第23章《一次函數(shù)》章節(jié)知識點復(fù)習(xí)題一、單選題1．定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點A到x軸、y軸的距離和為1，則稱點A為“和一點”．例如：點到x軸、y軸距離和為1，則點B是“和一點”，點也是“和一點”．一次函數(shù)的圖象l經(jīng)過點，且圖象l上存在“和一點”，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知、，直線與線段的延長線（交點不包括）相交．則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．3．如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點C在y軸的正半軸上，D在直線上，且，．若點P為線段上的一個動點，且點關(guān)于x軸的對稱點Q總在內(nèi)（不包括邊界），則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，直線，直線，若，與y軸圍成的三角形的面積為5，則k的值為（

）A．2 B．1 C． D．5．已知一次函數(shù)（，k是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點在一次函數(shù)的圖象上，則它的圖象與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是2B．若，則一次函數(shù)圖象上任意兩點和滿足：C．若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，則D．若對于一次函數(shù)和，無論x取任何實數(shù)，總有，則k的取值范圍是或6．定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點A為“和二點”．例如：點到x軸、y軸距離和為2，則點B是“和二點”，點也是“和二點”．一次函數(shù)的圖象l經(jīng)過點，且圖象l上存在“和二點”，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線和第一象限內(nèi)的（軸，）．直線l從原點O出發(fā)，沿x軸正方向平移（平移距離設(shè)為m），對應(yīng)生成的直線被的兩邊所截得的線段長設(shè)為n．若n與m的函數(shù)圖象如圖2所示，則a的值是（

）A．1 B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，…和點，…分別在直線和x軸上，直線與x軸交于點M，，…都是等腰直角三角形，如果點那么點的縱坐標(biāo)是（）A． B． C． D．二、填空題9．如圖，直線分別與、軸交于，兩點，點的坐標(biāo)為，過點的直線交軸正半軸于點，且．點是軸上的一點，連接，將沿直線翻折，當(dāng)點的對應(yīng)點恰好落在軸上時，此時點的坐標(biāo)為．10．如圖，已知等腰直角?ABC的頂點分別在、軸上，，點的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是則直線的函數(shù)關(guān)系式為．11．定義：若，滿足，（為常數(shù)），則稱點為“好點”．（1）若是“好點”，則；（2）在的范圍內(nèi)，若直線上存在“好點”，則的取值范圍為．12．如圖，一次函數(shù)過點和點，將線段繞點順時針得到線段，連接，點在線段上，點在線段上，且，當(dāng)最小值為時，則的值為．13．如圖，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點和點，點的坐標(biāo)為，點，分別是線段，上的動點，且，則的長為；當(dāng)?shù)闹等∽钚≈禃r，點的坐標(biāo)為．14．如圖，已知直線，直線和點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，按此作法進行下去，則點的坐標(biāo)為．15．如圖，直線分別與軸、軸交于點、，是線段上一點，連接，將?ABC沿著翻折得?AB/C，若點落在第四象限，且，則點的坐標(biāo)為．三、解答題16．如圖，直線與直線相交于點，直線與與軸分別交于、兩點．(1)求的值，并結(jié)合圖象寫出關(guān)于、的方程組的解；(2)求的面積；(3)垂直于軸的直線與直線、分別交于點、，若線段的長為，求出的值．17．【問題背景】數(shù)學(xué)課上，我們以等腰直角三角形為背景，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)研究線段和角的關(guān)系．【問題初探】（1）如圖1，在?ABC中，，點與直角頂點重合，射線交邊于點，點在射線上，且滿足，連接．判斷線段與的關(guān)系為______．【問題深探】（2）如圖2，在?ABC中，，點為斜邊中點，射線交邊于點，射線交邊于點，且滿足問題①：線段與滿足什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；問題②：請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系____________．【問題拓展】（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰直角三角形，，點為斜邊中點，軸上有一點，動直線繞著點旋轉(zhuǎn)，與軸相交于點，且滿足，直線的表達式為____________（直接寫出表達式即可）．18．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點，過作于點．過作于點，則，我們稱這種全等模型為“k型全等”．（不需要證明）【遷移應(yīng)用】已知：直線的圖像與軸、軸分別交于、兩點．(1)如圖2，當(dāng)時，在第一象限構(gòu)造等腰直角，．①直接寫出_____，_____；②點的坐標(biāo)_____；(2)如圖3，當(dāng)?shù)娜≈底兓?，點隨之在軸負半軸上運動時，在軸左側(cè)過點作，并且，連接，問的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出面積；若變，請說明理由；(3)【拓展應(yīng)用】如圖4，若，是直線上的動點，點在軸上的坐標(biāo)為，動點坐標(biāo)為，當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形時，點的坐標(biāo)是_____（直接寫出答案即可）．19．為探究氣溫與海拔高度的關(guān)系，同學(xué)們在氣象人員的指導(dǎo)下利用探測氣球進行了試驗．選用的1號氣球，2號氣球從海拔10米的處同時出發(fā)，其中1號氣球以8米／秒的速度勻速上升；2號氣球以6米／秒的速度勻速上升，30秒時，1號球不再繼續(xù)上升，懸浮，等2號氣球達到同一高度時，1號氣球返航，2號氣球繼續(xù)上升．1號氣球勻速下降，又過了40秒降落到出發(fā)點．設(shè)1號，2號氣球在飛行過程中的海拔高度分別為（米），（米），它們飛行的時間為（秒）．（注意：本題所求表達式不用注明自變量取值范圍）(1)點坐標(biāo)為______；(2)直接寫出2號氣球在飛行過程中的海拔高度（米）與飛行的時間（秒）之間的函數(shù)表達式；(3)求出線段對應(yīng)的海拔高度（米）關(guān)于飛行的時間（秒）的函數(shù)表達式，并說明一次項系數(shù)的實際意義是什么？(4)直接寫出兩個氣球從出發(fā)到1號氣球返回出發(fā)點這個時間段里，兩球高度之差小于或等于60米的總時長是多少．20．在平面直角坐標(biāo)系中，對于點與直線給出如下定義：若點關(guān)于直線的對稱點到軸的距離不超過1，則稱點存在關(guān)于直線的近距對稱點．（規(guī)定：當(dāng)點在直線上時，點到直線的距離為0．）(1)在點，，中，存在關(guān)于軸的近距對稱點的是______；(2)如圖，點A在軸正半軸上，點在第一象限，，若點存在關(guān)于直線的近距對稱點，直接寫出的取值范圍；(3)已知直線與軸交于A，與軸正半軸交于點，若經(jīng)過點與點的直線上任意一點，都存在關(guān)于直線的近距對稱點，直接寫出的度數(shù)及點到直線的距離的取值范圍．21．定義：一次函數(shù)（且）和一次函數(shù)為“逆反函數(shù)”，如和為“逆反函數(shù)”．如圖1，一次函數(shù)：的圖象分別交軸、軸于點、．(1)請寫出一次函數(shù)的“逆反函數(shù)”的解析式______；點在的函數(shù)圖象上，則的值是______．(2)一次函數(shù)圖象上一點又是它的“逆反函數(shù)”圖象上的點，①求出點坐標(biāo)；②求出的面積．(3)如圖2，過點作軸的垂線段，垂足為，為軸上的一點，且，請直接寫出直線的解析式．22．甲、乙兩地相距．慢車從甲地出發(fā)勻速駛往乙地，出發(fā)后快車也從甲地出發(fā)，沿同一路線勻速駛往乙地，兩車同時到達乙地后，慢車立即保持原速，沿原路返回甲地．快車在乙地休息后，提速50％，沿原路勻速返回，又與慢車同時回到甲地，在整個行程中，慢車離甲地的距離（單位：）與時間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)在圖中畫出快車離甲地的距離（單位：）與時間t之間的函數(shù)圖象．(2)______．(3)已知從甲地到乙地的路程中，距離乙地處有一個治安警亭．①若，在整個行程中（不含行程終點甲地），t的值是多少時，兩車與警亭的距離相等？②若兩車相繼路過該警亭的時間間隔不超過，則s的取值范圍是_______．23．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點且經(jīng)過點，點．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)在線段上找一點，使得與的面積相等，求出點的坐標(biāo)；(3)軸上有一動點，直線上有一動點，若是以線段為斜邊的等腰直角三角形，求出點的坐標(biāo)．24．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）為打造旅游休閑城市，某村莊為吸引游客，沿綠道旁的母親河邊打造噴水景觀（如圖1）．為保持綠道地面干燥，水柱呈拋物線狀噴入母親河中．圖2是其截面圖，已知綠道路面寬米，河道壩高米，壩面的坡比為（其中），當(dāng)水柱離噴水口O處水平距離為2米時，離地平面距離的最大值為3米．以O(shè)為原點建立平面直角坐標(biāo)系，解決問題：(1)求水柱所在拋物線的解析式；(2)出于安全考慮，在河道的壩邊A處安裝護欄，若護欄高度為1.25米，判斷水柱能否噴射到護欄上，說明理由；(3)河中常年有水，但一年中河水離地平面的距離會隨著天氣的變化而變化，水柱落入水中能蕩起美麗的水花，從美觀角度考慮，水柱落水點要在水面上；①河水離地平面距離為多少時，剛好使水柱落在壩面截線與水面截線的交點處？②為保證水柱的落水點始終在水面上，決定安裝可上下伸縮的噴水口，設(shè)壩中水面離地平面距離為h米，噴水口離地平面的最小高度m隨著h的變化而變化，直接寫出m與h的關(guān)系式．25．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，為線段上一點，直線與交于點，且．(1)求直線的解析式；(2)為直線上一動點，當(dāng)，求點坐標(biāo)；(3)如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，直線與射線分別交于，則當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出的長度．26.（1）操作思考：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的直角頂點C在原點，將其繞著點O旋轉(zhuǎn)，若頂點A恰好落在點處．則：①的長為__________；②點B的坐標(biāo)為__________．（直接寫結(jié)果）（2）感悟應(yīng)用：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，將等腰如圖放置，直角頂點，點，試求直線的函數(shù)表達式．（3）拓展研究：如圖3，在直角坐標(biāo)系中，點過點B作軸，垂足為點A，作軸，垂足為點C，P是線段上的一個動點，點Q是直線上一動點且在第一象限，問點A、P、Q能否構(gòu)成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若能，請直接寫出Q的坐標(biāo)，若不能，請說明理由．

27.探究活動【模型構(gòu)建】如圖，將含有的三角板的直角頂點放在直線上，過兩個銳角頂點分別向直線作垂線，這樣就得到了兩個全等的直角三角形．由于三個直角的頂點都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型在數(shù)學(xué)解題中被廣泛使用．【模型應(yīng)用】

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于，兩點，以為直角頂點在第一象限內(nèi)構(gòu)造等腰直角?ABC，直接寫出第三個點的坐標(biāo)是；（2）如圖1，一次函數(shù)的圖像與軸，軸分別交于，兩點．將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，求直線對應(yīng)的函數(shù)表達式；【模型拓展】（3）如圖2，點在軸負半軸上，，過點作軸交直線于點，是直線上的動點，是軸上的動點，若是以其中一個動點為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．28.【背景提出】（1）如圖1，等腰中，，，直線經(jīng)過點，過點作于點，過點作于點，求證：．【遷移應(yīng)用】（2）如圖2，已知直線：與軸交于點，與軸交于點，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)45°至直線，求直線的函數(shù)表達式．（3）如圖3，將圖1四邊形放到平面直角坐標(biāo)系中，點與重合，邊放到軸上，若，，過線段的中點，作直線垂直線段交軸于點，直線垂直線段交軸于點，求線段的長．（4）如圖4，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點，過點作軸于點，軸于點，點是線段上的動點，點是直線上的動點且在第四象限內(nèi)．若是等腰直角三角形．請直接寫出點的坐標(biāo)．29.請根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù)材料一：如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點，過作于點，過作于點，則?BEC．（不需要證明）材料二：如何確定點所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，我們可以設(shè)，這樣就可以把代入，可得，利用這樣的方法就可以確定點所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式了．【模型應(yīng)用】若一次函數(shù)的圖像與軸、軸分別交于、兩點．(1)如圖2，當(dāng)時，點到經(jīng)過原點的直線的距離的長為8，求點到直線的距離的長；(2)如圖3，當(dāng)時，點在第一象限內(nèi)，是等腰直角三角形，求點的坐標(biāo)；(3)如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上一個動點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到點，連接，則的最小值為．參考答案一、單選題1．A【詳解】解：由題意可得：點A到x軸，y軸的距離和為1，即，去絕對值后可得：，將“和一點”的函數(shù)表示在直角坐標(biāo)系中如圖：∵一次函數(shù)的圖象l經(jīng)過點，且圖象l上存在“和一點”，∴一次函數(shù)至少與“和一點”構(gòu)成的圖象有1個交點，當(dāng)k最小時，一次函數(shù)與圖象最右側(cè)點相連，如圖；此時一次函數(shù)經(jīng)過兩點，則有，解得：，即k的最小值為．當(dāng)k最大時，一次函數(shù)與圖象最下面的點相連，如圖∶此時一次函數(shù)經(jīng)過兩點，則有，解得：，即k的最大值為．∴k的取值范圍為．故選A．2．D【詳解】解：設(shè)直線解析式為，∵、，∴，解得，∴直線解析式為，∵直線過定點，設(shè)直線的解析式為，把、代入得，，解得，∴直線解析式為，將直線繞點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線與直線平行時，；當(dāng)直線過點時，；∴的取值范圍為，故選：．3．A【詳解】解：在中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，，∵C在y軸的正半軸上，，∴，∵，∴點D在線段的垂直平分線上，即在直線上，在中，當(dāng)時，，∴；設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，同理可得直線的解析式為；∵點P為線段上的一個動點，且其橫坐標(biāo)為m，∴，∵P、Q關(guān)于x軸對稱，∴，∵點Q總在內(nèi)（不包括邊界），∴，解得：，故選：A．4．D【詳解】解：設(shè)交y軸于點A，交y軸于點B，兩直線交于點C，過點C作軸于點D，∵中，時，；中，時，．∴，，∴，∵，∴，在中，當(dāng)時，，∴，代入，得，，解得，．故選：D．5．D【詳解】解：A、在一次函數(shù)的圖象上，，，一次函數(shù)為，它的圖象與兩個坐標(biāo)軸的交點為，，圖象與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是，故A錯誤，不合題意；B、，，隨的增大而增大，，故B錯誤，不合題意；C、，一次函數(shù)的圖象過定點，一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第三象限，一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，且，解得：，故C錯誤，不合題意；D、對于一次函數(shù)和，無論取任何實數(shù)，總有，直線與直線平行，一次函數(shù)的圖象過定點，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，一定成立，的取值范圍是或，故D正確，符合題意．故選：D．6．D【詳解】解：取連，取點P，軸軸，垂直分別為，∵，∴均為等腰直角三角形，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴點是“成雙點”，即線上的點為“成雙點”，同理線上的點為“成雙點”，∴當(dāng)一次函數(shù)的圖象與線或線有交點時，一次函數(shù)的圖象上存在“成雙點”，∵一次函數(shù)的圖象l經(jīng)過點，∴，解得：，∴一次函數(shù)解析式為，當(dāng)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點E時，∴，解得：，當(dāng)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點G時，∴，解得：，∴k的取值范圍：，故選：D．7．B【詳解】解：由圖可得，直線經(jīng)過時移動的距離為，經(jīng)過時移動的距離為，經(jīng)過時移動的距離為，∴，，，，∴，當(dāng)直線經(jīng)過點時，交于點，過作垂足為點，如圖所示：∵軸，，∴，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為，∴從點到點的平移可理解為：先向上移動個單位，再向右移動個單位，∴當(dāng)時，則，∴，故選：B．8．C【詳解】解：解：直線與軸交于點，，解得，直線解析式為，如圖，作軸，軸，軸，，；的縱坐標(biāo)為1，，都是等腰直角三角形，設(shè)，，將坐標(biāo)代入直線解析式得：，解得，，的縱坐標(biāo)為，設(shè)，則，代入直線解析式，解得，，的縱坐標(biāo)為：，的縱坐標(biāo)為：．故選：C．二、填空題9．或【詳解】∵直線過點，，，當(dāng)時，，∴點的坐標(biāo)為，即，，，∵點在軸正半軸，∴點的坐標(biāo)為，依照題意畫出圖形，如圖所示．由翻折得，，，，，，∴設(shè)，則或，在中，，∴，即或，解得：或，點P的坐標(biāo)為或．故答案為：或10．【詳解】解：過點作軸于點，如圖，，，，，為等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，設(shè)直線的解析式為，把，分別代入得，解得，直線的解析式為．故答案為：．11．【詳解】（1）∵是“好點”，∴，消去t得到，故答案為：；（2）∵在的范圍內(nèi)，若直線上存在“好點”，∴，消去t得：，∵，∴，故答案為：．12．【詳解】解：過作，使，連接，，∵將線段繞點順時針得到線段，∴，，∴，，∵，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴當(dāng)在上時取最小值，最小值，∴，∵點和點，∴，解得或，∵由圖形可知在第一象限，∴，∴，∴，把，代入得，解得，故答案為：．13．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點和點，∴令，則；令，則，∴，，又∵點的坐標(biāo)為，，∴，，∴，如圖，作軸于，使得，連接，，∴，∴．∵，，∴，又∵，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∴當(dāng)在上時，最小，設(shè)直線解析式為，∵，，∴，解得：，∴直線為，同理可得：直線為，∴聯(lián)列方程組，∴，∴，∴的縱坐標(biāo)為：．∴，答案為：；．14．【詳解】解：點的坐標(biāo)為，點在直線上，點的坐標(biāo)是，軸，點的縱坐標(biāo)是，又點在上，解方程，解得：，點的坐標(biāo)是，軸，點的橫坐標(biāo)是，又點在直線上，點的坐標(biāo)是，軸，點的縱坐標(biāo)是，又點在直線上，可得方程，解得：，點的坐標(biāo)是，根據(jù)規(guī)律可得：的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，，的橫坐標(biāo)為，，的橫坐標(biāo)為，又點在上，可得：，點的坐標(biāo)為故答案為：．15．【詳解】解：過點作軸，垂足為點．令，則，解得：．．令，則．．，．由勾股定理可得：．?ABC沿著翻折得．．設(shè)．在中，，即．在中，，即．，解得：．．．設(shè)，則．由勾股定理得：．即．，解得：．．故答案為：．三、解答題16．（1）解：把點代入，得：，，直線與直線相交于點，方程組的解為，方程組的解為；（2）解：對于直線，令，則，解得：，，對于直線，令，則，解得：，，，；（3）解：由題意得：直線與直線的交點的坐標(biāo)為，與直線的交點的坐標(biāo)為，，，即：，解得：或．17．解：（1）且，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴，即．故答案為：且．（2）①，理由如下：如圖：連接，∵，點為斜邊中點，∴，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；②∵，∴；在中，，即．故答案為：．（3）∵在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰直角三角形，，∴∵點為斜邊中點，∴點，∵，∴，則，設(shè)點，則，解得：（舍去）或4，∴點，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的表達式為：，如圖：當(dāng)直線和上述垂直時，∵在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰直角三角形，，∴，，∵點為斜邊中點，∴點，，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，即：該直線l符合題意；∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，設(shè)直線的解析式為，則有：則，解得：，∴直線的解析式為．綜上，直線的表達式為或．故答案為：或．18．（1）解：①當(dāng)時，直線解析式為，令，則，即，令，則有，解得，即，，．故答案為：8，6；②過點作軸，垂足為，如下圖，∵為等腰直角三角形，，∴，，又∵，∴，在?AOB和中，，∴，∴，，∴，∴．故答案為：；（2）解：當(dāng)?shù)娜≈底兓瘯r，的面積是定值，，理由如下：如下圖，過點作軸，垂足為，則，∵，，∴，又∵，∴，在?AOB和中，，∴，∴，∴，∴當(dāng)?shù)娜≈底兓瘯r，的面積是定值，；（3）解：當(dāng)時，如下圖，過點作軸于，過點作于，∴，∵，又∵，∴，∴，又∵，，∴．∴，，∴，∴點的坐標(biāo)為，∵，∴直線，將點的坐標(biāo)代入，可得，，解得，∴，，∴點的坐標(biāo)為；當(dāng)時，過點作軸于，過點作于，∴，∵，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴點的坐標(biāo)為，∵，∴直線，將點的坐標(biāo)代入，可得，解得，∴，，∴點的坐標(biāo)為．綜上所述，點的坐標(biāo)為或．19．（1）解：1號氣球以8米/秒的速度勻速上升，30秒時上升的高度為：（米），∵氣球是從海拔10米的處出發(fā)，∴點的縱坐標(biāo)為（米），橫坐標(biāo)為30秒，即點坐標(biāo)為，∵2號氣球以6米/秒的速度勻速上升，到達點250米高度所需時間為：（秒），∴點坐標(biāo)為．（2）解：∵2號氣球從海拔10米處出發(fā)，速度為6米/秒，∴根據(jù)路程速度時間，可得．（3）解：∵1號氣球從40秒時開始勻速下降，又過了40秒降落到出發(fā)點，∴點的橫坐標(biāo)為（秒），縱坐標(biāo)為10，即，，設(shè)，把，，代入得：，解得，，∴線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為，由題意可知，一次項系數(shù)的實際意義是1號氣球在40秒到80秒之間勻速下降的速度為6米/秒．（4）解：∵1號氣球從海拔10米處出發(fā)，其中以8米／秒的速度勻速上升，∴根據(jù)路程速度時間，可得，當(dāng)時，，，兩球高度之差，令，即，解得，∴在這個時間段內(nèi)兩球高度之差都小于或等于60米，時長為30秒；當(dāng)時，，，兩球高度之差，令，即，解得，又∵，∴在這個時間段內(nèi)兩球高度之差小于或等于60米的時長為秒；當(dāng)時，，，兩球高度之差，令，即，解得，又∵，∴在這個時間段內(nèi)兩球高度之差小于或等于60米的時長為秒；綜上，兩球高度之差小于或等于60米的總時長為秒．20．（1）解：∵點，，關(guān)于軸的對稱點分別是，，，它們到y(tǒng)軸的距離分別是，，，∴點、是關(guān)于軸的近距對稱點，點不是關(guān)于軸的近距對稱點．故答案為：，（2）解：作點P關(guān)于直線的對稱點為Q，連接，作于D點，則，，∴，，，∵點存在關(guān)于直線的近距對稱點，∴，解得．（3）由題意得，直線關(guān)于直線l的對稱直線m須與y軸平行，且到y(tǒng)軸的距離小于等于1．①如圖，A點在x軸負半軸上時，設(shè)直線與l的交點為D點，∵，∴，，，，．當(dāng)直線l經(jīng)過直線與直線的交點C時，B點與直線的距離最大，∵直線與直線關(guān)于直線對稱，∴到直線OC的距離等于到直線的距離，即，；②如圖，A點在x軸正半軸上時，設(shè)直線與l的交點為D點，∵，∴，，，，．當(dāng)直線l經(jīng)過直線與直線的交點H時，B點與直線的距離最大，∵直線與直線關(guān)于直線對稱，∴到直線的距離等于到直線的距離，即，；綜上，的度數(shù)為或，且．21．（1）由新定義知，的解析式，把點C的坐標(biāo)代入上式得：，則，故答案為：，；（2）①∵一次函數(shù)圖象上一點又是它的“逆反函數(shù)”圖象上的點，則點D是兩個函數(shù)的交點，即，則，即點；②由兩個函數(shù)表達式知，點A、C的坐標(biāo)分別為：、，則則的面積；（3）設(shè)直線交y軸于點K，當(dāng)點M在點E的上方時，過點K作交的延長線于點N，過點N作y軸的平行線，過點K作x軸的平行線交過點K和x軸的平行線于點G，交過點的延長線于點H，由直線的表達式知，，即，∵，則，則為等腰直角三角形，設(shè)點，∵，，∴，∵，，∴，∴，，即且，解得：，，即點，由點D、N的坐標(biāo)得，直線的表達式為：，當(dāng)在E下方時，則直線和關(guān)于對稱，則的表達式為：綜上所述，或．22．（1）解：如圖，折線即為所求．；（2）解：根據(jù)圖形可知，快車去乙地時速度為，用時小時，返回速度為，用時1小時，∴，解得，故答案為：；（3）解：①時，∵，∴，∵返回時，，∴從甲地到乙地時，，∴，，，慢車從甲地到乙地時，，∴，解得；慢車、快車同時到達乙地時，；慢車從乙地回甲地時，，∴，解得；綜上所述，或2或3；②根據(jù)題意可知，∴，，∵返回時，，∴從甲地到乙地時，，∴，，令，即，解得；令，即，解得，令，即，解得，令，即，解得，根據(jù)題意可得，，即，解得，故答案為：．23．（1）解：∵直線：與軸交于點且經(jīng)過點，點，當(dāng)，，∴，令，，解得，∴，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為．（2）解：由平行線間距離相等可知，當(dāng)時，與的面積相等，如圖1，過點作交于，則點為所求，又∵直線的表達式為，∴直線的表達式為，聯(lián)立方程組，解得，∴．（3）解：①當(dāng)點在上方時，過點作軸的平行線分別和過與軸的平行線交于點，如圖：設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，∴，解得，∴點的坐標(biāo)為；②當(dāng)點在下方時，過點作軸的平行線分別和過與軸的平行線交于點，如圖：設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，∴，解得，∴點的坐標(biāo)為；綜上，點的坐標(biāo)為或．24．（1）解：當(dāng)水柱離噴水口O處水平距離為2米時，離地平面距離的最大值為3米，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，以O(shè)為原點建立平面直角坐標(biāo)系，∴點，設(shè)拋物線解析式為，把點代入得，，解得，，∴水柱所在拋物線的解析式為；（2）解：水柱不會噴射到護欄上，理由如下，水柱所在拋物線的解析式為，對稱軸直線為，∴當(dāng)時的函數(shù)值與時的函數(shù)值相等，綠道路面寬米，護欄高度為1.25米，∴當(dāng)時，（米），∵，∴水柱不會噴射到護欄上；（3）解：①河道壩高米，壩面的坡比為（其中），∴，∴（米），∴點到原點的水平距離為（米），即，且，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，，∴直線的解析式為，∴，解得，（不符合題意，舍去），，∴當(dāng)時，，∴河水離地平面距離為米時，剛好使水柱落在壩面截線與水面截線的交點處；25．（1）解：∵直線與軸，軸分別交于兩點，令，則；令，則，解得：，∴，∴，∵，∴，∴，∵點與點關(guān)于軸對稱，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為；（2）解：由（1）知直線的解析式為，聯(lián)立，解得：∴，∵，∴，∵，，∴，設(shè)，則，即，解得：或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴點坐標(biāo)為或；（3）解：如圖，連接，由（1）（2）知，，，，，，，∴，∵，∴點是的中點，∴是等腰三角形，∴，，∵點與點關(guān)于軸對稱，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，∴，設(shè)，如圖，當(dāng)時，則與x軸重合，即兩點重合，∴，即軸，∴，則，即，∴；如圖，當(dāng)時，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴軸，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴，則，∴，∴；綜上，的長度為或．26.解：（1）①如圖1，過作軸于，過作軸于，則，

，，，∴，②∵，∴，∵等腰的直角頂點C在原點，將其繞著點O旋轉(zhuǎn)，∴∴，，，，（2）如圖2，過點作軸于，

∵將等腰如圖放置，直角頂點，點，∴，，，，∵軸，∴，∴，，，，，，設(shè)直線的表達式為，將和代入，得，解得，直線的函數(shù)表達式；（3）∵點過點B作軸，垂足為點A，作軸，垂足為點C，∴，，，∵P是線段上的一個動點，∴設(shè)，則，∵點Q是直線上一動點且在第一象限，∴設(shè)，，當(dāng)在下方時，如圖，過點作軸于，交于，則，

∴，∴，∴，∵點A、P、Q能否構(gòu)成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，，∵，，，∴，，，，，∴，解得，符合條件，，解得，符合條件，∴；當(dāng)在上方時，如圖，過點作軸于，交于，同理可證，∴，，∵，，，∴，，，，，∴，解得，符合條件，，解得，符合條件，∴，綜上所述，或．27.解：（1）如圖所示，過