第1頁（共1頁）2026年高考數(shù)學(xué)12月模擬試卷重點(diǎn)題型匯編——空間向量及其運(yùn)算（2025年12月）一．選擇題（共8小題）1．如圖，在四面體OABC中，D，E分別為OA，BC的中點(diǎn)，若OA→=aA．-12a→+C．12a→+2．已知向量a→=(1，3，5)，A．（3，3，3） B．（4，4，4） C．(935，273．空間中，若向量a→=(6，A．2 B．3 C．4 D．54．笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父．據(jù)說在他生病臥床時(shí)，突然看見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形．在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，幾何體ABCD﹣A1B1C1D1為長方體，且AD＝1，AB＝2，AA1＝3，P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+BP的最小值為（）A．23 B．213 C．29 D．5．如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段AC1上的一點(diǎn)，且AP＝2PC1，設(shè)AA1→A．13a→-2C．a(chǎn)→-236．已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若OP→=mOAA．45 B．94 C．54 7．已知空間向量a→=（1，﹣2，1），b→=（﹣1，0，﹣1），則向量A．(13，0，C．(13，-8．已知向AB→=（﹣1，2，2），CD→=（2，1，2），則cosA．49 B．239 C．13二．多選題（共4小題）（多選）9．已知空間向量a→=（2，﹣3，3），b→=（3，﹣A．若a→⊥b→，則x＝﹣B．若x＝﹣2，則a→在b→上的投影向量為C．若|b|=14，則x＝2D．若a→與b→的夾角為鈍角，則x∈（3，（多選）10．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．若空間向量a→=（2，0，3），b→=（0，3，﹣4），則a→B．若空間向量a→，b→滿足a→?b→＞0，則C．若直線l的方向向量為m→=（4，﹣6，﹣2），平面α的一個(gè)法向量為n→=（﹣2，3，1），則D．已知向量p→以{a→，b→，c→}為基底時(shí)的坐標(biāo)為（2，﹣3，2），則p→以{a→-2b→，a→+（多選）11．如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長均為1，且∠BAD＝60°，∠A1AB＝120°，∠A1AD＝90°，記AB→=a→，A．BDB．|BC．ACD．直線BD1與A1D所成角的余弦值為6（多選）12．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面 B．若兩個(gè)非零向量a→，b→的夾角C．已知AB→=(-1，12，0)，平面αD．已知向量組{a→，三．填空題（共4小題）13．若向量a→=(1，λ，1)，b→=(2，-1，-2)，且a14．向量a→=（﹣3，1，2）在向量b→=（1，2，﹣1）上的投影向量的模為15．如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1=π3，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，AA1＝3，O為AC與BD的交點(diǎn)．則A1O的長等于16．已知A（2，0，4），B（3，1，5），C（4，﹣1，4），則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為．四．解答題（共4小題）17．如圖，已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，設(shè)AB→（1）用a→，b→，（2）求AA1→18．如圖，在平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝AA′＝1，∠DAB＝90°，∠A′AB＝∠A′AD＝60°，點(diǎn)O為BC′的中點(diǎn)，AO→（1）求x+y+z的值；（2）求ΔAOD′的面積．19．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝2，PA＝PB=2，PA→?AC（1）PC的長；（2）異面直線PB與AC所成角的余弦值．20．如圖，M，N分別是三棱錐O﹣ABC的棱OA，BC的中點(diǎn)，Q是線段MN上一點(diǎn)且MQ=14MN，記OA→=a（1）用a→，b→，c→（2）若|a→|＝|b→|＝1，|c→|＝2，∠AOB＝∠BOC=π2

2026年高考數(shù)學(xué)12月模擬試卷重點(diǎn)題型匯編——答案一．選擇題（共8小題）題號12345678答案AACDACDA二．多選題（共4小題）題號9101112答案ABACABDABD一．選擇題（共8小題）1．如圖，在四面體OABC中，D，E分別為OA，BC的中點(diǎn)，若OA→=aA．-12a→+C．12a→+【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的加減以及數(shù)乘運(yùn)算，即可求得答案．【解答】解：因?yàn)镈，E分別為OA，BC的中點(diǎn)，所以DA→=1根據(jù)題意，DE=-故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．已知向量a→=(1，3，5)，A．（3，3，3） B．（4，4，4） C．(935，27【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由投影向量的定義式計(jì)算即可求得．【解答】解：因?yàn)橄蛄縜→所以a→?b所以向量a→在向量b→上的投影向量c→=a→?故選：A．【點(diǎn)評】本題考查投影向量的求解，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．空間中，若向量a→=(6，A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)a→，b→共面，所以存在λ，μ，使得a→【解答】解：因?yàn)閍→，b→共面，所以存在λ，μ，使得所以6=λ+2μ2=-λm=μ，解得m＝故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量共面定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父．據(jù)說在他生病臥床時(shí)，突然看見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形．在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，幾何體ABCD﹣A1B1C1D1為長方體，且AD＝1，AB＝2，AA1＝3，P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+BP的最小值為（）A．23 B．213 C．29 D．【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E，由對稱性得|AP|＝|EP|，當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，|AP|+|BP|＝|EP|+|BP|取最小值，結(jié)合空間中兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．【解答】解：作點(diǎn)A（1，﹣2，﹣3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E（﹣1，﹣2，3），易知點(diǎn)B（1，0，﹣3），由對稱性知|AP|＝|EP|，所以|AP|+|BP|=|EP|+|BP|≥當(dāng)且僅當(dāng)P為線段EB與線段C1D1的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，故AP+BP的最小值為211故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，考查了空間中兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．5．如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段AC1上的一點(diǎn)，且AP＝2PC1，設(shè)AA1→A．13a→-2C．a(chǎn)→-23【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得．【解答】解：因?yàn)锳C1→=AB→+AD→+AA所以AP→所以PD故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6．已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若OP→=mOAA．45 B．94 C．54 【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】借助空間向量的線性運(yùn)算及四點(diǎn)共面的充要條件即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：因?yàn)镺P→=mOA→-54OB→+OC所以m-54故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了四點(diǎn)共面的充要條件，是基礎(chǔ)題．7．已知空間向量a→=（1，﹣2，1），b→=（﹣1，0，﹣1），則向量A．(13，0，C．(13，-【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：空間向量a→=（1，﹣2，1），b→=（﹣1，則b→?a故向量b→在向量a→上的投影向量是：故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．8．已知向AB→=（﹣1，2，2），CD→=（2，1，2），則cosA．49 B．239 C．13【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用向量夾角余弦公式求解．【解答】解：AB→=（﹣1，2，2），CD→=（2，則cos＜AB→，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查向量夾角余弦公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．已知空間向量a→=（2，﹣3，3），b→=（3，﹣A．若a→⊥b→，則x＝﹣B．若x＝﹣2，則a→在b→上的投影向量為C．若|b|=14，則x＝2D．若a→與b→的夾角為鈍角，則x∈（3，【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影；空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AB【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A，根據(jù)投影向量的定義判斷B，根據(jù)向量的模長公式可判斷C，由a→?b→＜【解答】解：對于A：若a→⊥b→，則a→?b對于B：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，b→則a→?b→=2×3+（﹣3）×（﹣1）+3又因?yàn)閨b所以a→在b→上的投影向量a→對于C：若|b→|=14，則|b→|=對于D：若a→與b→的夾角為鈍角，則a→?b若a→∥b所以a→與b→不共線，所以若a→與b→的夾角為鈍角，則x∈（﹣∞，﹣故選：AB．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了投影向量的定義，屬于中檔題．（多選）10．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．若空間向量a→=（2，0，3），b→=（0，3，﹣4），則a→B．若空間向量a→，b→滿足a→?b→＞0，則C．若直線l的方向向量為m→=（4，﹣6，﹣2），平面α的一個(gè)法向量為n→=（﹣2，3，1），則D．已知向量p→以{a→，b→，c→}為基底時(shí)的坐標(biāo)為（2，﹣3，2），則p→以{a→-2b→，a→+【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影；平面的法向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】A．根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可判斷A的正誤；B．當(dāng)a→，bC．可得出m→∥nD．根據(jù)空間向量坐標(biāo)的定義及空間向量基本定理即可判斷D的正誤．【解答】解：A.a→在b→上的投影向量為：a→B.a→，b→同向且都為非零向量時(shí)，滿足a→?b→＞C.m→=-2n→，所以m→∥n所以得出l⊥α，C正確；D．根據(jù)條件得：p→=2a所以x+y+z=2y-2x=-3z=2，解得x=1y=-1z=2，所以p→以{a→-2b故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查了投影向量的計(jì)算公式，空間向量的坐標(biāo)的定義，基底的定義，是基礎(chǔ)題．（多選）11．如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長均為1，且∠BAD＝60°，∠A1AB＝120°，∠A1AD＝90°，記AB→=a→，A．BDB．|BC．ACD．直線BD1與A1D所成角的余弦值為6【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式；異面直線及其所成的角．【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意由空間向量的加減運(yùn)算判斷A；利用向量數(shù)量積公式、向量的模判斷B；利用向量數(shù)量積公式判斷C；利用空間向量夾角余弦公式判斷D．【解答】解：對于A，∵AD∴BD1→對于B，∵∠BAD＝60°，∠A1AB＝120°，∠A1AD＝90°，∴a→?b→=1|BD1=1+1+1+0-1+1=3對于C，AC1→∴AC1→?A=a=1＝﹣1，設(shè)直線BD1與A1D所成角為θ，則cosθ＝|cos＜BD1∴直線BD1與A1D所成角的余弦值為66，故D故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的加減運(yùn)算法則、向量數(shù)量積公式、向量的模、空間向量夾角余弦公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．（多選）12．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面 B．若兩個(gè)非零向量a→，b→的夾角C．已知AB→=(-1，12，0)，平面αD．已知向量組{a→，【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式；空間向量基本定理及空間向量的基底；平面的法向量；空間向量的共線與共面．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】利用共面向量定義判斷A；利用數(shù)量積定義判斷B；利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷C；利用空間基底的意義判斷D．【解答】解：對于A，空間中三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面，A正確；對于B，由題意，得a→?b對于C，由AB→?m→=-1×1+12×2+0×3=0，得AB→⊥對于D，由題意得a→，b→則存在實(shí)數(shù)對x，y使得a→+b于是y-因此{(lán)a→+故選：ABD．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量共線，共面的判斷，還考查了空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．若向量a→=(1，λ，1)，b→=(2，-1，-2)，且a【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】-2【分析】根據(jù)向量的夾角公式求解．【解答】解：由題意可知，cos＜a→，解得λ=±由-λ32+λ2=所以λ=-故答案為：-2【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．向量a→=（﹣3，1，2）在向量b→=（1，2，﹣1）上的投影向量的模為【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】62【分析】由投影向量的模的計(jì)算公式計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)閍→=（﹣3，1，2），b→=（1，所以a→?b所以向量a→在向量b→上的投影向量的模為故答案為：62【點(diǎn)評】本題考查投影向量的求解，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15．如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1=π3，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，AA1＝3，O為AC與BD的交點(diǎn)．則A1O的長等于6【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】6．【分析】先結(jié)合題意得到A1【解答】解：以{AB→，AD→，A由題意知|AB→|＝|AD→|＝2，|AA1→|由數(shù)量積公式得AB→?AD同理得AB→∵A1∴|A1O→|2＝（=1=1＝6，∴|A故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查向量線性運(yùn)算法則、空間向量數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16．已知A（2，0，4），B（3，1，5），C（4，﹣1，4），則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為14．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】14．【分析】結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平行四邊形面積公式即可求解．【解答】解：因?yàn)锳（2，0，4），B（3，1，5），C（4，﹣1，4），所以AB→=（1，1，1），AC→=（2，﹣1，0），AB→?AC→=1×2|AB→|=3，|AC→則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積S＝|AB||AC|sin∠BAC=|AB=AB故答案為：14．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．如圖，已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，設(shè)AB→（1）用a→，b→，（2）求AA1→【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式；空間向量基底表示空間向量．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）AC1→（2）90°．【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算法則求解；（2）利用空間向量的夾角公式求解．【解答】解：（1）因?yàn)锳B→=a所以AC又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形且AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，所以|=1+1+4+0+2×1×2×（2）因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形，且AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，又由BD→所以AA所以cos?故AA1→與BD【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．18．如圖，在平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝AA′＝1，∠DAB＝90°，∠A′AB＝∠A′AD＝60°，點(diǎn)O為BC′的中點(diǎn)，AO→（1）求x+y+z的值；（2）求ΔAOD′的面積．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）2；（2）114【分析】（1）利用空間向量法求解；（2）利用空間向量法求解．【解答】解：（1）設(shè)AB→=a→，AD→AB＝AD＝AA′＝1，∠DAB＝90°，∠A′AB＝∠A′AD＝60°，可得a→?b→=0，a→?c→=|a→|?|c→|cos60°＝1×1平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中：又因?yàn)锳O=AB又已知AO→可得x＝1，y=z=1所以x+y+z＝1+12（2）AD'所以AD'→2=b→所以|AD'→|AO→2=a→可得|AO→|=AO→=0+1所以cos?可得sin?所以S△AOD'所以△AOD′的面積為114【點(diǎn)評】本題考查向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)量積的求法，模長的求法，屬于中檔題．19．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝2，PA＝PB=2，PA→?AC（1）PC的長；（2）異面直線PB與AC所成角的余弦值．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）1；（2）28【分析】（1）根據(jù)向量模的求法及數(shù)量積的運(yùn)算法則，求PC的長；（2）根據(jù)線線的向量求法求解．【解答】解：（1）設(shè)PA→=a→，PB→=b→，因?yàn)閨CA→|=|所以a→所以PC=|c所以PC的長為1；（2）PC→?AB所以|cos?所以異面直線PB與AC所成角的余弦值為28【點(diǎn)評】本題考查向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．如圖，M，N分別是三棱錐O﹣ABC的棱OA，BC的中點(diǎn)，Q是線段MN上一點(diǎn)且MQ=14MN，記OA→=a（1）用a→，b→，c→（2）若|a→|＝|b→|＝1，|c→|＝2，∠AOB＝∠BOC=π2【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）AC→=c→-（2）155【分析】（1）由題意及向量的加減運(yùn)算可得AC→（2）由向量夾角的余弦值公式，先求出AC→，OQ【解答】解：（1）因?yàn)镸，N分別是三棱錐O﹣ABC的棱OA，BC的中點(diǎn)，Q是線段MN上一點(diǎn)且MQ=14連接ON，記OA→=a→，可得AC→MN→=ON→-OM→=1OQ→=OM→+（2）AC→?OQ→=（c→-a→）?12又因?yàn)閨a→|＝|b→|＝1，|c→|＝2，∠AOB＝∠可得c→2＝4，c→?a→=|c→|?|a→|cosπ3=2×1×1所以AC→?OQ→=12（4|AC→|=|OQ→|=所以cos＜AC→，所以異面直線AC與OQ所成角的余弦值為155【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的求法及用向量的方法求直線所成的角的余弦值，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．異面直線及其所成的角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：2．空間向量及其線性運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量：A1（求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa→與②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa→與③當(dāng)λ＝0時(shí)，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ(μ注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±3．空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa→與②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa→與③當(dāng)λ＝0時(shí)，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ(μ注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±【解題方法點(diǎn)撥】﹣標(biāo)量運(yùn)算：進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，將標(biāo)量與向量分量相乘．﹣線性組合：應(yīng)用線性組合公式，計(jì)算向量的線性組合結(jié)果．【命題方向】﹣向量數(shù)乘和線性運(yùn)算：考查如何進(jìn)行空間向量的數(shù)乘和線性組合運(yùn)算．4．空間向量的共線與共面【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對于空間任意兩個(gè)向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x【解題方法點(diǎn)撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a→=λb→成立，或充分利用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合具體圖形，通過化簡、計(jì)算得出（2）a→∥b→表示空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使MP→=xMA→+yMB→．滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P證明三個(gè)向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個(gè)向量可表示成另兩個(gè)向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共線向量的條件b→=λa→，推出比例關(guān)系求出解答：∵a→=（2x，1，3）與b→=（1，﹣2故有2x1∴x=16，y故選C．點(diǎn)評：本題考查共線向量的知識，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?OB→+p?OC解答：由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的，則D正確．故選D．點(diǎn)評：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力．是基礎(chǔ)題．5．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a→、b→，在空間中任取一點(diǎn)O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長度|b→|與3．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λ（a（2）分配律：a→4．?dāng)?shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時(shí)，只能用符號a→?b→（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）當(dāng)a→≠0→時(shí)，由a→?b→=【解題方法點(diǎn)撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系：（1）向量垂直只對非零向量有意義，在證明或判斷a→⊥b→時(shí)，須指明（2）證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個(gè)方向向量表示為幾個(gè)已知向量a→，b→，c→【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點(diǎn)間的距離、證明垂直關(guān)系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運(yùn)算法則的應(yīng)用，任何有關(guān)數(shù)量積計(jì)算問題都離不開運(yùn)算律的運(yùn)用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1），則分析：通過2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→?b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案為：﹣7．點(diǎn)評：本題考查了空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6．空間向量的夾角與距離求解公式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的夾角公式設(shè)空間向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）當(dāng)cos＜a→，b→＞（2）當(dāng)cos＜a→，b→＞（3）當(dāng)cos＜a→，b→＞2．空間兩點(diǎn)的距離公式設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB→dA，B＝|AB→|=【解題思路點(diǎn)撥】1．求空間兩條直線的夾角建系→寫出向量坐標(biāo)→利用公式求夾角2．求空間兩點(diǎn)的距離建系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→利用公式求距離．【命題方向】（1）利用公式求空間向量的夾角例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量AB→與ACA.30°B.45°C.60°D.90°分析：由題意可得：AB→=(0，3，3)，AC→=(-1，1，0)，進(jìn)而得到AB解答：因?yàn)锳（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以AB→所以AB→?AC→═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|AB→|＝32，所以cos＜AB→，∴AB→與AC故選C．點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間中點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模，以及由向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)試題．（2）利用公式求空間兩點(diǎn)的距離例：已知空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），則A，B兩點(diǎn)間的距離是（）A.3B.29C.25D分析：求出AB對應(yīng)的向量，然后求出AB的距離即可．解答：因?yàn)榭臻g直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），所以AB→=（﹣3，0，﹣4），所以|故選D．點(diǎn)評：本題考查空間兩點(diǎn)的距離求法，考查計(jì)算能力．7．空間向量的投影向量與投影【知識點(diǎn)的認(rèn)識】﹣投影向量：向量a→在b→上的投影是﹣投影長度：投影的長度為|a【解題方法點(diǎn)撥