第第頁第05講橢圓第一部分：知識點必背知識點一：橢圓的定義平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形定義的集合語言表述集合.知識點二：橢圓的標準方程和幾何性質1、橢圓的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標準方程（）（）圖象焦點坐標，，的關系范圍，，頂點，，，軸長短軸長＝，長軸長＝焦點焦距對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點離心率，知識點三：常用結論1、與橢圓共焦點的橢圓方程可設為：2、有相同離心率：（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）3、橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2），，；（3）,，；（4）橢圓通經長=高頻考點一：橢圓定義辨析例題1．設定點，，動點滿足條件，則點的軌跡是（

）A．橢圓B．線段C．不存在D．橢圓或線段【答案】A【詳解】因為，，所以，所以，所以點P的軌跡是以，為焦點的橢圓.故選：A.例題2．設滿足：，則點的軌跡為（

）A．圓B．橢圓C．線段D．不存在【答案】B【詳解】∵表示為到定點的距離之和為5，即，∴點的軌跡為橢圓.故選：B.練透核心考點1．已知點，動點P滿足，則點P的軌跡為（

）A．橢圓B．直線C．圓D．線段【答案】A【詳解】，故，又，根據橢圓的定義可知：P的軌跡為橢圓.故選：A.2．已知，是兩個定點，且（是正常數），動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓B．線段C．橢圓或線段D．直線【答案】C【詳解】解：因為（當且僅當時，等號成立，所以，當且時，，此時動點的軌跡是橢圓；當時，，此時動點的軌跡是線段．故選：C．3．橢圓上一點P與它的一個焦點的距離等于6，那么點P與另一個焦點的距離等于.【答案】14【詳解】設左、右焦點為,設，由題得因為，所以.所以點P與另一個焦點的距離等于14.故答案為：14高頻考點二：利用橢圓定義求橢圓標準方程例題1．方程，化簡的結果是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由，可得點到定點，的距離之和等于12，即，所以動點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，設其方程為，則，，所以，，故方程為.故選：B.例題2．方程化簡后為．【答案】【詳解】解：∵，故令，，∴，∴方程表示的曲線是以，為焦點，長軸長的橢圓，即，，，∴方程為.故答案為：.練透核心考點1．已知的周長為20，且頂點，則頂點的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】錯解：∵△ABC的周長為20，頂點，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：D.錯因：忽略了A、B、C三點不共線這一隱含條件.正解：∵△ABC的周長為20，頂點，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：B.高頻考點三：橢圓中焦點三角形問題例題1．已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與橢圓交于，兩點，若，則的面積等于（

）A．18B．10C．9D．6【答案】C【詳解】據題意，四邊形是矩形，設，，則有，，由此可得，所以的面積是，又的面積與的面積相等，所以的面積等于9.故選：C．例題2．短軸長為8，離心率為的橢圓兩焦點分別為、，過點作直線交橢圓于、兩點，則的周長為【答案】20【詳解】由橢圓的短軸長為8，可得，所以，又由離心率為，即，結合，可得，如圖所示，由橢圓的定義，可得，則的周長為.故答案為：.

練透核心考點1．一橢圓的短半軸長是，離心率是，焦點為，弦AB過，則的周長為．【答案】12【詳解】因為橢圓的短半軸長是，所以.離心率是，所以.由可得，即.根據橢圓的定義，可得的周長為.故答案為：12.2．設和為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則的面積是.【答案】【詳解】橢圓，即，所以，，，因為，所以點為短軸頂點，所以.故答案為：高頻考點四：橢圓中最值問題例題1．已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最大值為（

）A．B．C．5D．6【答案】B【詳解】解：設圓的圓心為，則，設，則，所以，當且僅當時取得最大值，所以．故選：B．例題2．已知點為橢圓上的一動點，則的最小值為;【答案】【詳解】設，則，，所以，因為在上單調遞減，所以當時，有最小值，所以有最小值，故答案為：練透核心考點1．已知點P為橢圓上任意一點，點M、N分別為和上的點，則的最大值為（

）A．4B．5C．6D．7【答案】C【詳解】設圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.則橢圓的焦點為.又,，，故，當且僅當分別在的延長線上時取等號.此時最大值為.故選：C.2．已知橢圓C的方程為，M為C上任意一點，則的最小值為.【答案】【詳解】由題意，，，所以為左焦點，為右焦點，所，當且僅當M?D?A共線時取等號.故答案為：.高頻考點五：橢圓的標準方程例題1．橢圓與橢圓的關系為（

）A．有相同的長軸長與短軸長B．有相同的焦距C．有相同的焦點D．有相同的離心率【答案】B【詳解】對于橢圓，則，且焦點在x軸上，所以長軸長為10，短軸長為6，焦距為8，焦點為，離心率為，對于橢圓，因為，則，可得，且焦點在y軸上，所以長軸長為，短軸長為，焦距為8，焦點為，離心率為，所以A、C、D錯誤，B正確.故選：B.例題2．已知方程表示橢圓，則實數的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為方程表示橢圓，所以有，解得或．故選：C例題3．與雙曲線有公共焦點，且長軸長為6的橢圓方程為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：雙曲線的焦點坐標為：，即橢圓的焦點為，又長軸長為6，即，所以橢圓的方程為，故選：B練透核心考點1．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】根據題意可設橢圓方程為，易知，且，解得；所以，故橢圓方程為.故選：A2．設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為B．若，則該橢圓的方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由橢圓的幾何性質，因為，可得，所以，，則，所以橢圓的方程為.故選：A.高頻考點六：橢圓中長軸、短軸、焦距例題1．橢圓：的焦距為（

）A．8B．C．4D．【答案】B【詳解】由，得，所以橢圓：的焦距為為.故選：B.練透核心考點1．橢圓的焦點坐標為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由可得，故該橢圓焦點在軸上，，所以，，故焦點坐標為，故選：D2．橢圓的長半軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為．【答案】586【詳解】由可得，橢圓標準方程為；即，所以；因此長半軸長為，短軸長為，焦距為，離心率故答案為：5，8，6，高頻考點七：橢圓的離心率問題例題1．已知橢圓分別是的左，右焦點，為上一點，若線段的中點在軸上，，則的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由于線段的中點在軸上,是的中點，所以軸，，，所以，由橢圓定義可得，故選：A

例題2．已知橢圓的下焦點為，右頂點為，直線交橢圓于另一點，且，則橢圓的離心率是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由得，所以，把代入橢圓得，化簡得，則橢圓的離心率為.故選：C.練透核心考點1．橢圓：的左焦點為，右焦點為，以為圓心，為半徑的圓與交于點，且，則的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】因為以為圓心，為半徑的圓與交于點，所以，，因為，所以，又由定義可得，所以，所以故選：B．

2．橢圓：的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱.若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為；【答案】【詳解】由題可得，設.則，又，則.則.故答案為：第05講橢圓1．過點且與有相同焦點的橢圓方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由知，焦點為，，即，.設所求橢圓方程為，則，解得，故所求橢圓方程為.故選：A.2．已知橢圓的焦點在軸上，若橢圓的焦距為，則的值為（

）A．B．C．3D．4【答案】A【詳解】橢圓即，焦點在軸上，所以，，所以，又橢圓的焦距為，所以，解得.故選：A3．已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（

）A．12B．C．16D．10【答案】C【詳解】設橢圓的另外一個焦點為，如圖，

則的周長為，故選：C.4．點M與定點的距離和它到定直線的距離的比為，則點M的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】設，因為點M與定點的距離和它到定直線的距離的比為，所以，即，整理得，故選:C.5．是橢圓的兩個焦點，A是橢圓上任一點，過任一焦點向的外角平分線作垂線，垂足為P，則P點的軌跡是（

）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線【答案】A【詳解】如圖，平分的外角，，垂足為，直線交的延長線于，令橢圓長軸長為，于是，為的中點，而為的中點，則，若過作的外角平分線的垂線，垂足為，同理得，所以P點的軌跡是以橢圓中心為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓.故選：A6．記橢圓：的左頂點為，右焦點為，過點且傾斜角為的直線與橢圓交于另一點，若，則橢圓的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】因為橢圓的左頂點為，右焦點為，所以，因為點在軸上方，又，所以將代入橢圓可得，即，因為直線的傾斜角為，所以，又，化簡，所以解得.故選：A.7.常數，橢圓的長軸長是短軸長的3倍，則a的值為．【答案】3或【詳解】由橢圓，可得橢圓，當時，表示焦點在x軸上的橢圓，∴，即，當時，表示焦點在y軸上的橢圓，∴，即，綜上，實數a的值為3或.故答案為：3或.8．已知，是橢圓的兩個焦點，那么在C上滿足的點有個．【答案】2【詳解】不妨設，，，則，所以軌跡方程為，軌跡為以原點為圓心，為半徑的圓，而橢圓中，，故的軌跡與橢圓交于短軸頂點，所以在C