初中2024-2025學(xué)年廣東省廣州五中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A B.C. D.2.已知關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，則的值為（）A. B.1 C.5 D.3.如圖，是直徑，，則（）A. B. C. D.4.某樹主干長出若干數(shù)目支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目小分支，主干、支干、和小分支總數(shù)共57．若設(shè)主干長出x個(gè)支干，則可列方程是（）A.（1+x）2=57 B.1+x+x2=57 C.（1+x）x=57 D.1+x+2x=575.如圖，切于點(diǎn)A、B，直線切于點(diǎn)E，交于F，交于點(diǎn)G，若，則的周長是（）A. B. C. D.6.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）A.① B.② C.③ D.均不可能7.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，其部分圖象如圖所示．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根8.往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（）cm．A.10 B.14 C.26 D.529.為了美觀，在加工太陽鏡時(shí)將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于軸對稱，軸，，最低點(diǎn)在軸上，高，，則右輪廓所在拋物線的解析式為（）A. B. C. D.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形頂點(diǎn)O在原點(diǎn)上，，，軸，將四邊形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，第2023次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分.11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，則_____．12.已知二次函數(shù)的圖象和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍____．13.用反證法證明“”時(shí)，應(yīng)假設(shè)．14.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先向上平移3個(gè)單位長度，再向左平移2個(gè)單位長度，所得的拋物線的解析式是______．15.如圖，⊙O是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，點(diǎn)P是直線y＝－x＋8上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長PQ的最小值為__________．16.如圖，設(shè)P是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，，，，則的度數(shù)是___________．三、解答題：本大題共9小題，共72分.17.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）；（2）．18.如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)在的延長線上．求證：．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，．．（1）將向左平移6個(gè)單位長度得到，請畫出，并寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)．（2）請畫出關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的．20.如圖，AB是半圓的直徑，是半圓上的兩點(diǎn)，為弧的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求的度數(shù)．21.關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）化簡：．22.如圖是大廣高速路上單向雙車道某隧道的橫截面，其形狀是拋物線型，有關(guān)尺寸如圖所示，現(xiàn)有一輛車身寬為的貨車準(zhǔn)備裝一批貨物途過此隧道前往某地，（根據(jù)高速公路管理規(guī)定：機(jī)動(dòng)車在通過隧道時(shí)只能在一條道上行駛）．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并求出此拋物線的解析式；（2）這輛貨車滿載貨物時(shí)限高為多少？23.某公司銷售一批產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售量在0.4噸至3.5噸之間時(shí)，銷售額（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為；成本（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中是其頂點(diǎn)．（1）求出成本關(guān)于銷售量x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)成本最低時(shí)，銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少？（3）當(dāng)銷售量是多少噸時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤銷售額成本）24.如圖1所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點(diǎn)是劣弧上任意一點(diǎn)（不與重合），連接、、，求證：．【初步探索】小明同學(xué)思考如下：將與點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得、、三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：（1）根據(jù)小明的思路，請你完成證明．（2）若圓的半徑為8，則的最大值為________．【類比遷移】如圖2所示，等腰內(nèi)接于圓，，點(diǎn)是弧上任一點(diǎn)（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為8，試求周長的最大值．【拓展延伸】如圖3所示，等腰，點(diǎn)、在圓上，，圓的半徑為8，連接，則的最小值為_________（直接寫答案）．25.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線和線段，其中點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線L與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線L的頂點(diǎn).（1）求直線的解析式；（2）點(diǎn)Q在拋物線L上，且與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，連接，，，求證：為等腰直角三角形；（3）在（2）的條件下，射線交x軸于點(diǎn)F，連接，，四邊形是否能構(gòu)成平行四邊形？如果能，請求m的值；如果不能，說明理由；（4）若拋物線L與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍為.

2024-2025學(xué)年廣東省廣州五中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義解答即可．【詳解】解：A、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意.故選：D．2.已知關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，則的值為（）A. B.1 C.5 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，進(jìn)一步求解即可．【詳解】解∵關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系公式是解題的關(guān)鍵．3.如圖，是的直徑，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握直徑所對圓周角為直角是解題的關(guān)鍵．4.某樹主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目小分支，主干、支干、和小分支總數(shù)共57．若設(shè)主干長出x個(gè)支干，則可列方程是（）A.（1+x）2=57 B.1+x+x2=57 C.（1+x）x=57 D.1+x+2x=57【答案】B【解析】【分析】關(guān)鍵描述語是“主干、支干、小分支的總數(shù)是73”，等量關(guān)系為：主干1+支干數(shù)目+小分支數(shù)目=57，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【詳解】解：∵主干為1，每個(gè)支干長出x個(gè)小分支，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，∴小分支的個(gè)數(shù)為x×x=x2，∴可列方程為1+x+x2=57．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．5.如圖，切于點(diǎn)A、B，直線切于點(diǎn)E，交于F，交于點(diǎn)G，若，則的周長是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了切線長定理，由于PA、FG、PB都是⊙O的切線，可根據(jù)切線長定理，將△ABC的周長轉(zhuǎn)化為切線長求解，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)切線長定理可得：，，，∴的周長，，，，故選：C．6.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）A.① B.② C.③ D.均不可能【答案】A【解析】【詳解】解：第①塊出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長．故選A．7.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，其部分圖象如圖所示．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根【答案】C【解析】【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸的位置以及與y軸的交點(diǎn)可以對A進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可對B進(jìn)行判斷；時(shí)，，可對C進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與直線無交點(diǎn)，可對D進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵對稱軸為直線，∴，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∴，故選項(xiàng)A正確，該選項(xiàng)不符合題意；∵有圖可知，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，即，故選項(xiàng)B正確，該選項(xiàng)不符合題意；∵拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在和之間，∴時(shí)，，即，∵，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，該選項(xiàng)符合題意；∵拋物線開口向下，頂點(diǎn)為，∴函數(shù)有最大值n，∴拋物線與直線無交點(diǎn)，∴一元二次方程無實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D正確，該選項(xiàng)不符合題意；．故選：C．8.往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（）cm．A.10 B.14 C.26 D.52【答案】D【解析】【分析】如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過O作于D，交圓于C，設(shè)圓的半徑為r，而再利用勾股定理建立方程即可．【詳解】解：如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過O作于D，交圓于C，則設(shè)圓的半徑為r，而解得：圓柱形容器的截面直徑為52cm．故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，作輔助線構(gòu)建符合垂徑定理的模型是解本題的關(guān)鍵．9.為了美觀，在加工太陽鏡時(shí)將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于軸對稱，軸，，最低點(diǎn)在軸上，高，，則右輪廓所在拋物線的解析式為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，先根據(jù)B、D關(guān)于y軸對稱，得出D點(diǎn)坐標(biāo)為，再求出左邊拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則右邊拋物線的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為，設(shè)右邊拋物線的解析式為，代入即可得出答案．【詳解】解：∵高，，B、D關(guān)于y軸對稱，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為，∵軸，，最低點(diǎn)C在x軸上，∴關(guān)于直線對稱，∴左邊拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴右邊拋物線的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為，設(shè)右邊拋物線的解析式為，把代入得，解得，故右邊拋物線的解析式為，故選：B．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)上，，，軸，將四邊形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，第2023次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，過點(diǎn)C作，垂足為P，通過證得，得出，通過解直角三角形得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為，由每旋轉(zhuǎn)4次為一個(gè)循環(huán)，即可得出第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)點(diǎn)C的位置和第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)點(diǎn)C的位置相同，從而得出第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【詳解】解：連接，過點(diǎn)C作，如圖所示，∵，∴，∴，在中，，∴,∴，在中，，∴，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，由旋轉(zhuǎn)可知第一次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)為，第二次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)為，第三次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵每次旋轉(zhuǎn)，，∴每旋轉(zhuǎn)4次為一個(gè)循環(huán)．∵，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)點(diǎn)C的位置和第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)點(diǎn)C的位置相同，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，通過旋轉(zhuǎn)角度找到旋轉(zhuǎn)規(guī)律，從而確定第2023次旋轉(zhuǎn)后C點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分.11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，則_____．【答案】1【解析】【分析】，此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．直接利用兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號相反，進(jìn)而得出a，b的值，再利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，∴，則．故答案為：1．12.已知二次函數(shù)的圖象和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍____．【答案】且【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求不等式的解集，掌握二次函數(shù)定義，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的定義可得，根據(jù)圖象和x軸有交點(diǎn)，可得，再根據(jù)不等式求解集即可求解．【詳解】解：∵是二次函數(shù)，∴，∵圖象和x軸有交點(diǎn)，∴，解得，，故答案為：且

．13用反證法證明“”時(shí)，應(yīng)假設(shè)．【答案】a≥b【解析】【分析】找出原命題的反面即可得出假設(shè)條件.【詳解】用反證法證明“”時(shí)，應(yīng)假設(shè)a≥b．【點(diǎn)睛】本題考查反證法，找到原命題的反面是關(guān)鍵.14.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先向上平移3個(gè)單位長度，再向左平移2個(gè)單位長度，所得的拋物線的解析式是______．【答案】y＝（x＋1）2＋1【解析】【分析】根據(jù)圖象的平移規(guī)律，可得答案．【詳解】解：拋物線可化簡為y＝（x?1）2?2，先向上平移3個(gè)單位長度，再向左平移2個(gè)單位長度，所得的拋物線的解析式y(tǒng)＝（x?1＋2）2?2＋3＝（x＋1）2＋1，即y＝（x＋1）2＋1．故答案是：y＝（x＋1）2＋1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何變換問題，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．15.如圖，⊙O是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，點(diǎn)P是直線y＝－x＋8上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長PQ的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】連接OP、OQ，設(shè)P（m，﹣m+8），根據(jù)切線性質(zhì)可得PQ⊥OQ，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求解即可．【詳解】解：連接OP、OQ，設(shè)P（m，﹣m+8），∵PQ為⊙O的切線，Q為切點(diǎn)，∴PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，由勾股定理得：PQ2=PO2﹣OQ2，即PQ2=m2+(﹣m+8)2﹣（）2=2m2﹣16m+52=2（m﹣4）2+20，∵2＞0，∴當(dāng)m=4時(shí)，PQ2有最小值，最小值為20，則切線長PQ的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理、配方法、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握圓的切線性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．16.如圖，設(shè)P是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，，，，則的度數(shù)是___________．【答案】##150度【解析】【詳解】將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，則為等邊三角形，得到，，在中，，，，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得出答案．【解答】解：∵為等邊三角形，∴，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，如圖，∴，，，∴為等邊三角形，∴，，在中，，，，∴，∴為直角三角形，且，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．三、解答題：本大題共9小題，共72分.17.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．（1）把方程左邊化為完全平方式的形式，再利用直接開方法求解即可；；（2）利用公式法解方程即可解答．【小問1詳解】解：∴，∴或，解得：，；【小問2詳解】解：方程中，，，∴，∴，∴，．18.如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)在的延長線上．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，即可得到，，根據(jù)等邊對等角得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，∴，∴，∴．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，．．（1）將向左平移6個(gè)單位長度得到，請畫出，并寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)．（2）請畫出關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的．【答案】（1）圖見解析，，（2）見解析【解析】【分析】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換、平移變換，點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)．（1）根據(jù)，，．將向左平移6個(gè)單位長度得到即可；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可畫出關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的．【小問1詳解】解：如圖，即為所求，，；【小問2詳解】解：如圖，即為所求．20.如圖，AB是半圓的直徑，是半圓上的兩點(diǎn)，為弧的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（）根據(jù)圓周角定理和垂徑定理的推論證得，即可證得結(jié)論；（）連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)同弧所對的圓心角相等以及圓周角定理求解即可．【小問1詳解】證明：∵AB是半圓的直徑，∴，∵為弧的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，∴，即，∴，∴；【小問2詳解】解：連接，∵，，∴，∵為弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理的推論，同弧所對的圓心角相等，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．21.關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）化簡：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，分式的混合運(yùn)算，掌握相應(yīng)的基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式建立不等式解題即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論化簡絕對值，再計(jì)算分式的乘除混合運(yùn)算即可．【小問1詳解】解：∵關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．∴，解得：；【小問2詳解】解：∵，∴；22.如圖是大廣高速路上單向雙車道某隧道的橫截面，其形狀是拋物線型，有關(guān)尺寸如圖所示，現(xiàn)有一輛車身寬為的貨車準(zhǔn)備裝一批貨物途過此隧道前往某地，（根據(jù)高速公路管理規(guī)定：機(jī)動(dòng)車在通過隧道時(shí)只能在一條道上行駛）．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并求出此拋物線的解析式；（2）這輛貨車滿載貨物時(shí)限高為多少？【答案】（1）圖見解析，；（2）．【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．（1）依據(jù)同意，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，依據(jù)拋物線經(jīng)過，即可得到該拋物線的解析式；（2）依據(jù)題意，由車身寬為，從而可令，則，進(jìn)而可以判斷得解．【小問1詳解】解：如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則O0,0，，設(shè)拋物線的解析式為，∵拋物線經(jīng)過，∴，∴，∴拋物線的解析式為；【小問2詳解】解：由題意，∵車身寬為，∴令，則，∴點(diǎn)到距離為，∴這輛貨車滿載貨物時(shí)限高為．23.某公司銷售一批產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售量在0.4噸至3.5噸之間時(shí)，銷售額（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為；成本（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中是其頂點(diǎn)．（1）求出成本關(guān)于銷售量x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)成本最低時(shí)，銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少？（3）當(dāng)銷售量是多少噸時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤銷售額成本）【答案】（1）（2）銷售產(chǎn)品所獲利潤是0.75萬元（3）當(dāng)銷售量3噸時(shí)，獲得最大利潤，最大利潤為7萬元【解析】【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線為：，再把代入，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，成本最小值為，此時(shí)，即可求解；（3）設(shè)銷售利潤為W萬元，根據(jù)題意可得W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)拋物線為：，把代入可得：，解得：，∴拋物線的解析式為；【小問2詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，成本最小值為，此時(shí)，∴銷售產(chǎn)品所獲利潤是（萬元）；【小問3詳解】解：設(shè)銷售利潤為W萬元，根據(jù)題意得：∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，W的值最大，最大值為7，即當(dāng)銷售量3噸時(shí)，獲得最大利潤，最大利潤7萬元．24.如圖1所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點(diǎn)是劣弧上任意一點(diǎn)（不與重合），連接、、，求證：．【初步探索】小明同學(xué)思考如下：將與點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得、、三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：（1）根據(jù)小明的思路，請你完成證明．（2）若圓的半徑為8，則的最大值為________．【類比遷移】如圖2所示，等腰內(nèi)接于圓，，點(diǎn)是弧上任一點(diǎn)（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為8，試求周長的最大值．【拓展延伸】如圖3所示，等腰，點(diǎn)、在圓上，，圓的半徑為8，連接，則的最小值為_________（直接寫答案）．【答案】初步探索：（1）證明見解析；（2）16；類比遷移：；拓展延伸：【解析】【分析】初步探索：（1）由旋轉(zhuǎn)得，，，則，所以、、三點(diǎn)在同一條直線上，再證明是等邊三角形，則；（2）當(dāng)是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，所以的最大值是16；類比遷移：先由證明是的直徑，且圓心在上，則，，再證明、、三點(diǎn)在同一條直線上，則，當(dāng)是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，則，即可求得周長的最大值是；拓展延伸：連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，先求得，再連接、，證明≌，得，所以，則，所以的最小值為．【詳解】解：初步探索：（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；（2）是的弦，且的半徑為8，當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時(shí)，此時(shí)的值最大，最大值為16，的最大值是16，故答案為：16；類比遷移：如圖，，，是直徑，且圓心在上，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，，當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時(shí)，此時(shí)的值最大，最大值為16，最大值為，的最大值為，周長的最大值是．拓展延伸：如圖，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，∴，，，連接、，，，，，，，，，的最小值為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、垂線段最短等知識，此題綜合性強(qiáng)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)