4.5相似三角形判定定理的證明導學案

01學習目標

1.理解并掌握三角形相似的三個判定定理（AA、SAS、SSS）,能夠獨立完成定理的證明過程..

2.能夠運用判定定理解決簡單的外何問題，并初步嘗試在復雜圖形中識別相似三角形.

3.在證明過程中，學會添加輔助線、構造相似關系的基本策略，發(fā)展邏輯推理能力，在探究定理證明的過

程中，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學思維習慣和科學態(tài)度.

學習重點：三角形相似判定定理（AA、SAS、SSS）的證明思路與過程.

學習難點：掌握從已知條件出發(fā)，通過構造輔助線或中間量完成定理證明的思維方法；理解證明過程中

“比例線段”與“角度相等"的關聯(lián)性，尤其是在復雜圖形中識別對應關系.

學習過程

第一環(huán)節(jié)自主學習

溫故知新：

1.相似三角形的定義：,的兩個三角形叫做相似三角形

2.平行線分線段成比例定理：三條兩條直線，所得的對應線段成比例

3.平行線分線段成比例定理的推論：平行于一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所

得的對應線段

新知自研：自研課本第99102頁的內容.

【學法指導】

情景引入

前面的課程中，我們通過測量角的大小、計算邊的比例，探索出了三個三角形相似的判定條件?

兩角分別相等、兩邊成比例且夾角相等、三邊成比例。大家憑借直覺和操作，相信了這些結論的合理性。

但數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，“看起來相似”六“邏輯上一定相似”。

比如，我們任意畫兩個二角形，ZA=ZAJ=60°,ZB=ZB'=70°,它們看起來相似，但如果沒有嚴

謹?shù)淖C明，我們能百分百確定所有這樣的三角形都相似嗎？再比如，有兩個三角形，三邊的比都是

2:3:4,我們能直接說它們一定相似嗎？

今天，我們就要當一回“數(shù)學偵探”，用邏輯推理的武器，為這三個“看似正確”的判定條件，

搭建起“無懈可擊”的證明橋梁

自研課本P99102頁的內容，思考：

?探究一：兩角分別相等的兩個三角形相似的定理證明

A

已知：在△ABC和△AB'C'中，Z-A=Z/1S乙B=cB'。

求證：△/?。?△，夕。，

01.構造輔助線.

截取40=&*,是為了構造與△4*C'有邊等量關系的中間三侑形,通過搭建△

4BC與△4*0之間的“邏輯橋梁”

02.步驟1：作DE〃BC,推導角與邊的關系

角的關系：^ADE=,^AED=

邊的比例關系：*=______

AB

團3.步驟2：作DF||AC,推導線段比例與平行四邊形

線段比例：黑=

比例轉化：嶗啜畤喑得色——；

平行四邊形判定：VDE||BC,OFII4C（兩組對邊分別平行），

四邊形DFCE是平行四邊形.

平行四邊形性質：

?4步驟3：證明全等，銜接相似

?.ZANA，（已知），AD=A'B'（輔助線截取），4ADE=ZLB',

銜接相似：

?:DE||BC（輔助線構造），ADE?

結論推導：由4ADE=△A'B'C^IUADEABC,可得

05.知識歸納

三角形相似的判定定理一：兩角分別相等的兩個三角形相似

符號語言：在AABC和△4EC中，

???（AA相似判定定理）

練一練

即時訓練

如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，DE||AC,zDEF=zA.求證:

△BDE'-AEFC.

A

?探究二兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似的定理證明

已知：在△43C和△A8'C'中，AB_AC_

A'B'=A'C'0

求證:AABC?AA'BC

01.構造輔助線：

過點。作DEII8C交AC于E,則：

MBCs（兩角分別相等的兩個三角形相似）；

變=（相似三角形對應邊成比例）

AD------

02.步驟1：比例轉化求AE.

由AABCSAADE，得竺=任；

ADAE

又=4夕（輔助線截?。?，代入上式得”=

A'B'------

己知任=￡,故”=（等量代換）；

A'B1A'C1AE------

因4CH0,兩邊同時除以4C得2_=，一，故AE=

AEA'C'

圖3.步驟2：證明△力DE三△AB'C'：.

已知乙4=乙4（題目條件）；

輔助線截取得4）=48':

上述推導得AK=;

因此，&ADE三（SAS）

04.步驟3：銜接相似結論

△ADE會△/、'B'C'完全重合，故△4DE?△AB'C'（全等是相似的特殊情況，相似比為1）

己證△4BC?且△AOE-△AB'C'（全等-＞相似）；

根據(jù)相似的傳遞性，得aABC?..

?5.知識歸納

三角形相似的判定定理二：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

符號語言：在△4BC和中，

ABC?（“SAS”）

練一練

如圖，AB?AF=AE?AC,且』=22,求證：aABC?ZkAEF.

?探究三三邊成比例的兩個三角形相似的定理證明

已知：在△A8C和△48'C'中，三邊對應成比例，即AB_=BC_=AC_

A'B'B'C'ArC

求證：△4RC?△4PU（兩個三角形相似）

01.構造輔助線：

由”=￡，且/40=4'8'，AE=A'C^可得絲=:

A'B1A'C1AD------

又因為乙84C=NOAE（公共角），所以△ABC?

02.步驟一：多次比例轉化與邊的等量推導

由&Z43C-△/40E，得絲=;

AD------

又因4D=AB'，"=匹，故絲=；

A'B'B'C'AD------

因此些=匹，從而。E=

DEB'C'

日3.步驟二：全等證明與相似結論銜接

因為zW=A8'，AE=A'C'^DE=B，C'，

所以AAOEV（SSS全等判定）：

又因為△力BC?△4DE，所以△ABC?

?4.知識歸納

三角形相似的判定定理三：三邊成比例的兩個三角形相似

符號語言：在△4BC和△4*0中，若它們的三邊對應成比例，

即：_____________________________

則這兩個三角形相似，記作：△ABC?（SSS相似判定）

第二環(huán)節(jié)合作探究

小組群學

在小組長的帶領下：

A.以小組為單位，交流以下問題：

（1）討論如何把復雜的過程化繁為簡

（2）討論每個步驟的目的是什么？如何讓每個步驟之間緊密聯(lián)系？

1鞏固練習

1.如圖，下列條件不能判定△4D8SA/IB。的是（）

A.ZABD=ZACBB.ZADB=NABC

C.AB2=AD^ACD.AB2=AD^BC

2.如圖，己知N!=N2,那么添加下列一個條件后，不能判定△力8cszMOE的是（）

A.NC=NEB.NB=^ADE

AB_BC

c常AD~DE

3.如圖，下列條件：①/B=ND：②NC=NE：/=器；④竽=條其中單獨能夠判定△ABC

4DE的條件有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

4.如圖，P為線段48上的一點，4。與8C交于點E,4PD=/A=/B,BC與PD交于點、F,力。交PC于

點G，則下列結論中錯誤的是（）

A.△APDsxPGDB.AAPGS^BFP

C.APCFfBCPD.ACGE?&CBP

5.如圖，要使△AEO和△力BC相似，已具備條件,還需補充的條件是_____________,或

______________，或______________

請再添加一個條件，使你添加的條件是

（寫出一個即可）.

7.如圖，在正方形網(wǎng)格中：①ACEB；②△CD8；③ADEB；這3個斜三角形中，能與△相似的是

.（點力、B、C、0、E均在格點上）

A

04提升專練

題型一：利用“兩角分別相等“判定三角形相似

1.如圖，在中，LABC=90°,E是邊AC上一點，且BE=8C,過點A作BE的垂線，交BE的延

長線于點D,求證：△ADE-ZkABC.

2.如圖，在△ABC中，NABC=2/C,點E為AC的中點，AD_LBC于點I),ED延長后交AB的延長線于點

F,求證：AAEF^AABC.

(1)求證：ABAD?ACAD；

(2)若點0是4C邊上一點，連接80交40于E,0F_L0B交8c邊于點兒求證：AABE-AC0F.

OC

題型二：利用“兩邊成比例且夾角相等“判定三角形相似

4.如圖所示，點D是△ABC的AB邊上一點，且AD=1,BD=2,卜C=6求證：△ACDs^ABC.

6.如圖，在4X4的正方形方格中，△ABC和的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.

(1)填空：ZABC=,BC=^

(2)判斷aABC和4DEF是否相似，并證明你的結論.

AB

題型三利用“三邊成比例”判定三角形相似

7.根據(jù)下列條件，判斷AABC與A，BC是否相似，并說明理由：

(1)48=4cm,BC=6cm,AC=8cm,AB=12cm?BC=18cm>AC=24cm：

⑵N4=120°，AB=7cm,AC=14cm,ZA=120°,AB=3cm,AC=6cm.

8.如圖，在MBC和B'L中，D.D'分別是48、4B,上一點，啜=督一，當黑=*=