2.5.2圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容與解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課圍繞人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)252”圓與圓的位置關(guān)系”展開，先回顧圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程與一般方程，再通過幾何直觀（圖形觀察）和代數(shù)運(yùn)算（方程聯(lián)立）兩種方法，探究圓與圓的五種位置關(guān)

系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含；明確幾何判斷依據(jù)為兩圓半徑之和/差與圓心距的大小關(guān)系（設(shè)兩

圓半徑為小與，圓心距為d=|。］。21=J（X|-+（x-）’2『，外離+G，外切od=4+為，相

交可彳一目＜d＜4+4,內(nèi)切od=h—目，內(nèi)含=〃＜卜—目），代數(shù)判斷依據(jù)為兩圓方程聯(lián)立方程組的

解的個(gè)數(shù)（無解對(duì)應(yīng)外離/內(nèi)含，唯一解對(duì)應(yīng)外切/內(nèi)切，兩解對(duì)應(yīng)相交）；最后結(jié)合實(shí)例講解位置關(guān)系

的判定與應(yīng)用，幫助學(xué)生掌握兩種判定方法，建立幾何與代數(shù)的聯(lián)系，提升數(shù)形結(jié)合能力.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課是人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第二章“直線與圓的方程”的延伸，承接“直線與圓

的位置關(guān)系“，是解析幾何中“用代數(shù)方法研究幾何問題”思想的進(jìn)一步深化，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線位置關(guān)

系奠定基礎(chǔ)，在知識(shí)體系中起承上啟下作用.學(xué)生已掌握?qǐng)A的方程、兩點(diǎn)間距離公式及直線與圓位置關(guān)系的

判定方法，具備一定幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算能力，但對(duì)“幾何特征與代數(shù)表達(dá)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系“理解需強(qiáng)化，

尤其在區(qū)分內(nèi)切與內(nèi)含、外切與外離的代數(shù)判定差異上可能存在困難.通過幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合，幫

助學(xué)生建立，，形”與“數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不僅能掌握?qǐng)A與圓位置關(guān)系的判定方法，更能提升數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用能力，培養(yǎng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

本節(jié)課以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程為基礎(chǔ)，通過兩種路徑探究圓與圓的五種位置關(guān)系：一是幾何法，

依據(jù)兩圓半徑（不與）與圓心距（"二盤。2|=『&-工2）2+（》-%）2）的大小關(guān)系，明確外離

+G）、外切（4=（十弓）、相交（心一，"。十弓）、內(nèi)切（d=〃=,一回）、內(nèi)含

（1＜卜-寸）的判定標(biāo)準(zhǔn)：二是代數(shù)法，通過聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)（無解對(duì)應(yīng)外離/內(nèi)

含、唯一解對(duì)應(yīng)外切/內(nèi)切、兩解對(duì)應(yīng)相交）進(jìn)行判定.課堂中結(jié)合實(shí)例演示兩種方法的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生

對(duì)比兩種方法的優(yōu)劣，重點(diǎn)強(qiáng)化幾何特征與代數(shù)表達(dá)式的對(duì)應(yīng)邏輯，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)框架，提升

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：掌握?qǐng)A與圓五種位置關(guān)系的幾何與代數(shù)判定方法，理解數(shù)

形對(duì)應(yīng)邏輯.

教學(xué)目標(biāo)與解析

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系及判定方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)

（2）能根據(jù)圓的方程判斷圓與咧的位置關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素芥

（3）能綜合應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決問題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)

2.目標(biāo)解析

（1）該目標(biāo)要求學(xué)生明確圓與圓的五種位置關(guān)系，掌握幾何法（圓心距與半徑關(guān)系）和代數(shù)法（方程

聯(lián)立解的個(gè)數(shù)）兩種判定方法.通過將具體位置關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)條件與方法，讓學(xué)生脫離直觀圖

形，形成抽象的數(shù)學(xué)認(rèn)知，從而有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

（2）此目標(biāo)聚焦實(shí)際應(yīng)用能力，需學(xué)生運(yùn)用圓的方程，先計(jì)算圓心距、半徑，再通過幾何法比較或代

數(shù)法聯(lián)立方程判斷位置關(guān)系.整個(gè)過程需精準(zhǔn)運(yùn)算，在規(guī)范計(jì)算步驟、處理運(yùn)算結(jié)果中，強(qiáng)化數(shù)

學(xué)運(yùn)算能力，達(dá)成數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo).

（3）該目標(biāo)側(cè)重“應(yīng)用”，要求學(xué)生掌握用待定系數(shù)法（據(jù)三個(gè)獨(dú)立.條件列方程組求D、E、F）求一般

方程，同時(shí)能將其用于解決直線與圓位置關(guān)系等簡(jiǎn)單問題，實(shí)現(xiàn)理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化.

（4）該目標(biāo)強(qiáng)調(diào)綜合運(yùn)川，要求學(xué)生結(jié)合具體問題，整合位置關(guān)系判定方法與其他數(shù)學(xué)知識(shí)（如圓的

性質(zhì)）分析問題.在分析、推理、解決問題的過程中，需梳理邏輯鏈條，驗(yàn)證推理合理性，逐步

提升邏輯推理能力，實(shí)現(xiàn)邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

學(xué)情分析

學(xué)生已學(xué)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程，能根據(jù)方程求出圓心和半徑，掌握兩點(diǎn)間距離公式，可計(jì)算圓心

距；此前學(xué)習(xí)過直線與圓的位置關(guān)系，對(duì)“幾何特征與代數(shù)運(yùn)算結(jié)合”有初步認(rèn)知.多數(shù)學(xué)生能熟練計(jì)算圓

心、半徑及圓心距，但對(duì)“通過代數(shù)運(yùn)算（聯(lián)立方程）推導(dǎo)位置關(guān)系”的邏輯理解較淺，部分學(xué)生易混淆

半徑和與差的計(jì)算.

教學(xué)中可能遇到的困難

1.難以精準(zhǔn)區(qū)分內(nèi)切與內(nèi)含、外切與外離的幾何條件，易忽略“半徑差取絕對(duì)值”的細(xì)節(jié).

2.聯(lián)立兩圓方程后，對(duì)“判別式與位置關(guān)系的對(duì)應(yīng)邏輯”理解模糊，無法將代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何意義.

3.綜合應(yīng)用時(shí)，難以快速選擇合適判定方法（幾何法或代數(shù)法），尤其在過雜問題中易思路混亂.

解決方法：

1.用動(dòng)態(tài)幾何課件演示兩圓位置變化，對(duì)比呈現(xiàn)半徑和差與圓心距的關(guān)系，強(qiáng)化細(xì)節(jié)記憶.

2.分步推導(dǎo)聯(lián)立方程的過程，結(jié)合判別式取值，對(duì)應(yīng)講解不同解的個(gè)數(shù)所代表的幾何意義，建立

“數(shù)”與“形”的關(guān)聯(lián).

3.通過典型例題對(duì)比兩種方法的適用場(chǎng)景，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)選擇策略，再通過變式練習(xí)鞏盾應(yīng)用.

基「以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：精準(zhǔn)區(qū)分圓與圓位置關(guān)系的幾何條件，及聯(lián)立方程后代數(shù)

結(jié)果與幾何意義的轉(zhuǎn)化.

^^教學(xué)過程設(shè)計(jì)

新課導(dǎo)入

這里有一個(gè)完美的愛情故事：黑色的代表你媽媽的生活圈，黃色的代表你爸爸的生活圈.

這也是我們今天要學(xué)習(xí)的兩圓之間的五大位置關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：以生活中熟悉的“父母生活圈”愛情故事為載體，將抽象的圓與圓位置關(guān)系具象化，快速激發(fā)學(xué)

生興趣，自然引出五大位置關(guān)系，降低知識(shí)理解門檻.

教學(xué)建議：講解時(shí)可配合動(dòng)態(tài)圖示展示對(duì)應(yīng)位置關(guān)系，故事后引導(dǎo)學(xué)生舉例身邊類似圓的位置場(chǎng)景，強(qiáng)化對(duì)

五大位置關(guān)系的初步感知，為后續(xù)深入學(xué)習(xí)鋪墊.

新知探笈

思考：之前根據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來確定不同位置關(guān)系，類比，根據(jù)圓與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來確定，有哪

幾種位置關(guān)系？

學(xué)生：兩個(gè)圓之間存在以下三種位置關(guān)系：

(1)兩圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)兩圓相切，包括外場(chǎng)與內(nèi)切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)兩圓相離，包括外離與內(nèi)含，沒有公共點(diǎn).

內(nèi)切

兩網(wǎng)相交

兩網(wǎng)和切

設(shè)計(jì)意圖：通過具體的情景，幫助學(xué)生回顧初中幾何中已學(xué)的圓與圓的位置關(guān)系.

探究：如何利用兩圓的半徑和圓心距的關(guān)系判定圓與圓的位置關(guān)系？

師生：共同分析可以類比運(yùn)用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系的方法，探究圓與圓的位置關(guān)系

師生活動(dòng)：

(1)學(xué)生回顧初中所學(xué)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法，類比直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，自主歸納

圓與圓的位置關(guān)系的判定方法.

(2)教師巡視全班并展示部分學(xué)生的做法：

預(yù)設(shè)：圓q:(x-X1)2+(y-y)2＞0),圓d=22?。?)，兩圓的圓心

距"=QqI=-/)2+(y-%『，則有

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

0?

圖示電

d與rl,

,一回<d<…

d>+r2"=，i+與

r2的關(guān)系

探究：類比直線與圓的位置關(guān)系的判斷，是否可以用代數(shù)法判斷呢？

又如何利用代數(shù)法判斷兩圓的位置關(guān)系呢？

預(yù)設(shè)：代數(shù)法:圓?：/+),2+0/+耳)，+七=0(〃2+耳2—4片＞0),圓

20(E＞；+&-4鳥＞0),兩圓的方程聯(lián)立得方程組，則有

O2:^+y+D2X+E2y+F2=

方程組解的情況2組1組0組

兩圓的公共點(diǎn)2個(gè)1個(gè)0個(gè)

兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含

設(shè)計(jì)意圖：類比直線與圓的位置關(guān)系的研究圓與圓的位置關(guān)系.

應(yīng)用新知

例5已知圓G：f+y2+2x+8y-8=0,圓C?:f+)，-4才-4)，-2二。，試判斷圓G與圓G的位置

關(guān)系.

學(xué)生：思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準(zhǔn)備.

師生：共同分析：思路k圓G與圓02的位置關(guān)系由它們有幾個(gè)公共點(diǎn)確定，而它們有幾個(gè)公共點(diǎn)又由

它們的方程所組成的方程組有幾組實(shí)數(shù)解確定；

思路2：借助圖形，可以依據(jù)連心線的長(zhǎng)與兩半徑的和/；+為或兩半徑的差的絕對(duì)值，-用的大小關(guān)系，

判斷兩圓的位置關(guān)系.

預(yù)設(shè)：解法1:將圓與圓的方程聯(lián)立，得到方程組

x2+y2+2x+8y-8=0①

x2+y~-4x-4y-2=0②

①-②，得

x+2y-l=0③

由③，得

1-x

y=—.

把上式代入①，并整理，得

x2-2x-3=0④

方程④的根的判別式

A=(-2)2-4xlx(-3)=16>0

所以.方程④有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為,把此?為分別代入方程③.得到X.

因此圓G與圓C?有兩個(gè)公共點(diǎn)4%，,)，B*2,%)，這兩個(gè)圓相交.

解法2：把圓G的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得(X+1)2+()，+4)2=25,圓G的圓心是(-1,-4),半徑4=5.

把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x—2)2+(y—2)2=10,圓C2的圓心是(2,2),半徑4二而，圓G

與圓G的連心線的長(zhǎng)為1-2)2+1-2)2=3亞.

圓G與圓G的兩半徑之和/f+/；=5+Vio,兩半徑長(zhǎng)之差4一4=5-Jid.

因?yàn)?—Jiiv3/<5+屈，up-7；<3>/5</;+/;,所以圓G與圓C2相交（圖2.5-6）,它們有兩

個(gè)公共點(diǎn)A，B.

思考：畫出圓卻與圓C2以及方程③表示的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能說明為什么嗎？

學(xué)牛：回顧解題過程，并總結(jié)答案

預(yù)設(shè)：當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程相減，所得二元一次方程是兩圓公共弦所在直線的方程.

師生總結(jié)：求兩相交圓的公共弦所在直線方程方法：

將兩圓的方程相減，消去X?與y2得二元?次方程即為所求.

思考：為什么不需要把圓G與圓G的兩個(gè)公共點(diǎn)4x，y），B（w，%）的具體坐標(biāo)求出來？

學(xué)生：思考、交流、討論，體會(huì)設(shè)而不求的重要數(shù)學(xué)思想；

預(yù)設(shè)：本題只要判斷圓G與圓G是否有公共點(diǎn)，并不需要求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)，因此不必解方程④，具體

求出兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

思考：在解法1中，如果兩圓方程聯(lián)立消元后得到的方程的△=（）,它說明什么？你能據(jù)此確定兩圓是內(nèi)

切還是外切嗎？如何判斷兩圓是內(nèi)切還是外切呢？當(dāng)八<0時(shí)，兩圓是什么位置關(guān)系？

學(xué)生：與同桌討論和思考，嘗試著得出答案.

預(yù)設(shè)：當(dāng)△=（）時(shí)，它說明兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩圓相切但無法確定是內(nèi)切，還是外切；

當(dāng)A<0時(shí)，它說明兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，兩個(gè)圓相離，但無法確定是外離，還是內(nèi)含.

追問：如何判斷兩圓是內(nèi)切還是外切（是外離還是內(nèi)含）？

學(xué)生：幾何法

牛刀小試：

練：1:代數(shù)法判斷圓卻：/+），2一2工=（）與圓。2：/+）,2—4），=0的位置關(guān)系，若有公共點(diǎn)，求出公共點(diǎn)的坐

標(biāo).

師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案;

r"+V?-2x=0

預(yù)設(shè)：依題意，聯(lián)立方程組，二,八，將兩方程相減并億簡(jiǎn)得x=2y,

x~+y~-4y=0

把x=2y代入第一個(gè)方程得到5/一4,，=0,解得y=(),%=1，

Q

從而M=0,x=-.

2J

所以圓C與G相交于兩點(diǎn)(0,0)與(5'5l

練2：幾何法判斷圓G：f+)，2+21-6)，+1=0與圓。2：/+)，2—以+2)，-11=0的位置關(guān)系，若用交，求出公

共弦所在直線的方程.

師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；

預(yù)設(shè)；圓G：*2|y212x6yli=0,即(x+I)?十(y—3)2—9,所以G(1,3兒=3,

圓&"2+>2―41+2)，—11=0,g|J(.r-2)2+(y+l)2=16,所以G(2,-l),4=4,

則|肉=J(2+l『+(—1-3)2=5,

所以-一「v|GGk/+1，即圓G與圓G相交.

兩圓的方程相減得：6x-8y+12=0,即3x-4y+6=0

所以公共弦所在直線的方程為31-4)，+6=0

例6己知圓。的直徑A8=4,動(dòng)點(diǎn)例與點(diǎn)4的距離是它與點(diǎn)8的距離的拉倍.試探究點(diǎn)M的軌跡,

并判斷該軌跡與圓。的位置關(guān)系.

師生：共同分析?：我們可以通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得滿足條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，從而得

到點(diǎn)M的軌跡；通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關(guān)系，判斷這個(gè)軌跡與圓O的位置關(guān)系.

圖2.5-7

師生：給出題目后，教師通過以下問題引導(dǎo)學(xué)生思考：

（1）如何建立平面直角坐標(biāo)系？有哪些幾何對(duì)象需要用坐標(biāo)表示？

（2）問題中的幾何對(duì)象之間有哪些關(guān)系，如何用坐標(biāo)進(jìn)行表示？

（3）說說你對(duì)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡及軌跡方程的理解？

預(yù)設(shè)：如圖2.5-7,以線段AB的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，所在直線為不軸，線段AB的垂直平分線為V軸,

建立平面直角坐標(biāo)系.由AB=4,得人（一2,0）,3（2,0）.

設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為由=得J（x+2y+），2=企x2產(chǎn)+9,

2

化簡(jiǎn)，得—一12工+/+4=0,g|J（X-6）+/=32.

所以點(diǎn)M的軌跡是以P（6.0）為圓心，半徑為40的一個(gè)圓（圖2.5-7）.

因?yàn)閮蓤A的圓心距為歸。=6,兩圓的半徑分別為“=2,4=4及，

又斗一與＜?xì)w0|＜弓十弓，所以點(diǎn)M的軌跡與圓。相交.

牛刀小試:

練3：如果把本例中的“近倍”改為“依攵＞（））倍"，你能分析并解決這個(gè)問題嗎？

學(xué)生：思考、討論、交流，分析出答案；

預(yù)設(shè)：由例6同理可得，點(diǎn)M的軌跡方程可化為：

（公-1）/+（〃2_i）y2_4（公+］）工+4,2-］）=0

當(dāng)AHI時(shí)，方程化為:

坐,。］圓心,4k

其軌跡為以為P為半徑的圓，與圓O相交;

k2-\右一1|

重點(diǎn)題型

題型一：判斷兩圓的位置關(guān)系

例題：（1）代數(shù)法判斷圓好+丁=1與圓尸+爐+2“2），+1=0的位置關(guān)系

221

預(yù)設(shè)：由，：；Z+2*=。'可得》鵬=°'即產(chǎn)一r

x=0

代入/+丁=1,解得x=_］或工=0,故得.

y=T

所以兩圓位置關(guān)系為相交，的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）和（0,-1）

22

（2）幾何法判斷圓G：F+V-2y=0,C2:X+J-2yf3x-6=0的位置關(guān)系

22

預(yù)設(shè)：將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別為f+（y_i）2=/，（r-73）+/=3,

由此可知圓G的圓心為（0，D，半徑1=1;

圓的圓心為（6,。），半徑弓=3,

因此兩圓的圓心距d=7（O-V3）2+（1-O）2=2，

又因?yàn)?-1=2,所以5-4=4,所以兩圓內(nèi)切.

題型二：求兩圓相交時(shí)的公共弦長(zhǎng)

例題I（1）求圓G：*2+），2一2“=0與圓02：/+'2一4），=0的公共弦長(zhǎng).

r2+V2-21=0

預(yù)設(shè)：依題意，聯(lián)立方程組22,八，將兩方程相減并億簡(jiǎn)得工=2），，

x2+/-4y=0

把工=2），代入第一個(gè)方程得到5），2-4y=0,解得X=0,為=］4，

從而x=o,電=|.所以園G與G相交于兩點(diǎn)A（0.0）與

所以圓C1與3的公共弦長(zhǎng)為|48|=+lr°

方法總結(jié)：代數(shù)法求公共弦長(zhǎng)

聯(lián)立兩圓方程，解方程組，得出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求得公共弦長(zhǎng).

（2）求圓6：/+/-2），-4=0與圓3：/+/-4.1+2），=0的公共弦長(zhǎng).

預(yù)設(shè)：G：/十一2y一4一。變形為/=5,圓心為（0,1）,半徑為逐，

C:V+/-2y-4=0與G：/+?，2-4工+2），=。相減得到公共弦所在直線方程，

即一2y一4+4%—2），=0,整理得：x—），-1=0,

故公共弦長(zhǎng)為2VT彳=2x>/5方=.

方法總結(jié)：幾何法求公共弦長(zhǎng)

先利用兩圓方程作差求出公共弦所在直線的方程，然后轉(zhuǎn)化為求直線被圓截的弦長(zhǎng)，經(jīng)典直角三角

形法.

(d\X\

題型三：公切線條數(shù)問題

例題2(1)已知圓。：/+y2+4at+4a2—4=0和圓。2：/+)，2—2辦+乂-1=0只有一條公切線，則

4a2+岳=.

預(yù)設(shè)：因?yàn)閮蓤A只有一條公切線，所以兩圓位置關(guān)系為內(nèi)切，

圓。：(X+2〃)2+V=4,圓。2：/+。一力)2=1,|C/C2|=14a2十。2?

所以|。。2|=2-1=1,所以4〃2+￡=L

(2)已知圓C7：(.1—1)2+。-2)2=4,圓C2：。+2)2+()，+2)2=9,則兩圓的公切線條數(shù)是.

預(yù)設(shè)：圓。1：(%-1)2+(>-2)2=4的圓心坐標(biāo)為坐2),半徑為2,

圓C2:(x+2尸+(y+2>=9的圓心坐標(biāo)為(-2,-2),半徑為3,

則兩圓的圓心距為J(l+2)「+(2+2尸=5=2+3,

??兩圓外切兩圓公切線的條數(shù)為3條.

方法總結(jié)：兩圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種.

(1)兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條;

(2)兩圓外切時(shí),有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條;

(3)兩圓相交時(shí),只有2條外公切線;

(4)兩圓內(nèi)切時(shí)，只有I條外公切線;

(5)兩圓內(nèi)含時(shí)，無公切線.

由圓與圓的位置關(guān)系，可以確定公切線的條數(shù),

由公切線的條數(shù)，可以判斷圓與圓的位置關(guān)系.

題型四：根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍

222

例題3已知圓G:/+）尸一2at-2y+/-15=0,[§]C2:x+y-4ax-2y+4a=0（?>0）.

試求。為何值時(shí),兩圓G，C2：（1）相切；（2）相交；（3）外離;（4）內(nèi)含.

預(yù)設(shè)：（1）由圓G方程知：圓心G（41）,半徑4T46+4-4（/-15）=4；

由圓G方程知：圓心G）?半徑2=g+4—16a2=1.

若兩圓內(nèi)切，則|GG|=k-訃即J（〃-2a）2+（l-=3,又a>0,.x=3；

若兩圓外切，則|GG|=，i+弓，即J（a_2a1+（1_1）2=5,又。>0,.?.”5；

二?若兩圓相切，貝ija=3或5.

（2）若兩圓相交，則|彳一百v|GG|</+G即3v&-24+（1一1）2<5,

乂a>0,:.3<a<5,即當(dāng)〃w（3,5）時(shí)，兩圓相交.

（3）若兩圓外離，則|GG|>/+勺即J（a-2af+（l-1『>5,

又a>0,.?.a〉5,即當(dāng)〃?5,4W）時(shí)，兩圓外離.

（4）若兩圓內(nèi)含，則|GG|<hr|，即J（"24）2+（l-l）2<3,

又a>0,「.OvavS,即當(dāng)。?0,3）時(shí)，兩圓內(nèi)含.

方法總結(jié)：根據(jù)兩圓方程可確定圓心和半徑，根據(jù)兩圓位置關(guān)系可得圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系（幾何

法），由此可構(gòu)造方程或不等式求得結(jié)果.

真蔻感知

1.（24-25高二下?安徽安慶?期末）已知圓G：“2+必一4=0,圓C2：/+y2_4%+4y-8=0,則兩圓

的位置關(guān)系是（）

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

預(yù)設(shè)：C^.x2+y2=4,圓心G（OQ），半徑q=2,

2222

C2：x+y—4%+4y—8=0可化簡(jiǎn)為（無—2）+（y+2）=16,

則圓。2的圓心為。2（2,一2）,半徑「2=4,

2=4-2<\CXC2\=2a<4+2=6,所以兩圓相交.

故選:C.

2.(24-25高二上?廣東梅州?期末)(多選)圓G：/+y2=l與圓。2：/+(丫一。)2=9有且只有一個(gè)公共

點(diǎn)，則a的值可能是()

A.1B.2C.3D.4

預(yù)設(shè)：圓G：/+y2=i的圓心為(0,0),半徑為］,

圓。2：/+(y-。)2=9的圓心為(0,a),半徑為3,

圓Ci與圓0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓相切，

所以IGQI=3+1=4或IGC2I=3-1=2,即=\a\=4或，屋+。=|a|=2,

所以Q=±4或a=±2,

1,3不滿足要求，2,4滿足要求.

故選:BD.

3.(24-25高二上?安徽合肥?期末)圓(％+I)?+y2=4與圓/+(y_2)2=9的公共弦所在直線的方程為

()

A.2%4-y+1=0B.x+2y+1=QC.2x-y4-1=0D.x—2y+1=0

預(yù)設(shè)：將兩個(gè)圓的方程化為一般式，分別為/+丫2+2%—3=0和7+/一4丁—5=0,

作差整理得x+2y+l=0,即為所求.

故選:B.

4.(22-23高二上?湖南長(zhǎng)沙?期末)圓X2+=1與圓(％-4)2+(y-4)2=25的公共弦長(zhǎng)等于.

預(yù)設(shè)：聯(lián)立人工=；得公共弦所在直線方程為x+y-1=0.

-4)z+0-4)/=25

圓心(0,0)到%+y—1=0距離d=-^=

所以公共弦長(zhǎng)為2近==2x立=加

￡

故答案為：V2

5.(24-25高二上?廣東?期末)已知圓q：(%-I)2+(y-I)2=4與圓。2：(%-4)2+(y-5)2=41一m有

三條公切線，則m=()

A.5B.16C.32D.36

預(yù)設(shè)：由。1：(%—1)2+(7-1)2=4可知圓心為。1(1,1),半徑為由

由。2：(%—4)2+(y—5)2=41—TH可知m<41且圓心為。2(4,5),半徑為>/41-m.

因兩個(gè)圓有三條公切線可知兩圓外切，

即|CiGI=J(4-1)2+(5-1尸=5=2+V41-7H.

解得：m=32.

故選：C.

6.(22-23高二下?甘肅慶陽?期末)(多選)點(diǎn)P在圓C】：/+嚴(yán)=1上，點(diǎn)Q在圓。2：x2+y2-6x+

8y+24=0上，貝ij()

A.|PQ|的最小值為2B.|PQ|的最大值為7

C.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為-:D.兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為6、25=0

預(yù)設(shè)：對(duì)于A、B選項(xiàng)：由題意得：6(0,0),半徑為1,

22

6,2:(X—3)+(y+4)=1,C2(3,—4),半徑為I,

圓心距為IGC2I=J(3-0"+(-4-0"=5,又點(diǎn)P在圓G上，點(diǎn)Q在圓C?上，

l^lmin=|C1C2|-/?1-/?2=3,|PQ|max=|C1C2|+/?1+/?2=7,故A錯(cuò)誤,B正確;

對(duì)于C選項(xiàng)：兩個(gè)圓心所在直線斜率為標(biāo)值=舒=-%C正確：

對(duì)于D選項(xiàng)：圓心距|GC2l=5〉Ri+/?2=2，所以無公共弦，D錯(cuò)誤；

故選：BC.

課堂筆記

1.位置關(guān)系的判斷方法

22

(1)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為G：/+y2+。/+E/+F]=0(3+歐-4R>0),C2：x+y+

D2X4-Ezy+凡=0(必+診—>0),

卡方程徂/2+y2++Ey+F=0,

聯(lián)立方程唯+丫2+%+/x+F21=。，

則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如卜.：

方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組

兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)______個(gè)______個(gè)______個(gè)

兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含

(2)幾何法：若兩圓的半徑分別為G，r2,兩圓圓心的距離為d,則兩圓的位置關(guān)系如下:

位置關(guān)系圖示d與r1，七的關(guān)系

外離d_____7\+r

12

e

外切

、d____rx+r2

U