xí)）圓M:。-3產(chǎn)+（＞，+4）2=1關(guān)十直線X-），-2=0對(duì)稱的圓N的方程是（）

A.(x+2)2+(y+l)2=lB.(x-2)2+(y-l)2=l

C.(x—2產(chǎn)+(y+1尸=1D.Cv+2)2+(y-l)2=l

【答案】D

【分析】由題求出“（3,T）關(guān)于x-），-2=。的對(duì)稱點(diǎn)，據(jù)此可得答案.

【詳解】由題可得圓心M（3,-4）,半徑為1,設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線“一y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)為（x,y）,則

I=；二:，則N（-2,l）,又圓N半徑也為1,

色上-2=0

22

所以圓N的方程為（x+2產(chǎn)+（y-1）?=1.

故選：D.

5.（25-26高二上?重慶?開學(xué)考試）點(diǎn)尸在圓V+）,2=36上運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)0（4,0）所連線段中點(diǎn)為M,則點(diǎn)M軌跡方

程為（）

A.(X-2)2+/=9B.(x+2)2+y2=9C.x2+(y-2)2=90.x2+(y+2)2=9

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)M（x,y）,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P（2x-4,2y）,進(jìn)而代入Y+9=36即可求解.

【詳解】設(shè)由用（xy）,尸（毛,為）,

因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn),

2,則，x,=2x-4.、

所以c,即P(2x-4,2y),

>0=2y

2

又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)尸在圓上，所以（2%-4）2+（2），）2=36,

則丁-4工+)，2-5=0,HP(x-2)2+y2=9,

則點(diǎn)M軌跡力程為(x-21+y?=9.

故選：A.

6.(24-25高二下?甘肅白銀?期末)圓心在直線)，=”上，且經(jīng)過點(diǎn)打3,1),的圓的方程為()

A.x2+y2-2x-2y-2=0B.x2+y2-4x-4y-2=0

C.x2+y2-2x-2y-\=0D.x2+y2-4.r-4y-1=0

【答案】A

【分析】由圓心在），=x,可設(shè)圓的一般方程為f+），2+DY+?y+F=（）,然后代點(diǎn)求解即可.

【詳解】解析：設(shè)所求圓的方程為爐+3,2+。丫+。）、+尸=0,

因?yàn)樵摿羞^點(diǎn)夕（31），

9+1+3。+。+尸=0

所以l+l+D-D+F=0解得3r=2

所以該員I的方程為/+）2-24-2），-2=（）.

故選：A.

7.（2025?江蘇連云港?模擬預(yù)測）已知線段AB的端點(diǎn)8的坐標(biāo)是（5,3）,端點(diǎn)A在圓/+爐=4上運(yùn)動(dòng)，則線段A8的

中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

【答案】D

【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及圓的方程，可得答案.

5+。

x=----仿_,.5

【詳解】設(shè)人（4為），由M為AB的中點(diǎn)，貝IJJ即：=；'一；

J+DZ7=2y-3

由點(diǎn)A在圓f+y=4上，則"+從=4,Bp(2x-5)2+(2y-3)2=4,

化簡可得口—1）+（），—|j=L

故選：D.

8.（24-25高二下?上海寶山?期中）已知圓0:（》-3『+（），-2）2=1,圓。2：（l-6）2+（），-5『=4,M、N分別是圓C1、

G上的動(dòng)點(diǎn)，p為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）

A.3&B.1C.3M-3D.5石

【答案】C

【分析】作出圓G關(guān)于）'軸對(duì)稱的圓利用對(duì)稱的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及兩點(diǎn)間線段最短求出最小直.

【詳解】圓C1的圓心G（3,2）,半徑用=1,圓管的圓心G的,5）,半徑用=2,

作圓G關(guān)于）'軸對(duì)稱的圓C。：（x+3產(chǎn)+（），-2>=1,其圓心C°（-3,2）

因此I尸M|+|PN|=|PC,l-l+lPC21-2=|尸G)I+1PGI-3習(xí)1-3=3710-3,

當(dāng)且僅當(dāng)P是線段C°G與）'軸的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào),

所以|PM|十|PN|的最小值為3M-3.

二、多選題

9.（25-26高二上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）已知/+），2+4%-2丁-7=0表示圓，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.圓心坐標(biāo)為（-2,1）B.圓心坐標(biāo)為（2,-1）

C.半徑r=12D.半徑r=26

【答案】AD

【分析】配方后化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)而即得.

【詳解】由/+/+4工一2），-7=0可得（％+2）2+（），一1）2=12,

所以圓心坐標(biāo)為（-2,1）,半徑為r=g=2G.

故選：AD

10.（25?26高二上?山東薄澤?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)乂丁滿足圓的方程（x-l『+）？=；,貝（）

A.圓心半徑為3B.x的最大值為T

C.Jf+（y_］）2的最大值為&十；D.x-丁的最大值為4

【答案】BCD

【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷A,由（x-iyv：解出即可判斷B,由五2+（y-1『表示圓上點(diǎn)可），）到定點(diǎn)（0,1）

的距離，計(jì)算圓心（1,0）到定點(diǎn)（0/）的距離，利用幾何意義進(jìn)行求解可判斷C；利用圓的方程將），2轉(zhuǎn)化為一元二

次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值判斷D.

【詳解】對(duì)于A：由圓的方程（x-l『+y2=；,所以圓心為（1,0）,半徑為故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由（彳—1）+）:=，,<-=>--<x-l<-=>-<x<-,

''4'42222

3

所以x的最大值為3，故B正確：

對(duì)于C：+（）,_］『表示圓上點(diǎn)（內(nèi)）到定點(diǎn)（0/）的距離,

圓心（1,0）到定點(diǎn)（0,1）的距離為d=^（|-0）2+（0-1）2=V2,

所以圓上點(diǎn)。；），）到定點(diǎn)（0,1）的距離的最大值為故C正確;

對(duì)于D：由（1一爐+V=［得V=］一（犬一1）2,

所以1一）/=x--+（jr-l）2=x2-x+-,—<x<—,

'47422

a，ri3

令/（X）=W7+］,由在單調(diào)遞增，

所以〃所以工-產(chǎn)的最大值為5,故D正確?

故選：BCD.

11.（25-26高二上?全國?單元測試）已知圓。:爐+），2一4“-14），+45=。及點(diǎn)&-2.3）,則下列說法中正確的是（）

A.圓心。的坐標(biāo)為（一2,-7）

B.點(diǎn)。在圓C外

C.若點(diǎn)打〃1,〃?+1）在圓C上，則直線PQ的斜率為:

D.若用是圓C上任一點(diǎn)，則IMQI的取值范圍為12枝,6五1

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A,將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于B,將0-2,3）代入圓方程可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于

C,將點(diǎn)代入圓方程可得小，然后由斜率計(jì)算公式可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于D,當(dāng)M，C,Q三點(diǎn)共線時(shí)，

可得|加。最值，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤.

【詳解】對(duì)于A,圓。:/+/一44一14），+45=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）2+（y-7）2=8,

所以圓心坐標(biāo)為（2,7）,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,將0-2,3）代入圓力程，得4+9+8-42+45>0,所以點(diǎn)。在阿C?外.故B正確；

對(duì)于C,若點(diǎn)+在圓。上，則加2+（〃?+1）2-4〃?-14（〃7+1）+45=0,

解得m=4,則24,5）,所以直線PQ的斜率為原0=^=7=；.故C正確；

對(duì)■于D,|C01=J（2+2>+（7-3產(chǎn)=4板廠=24,因?yàn)椤笆菆AC上任一點(diǎn)，

所以ICQ-TMQ區(qū)|CQ+r,所以的取值范圍為[2忘,6&].

故選：BCD

12.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知圓C的方程為F+y2-8x+12=0,點(diǎn)P（拓，%）是圓C上任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.圓。的半徑為4

B.滿足|中=5的點(diǎn)。有兩個(gè)

C.%+2%的最大值為4+2逐

D.若點(diǎn)M在x軸上，則滿足歸0|=2歸M|的點(diǎn)〃有兩個(gè)

【答案】BC

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心坐標(biāo)與半徑，可判斷選項(xiàng)A；由圓上任意點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最值可判斷選

項(xiàng)B；令%+2%=/,然后根據(jù)點(diǎn)。在圓上，借助一元二次方程有解求解.%+2），°的最值，即可判斷選項(xiàng)C；設(shè)出點(diǎn)M

的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】選項(xiàng)A：圓C的方程可化為（x-4『+y2=4,所以圓心C（4,0）,半徑等于2,故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由于|因=4,所以圓C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)。的最大距離是4+2=6,

最小距離是4-2=2,因此滿足4=5的點(diǎn)。有兩個(gè)，故B正確；

選項(xiàng)C：令％+2%=工,則%=，一2%，所以尸（￡-2%,%）,

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓C的方程并整理，得5必+（16—4，）），。+（一一8/+12）=0,

依題意有△=（16-4f）2-20（產(chǎn)-8+12）之0,即產(chǎn)-8.440,

解得4-2石W/W4+2石，因此小+2%的最大值為4+2石，故C正確.

選項(xiàng)D：不妨設(shè)由于|尸O|=2|PM|,所以&+￥=2優(yōu)%-4+）3

整理得片+y：一等。+#=o.因?yàn)辄c(diǎn)D(毛,%)在圓c上，

所以年+此一8%+12=0,貝(導(dǎo)-8'+(12-：/)=0,

--8=0

因此《，得4=3,

12'/二。

3

所以符合要求的點(diǎn)M是唯一的，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

13.(24-25高三下?全國?開學(xué)考試)已知圓C經(jīng)過點(diǎn)(3,0)和(0,1),且圓C被工軸，y軸截得的弦長相等，則圓C的

方程可以是()

A.(x+l)2+(y+7)2=65B.(.r-2)2+(>--2)2=5

C.(.r-l)2+(.y+l)2=5D.(x-3)2+(y-5)2=25

【答案】BC

【分析】設(shè)圓心為(4〃)，由題意列出相應(yīng)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，即得答案.

【詳解】設(shè)圓心為(。，〃)，由題意可得同=回，且(〃-3『+/=/+僅一1J,

解得4=〃=2或a=l,》二T

則戶=5一3『+從=5,即圓方程為("2)2+()，-2)2=5或(1-1)2+(丁+1)2=5,

故選：BC

14.(24-25高二上海南?期中)己知MC:/+)，-2辦--4少+5/+4-6=0,則下列說法正確的是()

A.圓C的半徑為6-a

B.圓C關(guān)于直線)，=2x對(duì)稱

C.若〃=1,則圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)

D.若圓C的圓心到丁軸的距離等于圓。的半徑，則。=2或-3

【答案】BCD

【分析】把圓C的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，明確圓心和半徑，再根據(jù)圓的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)是否正確.

【詳解】圓C：(x-fl)'+(y-2a)'=6-a,

所以圓心為C(a,為)，圓的半徑：r=d6-a,(。<6),故A錯(cuò)誤；

因?yàn)閳A心C(?2a)在直線y=2x上，故圓C關(guān)于直線丁=2X對(duì)稱，故B正確；

對(duì)C：當(dāng)a=1時(shí),圓C：x2+y2-2x-4y=0,所以圓。過坐標(biāo)原點(diǎn),故C正確:

對(duì)D：由4=—々且4<6=〃=2或一3,故D正確.

故選：BCD

三、填空題

15.（25-26高二上?江蘇無錫?階段練習(xí)）已知圓C過點(diǎn)加（0,-2）,N（3,l）,且圓心C在直線/：3x-y-6=0上，則

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】卜-牙+卜+/W

【分析】解法一，根據(jù)題意設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（犬-4+（）=〃『=產(chǎn)（—>（）），進(jìn)而待定系數(shù)法求解即可;

解法二：由題知圓心在線段MN的垂直平分線x+）-l=O上，進(jìn)而結(jié)合題意得圓的圓心與半徑，寫出方程;

【詳解】解法一：設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a），（y-32=/什>0）.

(O-r/)2+(-2-6)2=r2

由已知得＜(3-?！?(1-32=/，

3。一〃一6=0

解得a=2,〃=-3

44

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1-（）+卜+；37

解法二：由圓C經(jīng)過點(diǎn)M（o,-2）和N。/），可知圓心在線段MN的垂直平分線上,

易知MV的中點(diǎn)為攵=匕上3=1,所以垂直平分線的斜率為-1,

122）3-0

所以線段MN的垂直平分線方程為）「（一；］=—1—外，即3+>-1=0,

7

x=一

4

一丁，得\，即圓心C7_3

，-

[3x-y-6=044

4

_x/74

一丁'

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為137

T

7

故答案為:x—

4

16.（25-26高二上?山東泰安?階段練習(xí)）已知兩點(diǎn)A（-2,0）1（2,2）,則以人B為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】x2+（y-l）2=5

【分析】根據(jù)題意，求圓心和半徑可得結(jié)果.

【詳解】由A（—2,0）,B（2,2）,得圓心的坐標(biāo)為，等）二（01），

|/4B|=^（2-（-2））?+（2-0）2=VI6+4=^0=275，

因此，圓的半徑r=g|A8|=后.

故以A8為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.，+（＞，-=5.

故答案為：x2+（y-l）2=5

17.（25-26高二上?河北邢臺(tái)?階段練N）已知A（3,l）,圓。:*+1尸+（），-2尸=1,B是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，P是x軸上的動(dòng)

點(diǎn)，則|PA|十|陽的最小值是.

【答案】4

【分析】首先把|尸A|+|P用的最小值轉(zhuǎn)化為|%+歸。-1的最小值，再利用最短路徑問題的結(jié)論即可求解.

【詳解】由題意可知圓心。的坐標(biāo)為（T2）,半徑r=1,

點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,-1）,

則I=IPW],從而|尸4|+1PC|-1P川一|尸q31AC|-J（3+1）2+（一1一2）2=5,

故|M+|PB|N|HC|T=4,即|PA|+|P3|的最小值是4.

故答案為：4

18.（25?26高二上?天津?階段練習(xí)）已知點(diǎn)尸是圓。:/+），2=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)4（4,2）,則線段”中點(diǎn)”的軌跡方

程為一.

【答案】（x-2）2+（y-1『=1

?*=：?：，進(jìn)而代入圓的方程即可求解.

【分析】設(shè)/（?%），）,PC%，%）,根據(jù)M為AP的中點(diǎn)可得，

[No=2），-2

【詳解】設(shè)