暑期預習一排列組合天口二項式定理

一、單選題

1.（2019?上海高三期末）將4位志愿者分配到進博會的3個不同場館服務，每個場館至少1人，不同的分

配方案有種.

A.72B.36C.64D.81

2.（2019?上海市延安中學高二期末）.從字母4,6.c,d,e./中選出4個數(shù)字排成一列.其中一定要選出。和

b,并且必須相鄰（。在〃的前面），共有排列方法（）種.

A.90B.72C.36D.144

3.（2019?上海高二期末）已知小meN*,n>m,下面哪一個等式是恒成立的（）

111B.A：=-^—

A.C"而

C.D.―璃

4.（2019?上海市宜川中學高二期末）在二項式（x+l『的展開式中任取2項，則取出的2項中系數(shù)均為偶

數(shù)的概率為

528

A.一B.—C.-D.—

1215315

5.（2019?上海財經(jīng)大學附屬北郊高級中學高二期末）?個質量均勻的正四面體型的骰子，其四個面上分別

標有數(shù)字1,2,3,4,若連續(xù)投擲三次，取三次面向下的數(shù)字分別作為三角形的邊長，則其能構成鈍角三角形

的概率為（)

33、9

A.B.—C.—D

643264-a

6.（2019?上海市延安中學高二期末）若mwN，m<27,則(27—機)(28—…(34-〃7)等于()

%,C.PLD.*

A.B.PH

7.（2019?同濟大學第一附屬中學高二期末）組合數(shù)C：（〃〉廠2恒等于（）

1+1「Ir

A.-77"tB.—C；-；C.-C；\D.-C；-；

〃+1nr

二、填空題

8.（2020?上海市嘉定區(qū)封浜高級中學高二期末）世界杯小組賽，從四支隊伍中出線兩支隊伍，則出線隊伍

共有種不同的組合.

9.（2020?上海高二期末）在3名男生和4名女生中選出3人，男女生都有的選法有種.

10.（2020?上海交大附中高二期末）某校開設A類選修課5門，4類選修課4門，一位同學從中供選3門,

若要求兩類課程中至少選一門，則不同的選法共有.種

11.（2020?上海高二期末）若排列數(shù)耳；=10x9x8=720,則〃?=.

12.（2020?上海高二期末）二項式（4十之）的展開式中，各項的系數(shù)之和為人各項的二項式系數(shù)之和

為5,且力十3二72,則拉=.

13.（2020,上海華師大二附中高二期末）（l-2x）2°2°=即+…+4o2（/°2°,貝1J

+6+。2+.一+々2020=；

三、解答題

14.（2019,華東師范大學第一附屬中學）（1）化簡：C：+2C：T+C；2；

（2）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶

數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和“，如3（）=7+23,在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30

的概率是多少？

15.（2019?上海復旦附中高二期末）已知正整數(shù)〃22J（X）=（X+3）"=*X"+%TX+…+Q咨+。0.

⑴若/(工)的展開式中洛項系數(shù)之和比二項式系數(shù)之和大992,求〃的值:

(2)若〃=2019,且勺是61M……中的最大值，求二的值.

暑期預習一排列組合和二項式定理

一、單選題

1.（2019?上海高三期末）將4位志愿者分配到進博會的3個不同場館服務，每個場館至少1人，不同的分

配方案有種.

A.72B.36C.64D.81

【答案】B

【分析】先從4個人中選出2個作為一個元素看成整體，再把它同另外兩個元素在三個位置全排列，根據(jù)

分步乘法原理得到結果.

【詳解】解：二?將4位志愿者分配到3個不同場館服務，每個場館至少1人，

，先從4個人中選出2個作為一個元素看成整體，

再把它同另外兩個元素在三個位置全排列，共有=36.

【點睛】本題考直排列組合及簡單的計數(shù)問題，是一個基礎題，本題又是一個易錯題，排列容易重更，注

意做到不重不漏.

2.（2019?上海市延安中學高二期末）.從字母。力,中選出4個數(shù)字排成一列，其中一定要選出。和

6,并且必須相鄰（。在b的前面），共有排列方法（）種.

A.90B.72C.36D.144

【答案】C

【詳解】排列方法為C：/；=36,選C

3.（2019?上海高二期末）已知〃，msN*,n>m,下面哪一個等式是恒成立的（）

A.B.A：=-^-

c.D.c：+c：7yl

【答案】B

【分析】利用排列數(shù)、組合數(shù)公式以及組合數(shù)的性質可對各選項中的等式的正誤進行判斷.

【詳解】由組合數(shù)的定義可知C：=".",A選項錯誤；

nr\n-my.

由排列數(shù)的定義可知4：=;-B選項正確；

一叼！

由組合數(shù)的性質可知。+。”=￡2，則C、D選項均錯誤.故選B.

【點睛】本題考查排列數(shù)、組合數(shù)的定義以及組合數(shù)的性質的應用，意在考查對這些公式與性質的理解應

用，屬于基礎題.

4.（2019?上海市宜川中學高二期末）在二項式（x+lf的展開式中任取2項，則取出的2項中系數(shù)均為偶

數(shù)的概率為

5218

A.—B.—C.-D.—

1215315

【答案】C

【分析】二項式（x+l）9的展開式共十項，從中任取2項，共有種取法，再研究其系數(shù)為偶數(shù)情況有幾個,

從中取兩個有幾種取法得出答案.

【詳解】二項式。+1）9的展開式共十項，從中任取2項，共有Gi=45種取法，

展開式系數(shù)為偶數(shù)的有C；,C；C，C；,C；,C；,共六個，取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的取法有C；=15種取法,

..?取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的概率為“二L

453

故選。

【點睛】本題考查二項式定理及等可能事件的概率，正確求解本題的關鍵是找出哪些項的系數(shù)是偶數(shù)，求

出取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的事件包含的基本事件數(shù).

5.（2019?上海財經(jīng)大學附屬北郊高級中學高二期末）一個質量均勻的正四面體型的骰子，其四個面上分別

標有數(shù)字1,2,3,4,若連續(xù)投擲三次，取三次面向下的數(shù)字分別作為三角形的邊長，則其能構成鈍角三角形

的概率為（）

3391

A.—B.—C.—D.—

64326432

【答案】C

【分析】三次投擲總共有64種，只行長度為234或223的三邊能構成飩角三角形,由此計算可得答案.

【詳解】解：由題可知：三次投擲互不關聯(lián)，所以一共有4x4x4=43=64種情況：

能構成鏈角三角形的三邊長度只能是：234或者是223

所以由長度為234的三邊構成鈍角三角形一共有：片=6種：

由223三邊構成鈍角三角形一共有：C；=3種：

能構成鈍角三角形的概率為P；:C；=—=—.

436464

故選:C.

【點睛】本題考查了古典概型的概率求法，分類計數(shù)原理,屬于基礎題.

6.（2019?上海市延安中學高二期末）若〃7627,則（27-m）（28-相）???（34-加）等于（）

A.*B.C.%D.%

【答案】D

【分析】（27-加）、（28-⑼、…、（34-加）中最大的數(shù)為（34-加），（27-那）、（28-加卜??、（34-加）包含

（34-27+1）=8個數(shù)據(jù)，且8個數(shù)據(jù)是連續(xù)的正整數(shù)，由此可得到（27-〃。（28-〃?）…（34-〃。的表示.

［詳解］因為(27-m)(28-加)…(34-加)=(34-/?)???(28-m)(27-m),

所以表示從（34一m）連乘到（27-優(yōu)），一共是8個正整數(shù)連乘，

所以（27—〃?）（28…（34-加）=曝..

故選D.

P"加

【點睛】本題考查排列數(shù)的表示，難度較易.注意公式：P：=,〃=7―F的運用.

（〃一〃?）?。āㄒ弧?）！

7.（2019?同濟大學第一附屬中學高二期末）組合數(shù)。：（〃>〃21,〃/￡%）恒等于（）

A.苧二；B,吟。二：C.-C；：；D.%：

/7+1r+1nr

【答案】D

【分析】根據(jù)組合數(shù)的公式得到C；和再比較選項得到答案.

【詳解】。：=

…321

二(〃-1)("2)(…+1)

1"(r-l)(r-2)......3-21

可心沁

故選：D.

【點睛】本題考查組合數(shù)的計算公式，意在考查基本公式，屬于基礎題型.

二、填空題

8.（2020?上海市嘉定區(qū)封浜高級中學高二期末）世界杯小組賽，從四支隊伍中出線兩支隊伍，則出線隊伍

共有種不同的組合.

【答案】6

【分析】直接根據(jù)組合數(shù)求解即可.

【詳解】解：從四支隊伍中出線兩支隊伍，則出線隊伍共有戲=6種不同的組合，

故答案為：6.

【點睛】本題主要考查組合的應用，屬于基礎題.

9.（202（）?上海高二期末）在3名男生和4名女生中選出3人，男女生都有的選法有種.

【答案】30

【分析】用全部情況減去全男生和全女生的情況，即可得到答案.

【詳解】由題知：從7人中選3共有仁種情況，全是男生有種情況，

全是女生有種情況，

故男女生都有的選法有-C；V=30種.

故答案為：30

【點睛】本題主要考查組合的實際問題，間接法為解題的關鍵，屬于簡單題.

10.（2020?上海交大附中高二期末）某校開設A類選修課5門，8類選修課4門，一位同學從中供選3門，

若要求兩類課程中至少選一門，則不同的選法共有.種

【答案】70

【分析】根據(jù)分類計數(shù)原理，3匚功課可分成2種情況，分別求方法種數(shù).

【詳解】由條件可知3門課程可以分成以下兩種情況：

A類2門，8類I門，共有C；C=40種，

或A類1門，8類2門，共有C；C：=30,所以不同的選法共有40+30=70種方法.

故答案為：70

【點睛】本題考查分類計數(shù)原理，組合知識，重點考查分類討論的思想，屬于基礎題型.

11.（2020?上海高二期末）若排列數(shù)=10x9x8=720,則加=.

【答案】3

【分析】利用排列數(shù)計算公式即可得出.

【詳解】解：???排列數(shù)瑞=10x9x8=720,

m=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了排列數(shù)計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

12.（2020?上海高二期末）二項式（4+之）的展開式中，各項的系數(shù)之和為，，各項的二項式系數(shù)之和

為B,且4+3=72,則〃=.

【答案】3

【分析】給二項式中的X賦值1求出展開式的各項系數(shù)的和力;利用二項式系數(shù)和公式求出4,代入已知

的等式，解方程求出〃的值.

【詳解】解：令二項式中的x為1得到各項系數(shù)之和力=4"

又各項一項式系數(shù)之和B=T

-A+B=12

4"+2"=72

解得〃=3

故答案為：3

【點睛】本題考查解決展開式的各項系數(shù)和問題常用的方法是賦值法、考查二項式系數(shù)的性質：二項式系

數(shù)和為2"，屬于基礎題.

13.（2020?上海華師大二附中高二期末）（1一2》廣°=40+《）+。2/+…+出。20-2°,則

〃0+4+02+.一+々2。2。=；

【答案】1

【分析】利用賦值法，令X=1代入即可.

【詳解】解：令x=l得，（1—2嚴。=%+/+%+…+生。20，

貝IJ4+q+%+…+/go=］，

故答案為：1

【點睛】本題主要考杳二項式定理的應用，利用賦值法是解決本題的關鍵.屬于基礎題.

三、解答題

14.（2019?華東師范大學第一附屬中學）（1）化簡：C：+2C：T+C72；

（2）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶

數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和“，如30=7+23,在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30

的概率是多少？

【答案】⑴詳見解析；（2）七

【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的運算公式求解：

（2）首先列舉所有不超過30的素數(shù)，然后按照古典概型寫出概率.

【詳解】（1）禺++C；2=C：+C：T+靖+c72

__「tn

==Cw+2

（2）不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個，任取2個不同的數(shù)有=45種方法，其中和

為30的有（11,19）,（7,23）,（13,17）共三組,

c31

則P=F=一

2

JCo15

【點睛