2025年新版倒水挑戰(zhàn)試題及答案一、基礎(chǔ)操作題（單目標(biāo)量）1.現(xiàn)有容量分別為5升（容器A）和8升（容器B）的無刻度透明水杯各一個(gè)，水無限供應(yīng)。要求僅通過“裝滿”“倒空”“從一個(gè)容器向另一個(gè)容器倒水至其中一個(gè)滿或另一個(gè)空”三種操作，最終在任意一個(gè)容器中得到3升水。請寫出完整操作步驟。答案：步驟1：將容器A（5升）裝滿，此時(shí)A=5，B=0。步驟2：將A中的水全部倒入B，此時(shí)A=0，B=5（B容量8升，未裝滿）。步驟3：再次將A裝滿，此時(shí)A=5，B=5。步驟4：將A中的水倒入B至B滿（B需再裝3升），此時(shí)A剩余5-3=2升，B=8。步驟5：倒空B，此時(shí)A=2，B=0。步驟6：將A中的2升倒入B，此時(shí)A=0，B=2。步驟7：再次將A裝滿（5升），此時(shí)A=5，B=2。步驟8：將A中的水倒入B至B滿（B需再裝6升，但A僅有5升），倒入后B=2+5=7升，A=0。步驟9：再次將A裝滿（5升），此時(shí)A=5，B=7。步驟10：將A中的水倒入B至B滿（B需再裝1升），倒入后A剩余5-1=4升，B=8。步驟11：倒空B，此時(shí)A=4，B=0。步驟12：將A中的4升倒入B，此時(shí)A=0，B=4。步驟13：再次將A裝滿（5升），此時(shí)A=5，B=4。步驟14：將A中的水倒入B至B滿（B需再裝4升），倒入后A剩余5-4=1升，B=8。步驟15：倒空B，此時(shí)A=1，B=0。步驟16：將A中的1升倒入B，此時(shí)A=0，B=1。步驟17：再次將A裝滿（5升），此時(shí)A=5，B=1。步驟18：將A中的水倒入B至B滿（B需再裝7升，但A僅有5升），倒入后B=1+5=6升，A=0。步驟19：再次將A裝滿（5升），此時(shí)A=5，B=6。步驟20：將A中的水倒入B至B滿（B需再裝2升），倒入后A剩余5-2=3升，B=8。最終，容器A中剩余3升水。（注：此題為典型的“貝祖定理”應(yīng)用，5和8的最大公約數(shù)為1，因此可通過操作得到1至8升間的任意整數(shù)升水。上述步驟為確保嚴(yán)謹(jǐn)性的完整推導(dǎo)，實(shí)際最短步驟可優(yōu)化為：步驟1-4后A=2，步驟5倒空B，步驟6將A的2升倒入B，步驟7裝滿A（5升），步驟8將A倒入B（B已有2升，可再裝6升），倒入后A剩余5-6（但B容量僅8升，實(shí)際倒入6升會(huì)溢出，因此正確操作為倒入B至滿，即倒入6升后B=8，A=5-6=-1？此處發(fā)現(xiàn)初始設(shè)計(jì)有誤，正確最短步驟應(yīng)為：修正步驟：1.裝滿B（8升），A=0，B=8。2.用B倒?jié)MA（5升），此時(shí)B=8-5=3升，A=5。此時(shí)B中已得到3升水。原步驟因邏輯錯(cuò)誤導(dǎo)致冗余，正確答案應(yīng)為上述修正步驟。）二、多容器協(xié)同題（雙目標(biāo)量）2.現(xiàn)有容量分別為6升（容器X）、9升（容器Y）、12升（容器Z）的無刻度水杯各一個(gè)，水無限供應(yīng)。要求通過操作同時(shí)在X和Y中分別得到2升和4升水（Z中水量不限）。請寫出操作步驟。答案：步驟1：將Z裝滿（12升），X=0，Y=0，Z=12。步驟2：用Z倒?jié)MY（9升），此時(shí)Z=12-9=3升，Y=9，X=0。步驟3：用Y倒?jié)MX（6升），此時(shí)Y=9-6=3升，X=6，Z=3。步驟4：倒空X，此時(shí)X=0，Y=3，Z=3。步驟5：將Y中的3升倒入X，此時(shí)X=3，Y=0，Z=3。步驟6：將Z中的3升倒入Y，此時(shí)X=3，Y=3，Z=0。步驟7：再次將Z裝滿（12升），此時(shí)X=3，Y=3，Z=12。步驟8：用Z倒?jié)MY（Y已有3升，需再裝6升），Z=12-6=6升，Y=9，X=3。步驟9：用Y倒?jié)MX（X已有3升，需再裝3升），Y=9-3=6升，X=6，Z=6。步驟10：倒空X，此時(shí)X=0，Y=6，Z=6。步驟11：將Y中的6升倒入X，此時(shí)X=6，Y=0，Z=6。步驟12：用Z倒?jié)MY（9升），Z=6-9（不足，改為將Z的6升全部倒入Y），此時(shí)Y=6，Z=0，X=6。步驟13：再次將Z裝滿（12升），此時(shí)X=6，Y=6，Z=12。步驟14：用Z倒?jié)MX（X已有6升，無需操作），改為用Z倒?jié)MY（Y已有6升，需再裝3升），Z=12-3=9升，Y=9，X=6。步驟15：用Y倒?jié)MX（X已有6升，需倒空X后再裝），倒空X，此時(shí)X=0，Y=9，Z=9。步驟16：用Y倒?jié)MX（6升），Y=9-6=3升，X=6，Z=9。步驟17：倒空X，將Y的3升倒入X，此時(shí)X=3，Y=0，Z=9。步驟18：用Z倒?jié)MY（9升），Z=9-9=0，Y=9，X=3。步驟19：用Y倒?jié)MX（X已有3升，需再裝3升），Y=9-3=6升，X=6，Z=0。步驟20：倒空X，將Y的6升倒入X，此時(shí)X=6，Y=0，Z=0。步驟21：將Z裝滿（12升），用Z倒?jié)MY（9升），Z=3，Y=9，X=6。步驟22：用Y倒?jié)MX（X已有6升，倒空X后倒入），倒空X，Y倒入X6升，Y=9-6=3升，X=6，Z=3。步驟23：倒空X，將Y的3升和Z的3升合并倒入X（3+3=6升），此時(shí)X=6，Y=0，Z=0。（發(fā)現(xiàn)上述步驟未達(dá)到目標(biāo)，需重新設(shè)計(jì)邏輯：目標(biāo)為X=2，Y=4。因6、9、12的最大公約數(shù)為3，理論上可得到3的倍數(shù)，但題目要求2和4（非3的倍數(shù)），矛盾。因此題目需調(diào)整為“得到3升和6升”，或修正容器容量為5、7、9（最大公約數(shù)1）。此處原題設(shè)錯(cuò)誤，正確題目應(yīng)為：修正題2：現(xiàn)有5升（X）、7升（Y）、9升（Z）容器，要求X=2，Y=4。答案：步驟1：裝滿Y（7升），X=0，Y=7，Z=0。步驟2：用Y倒?jié)MX（5升），Y=2，X=5，Z=0（此時(shí)Y=2，已接近X=2的目標(biāo)）。步驟3：倒空X，將Y的2升倒入X，X=2，Y=0，Z=0（完成X=2）。步驟4：裝滿Z（9升），用Z倒?jié)MY（7升），Z=2，Y=7，X=2。步驟5：用Y倒?jié)MX（X已有2升，需再裝3升），Y=7-3=4升，X=5（倒?jié)M后X=5，需倒空X，將Y的4升保留）。步驟6：倒空X，此時(shí)X=0，Y=4，Z=2（完成Y=4）。最終X=0（需保留X=2），調(diào)整步驟：步驟1-3后X=2，Y=0，Z=0。步驟4：裝滿Z（9升），用Z倒?jié)MY（7升），Z=2，Y=7，X=2。步驟5：將Y的7升倒入Z（Z已有2升，可裝7升），Z=2+7=9（滿），Y=0。步驟6：裝滿Y（7升），用Y倒?jié)MZ（Z已滿，無法倒入），改為用Y倒?jié)MX（X已有2升，需再裝3升），Y=7-3=4升，X=5（倒?jié)M后X=5，倒空X，將Y的4升保留）。步驟7：倒空X，此時(shí)X=0，Y=4，Z=9（完成Y=4）。步驟8：將Z的9升倒?jié)MX（5升），Z=4，X=5。步驟9：倒空X，將Z的4升倒入X，X=4（不符合X=2）。正確邏輯應(yīng)為利用5和7的差：5和7可得到2（7-5=2），4（5+7-8？需重新計(jì)算）。實(shí)際通過5和7的操作：7-5=2（Y剩2）5-2=3（X剩3）7-3=4（Y剩4）步驟：1.裝滿Y（7），X=0，Y=7。2.Y倒X至滿，X=5，Y=2（Y剩2）。3.倒空X，Y倒入X，X=2，Y=0（X=2完成）。4.裝滿Y（7），Y倒X至滿（X已有2，需3升），Y=7-3=4（Y=4完成）。最終X=2，Y=4，Z任意。）三、逆向推理題（限定操作次數(shù)）3.現(xiàn)有11升（容器M）和13升（容器N）的無刻度水杯，僅允許進(jìn)行6次操作（“裝滿”“倒空”“倒水”各計(jì)1次），要求最終在M中得到5升水。請寫出符合操作次數(shù)限制的步驟。答案：操作次數(shù)需嚴(yán)格控制在6次內(nèi)，需設(shè)計(jì)高效路徑。步驟1：裝滿N（13升），操作次數(shù)1（裝滿），M=0，N=13。步驟2：用N倒?jié)MM（11升），操作次數(shù)2（倒水），此時(shí)N=13-11=2升，M=11。步驟3：倒空M，操作次數(shù)3（倒空），M=0，N=2。步驟4：將N的2升倒入M，操作次數(shù)4（倒水），M=2，N=0。步驟5：裝滿N（13升），操作次數(shù)5（裝滿），M=2，N=13。步驟6：用N倒?jié)MM（M已有2升，需再裝9升），N=13-9=4升，M=11（倒?jié)M后M=11，需調(diào)整目標(biāo)）。（發(fā)現(xiàn)步驟6后M=11，未達(dá)到5升，需調(diào)整路徑：正確路徑：步驟1：裝滿M（11），操作1，M=11，N=0。步驟2：M倒入N，操作2，M=0，N=11（N容量13，剩余2升空間）。步驟3：裝滿M（11），操作3，M=11，N=11。步驟4：M倒入N至N滿（需倒2升），操作4，M=11-2=9，N=13。步驟5：倒空N，操作5，M=9，N=0。步驟6：M倒入N，操作6，M=0，N=9（未達(dá)到目標(biāo)）。另一種路徑：步驟1：裝滿N（13），操作1，N=13，M=0。步驟2：N倒入M，操作2，N=13-11=2，M=11。步驟3：倒空M，操作3，M=0，N=2。步驟4：N倒入M，操作4，M=2，N=0。步驟5：裝滿N（13），操作5，N=13，M=2。步驟6：N倒入M至M滿（需9升），N=13-9=4，M=11（仍未達(dá)5）。需利用11和13的線性組合：11×3-13×2=33-26=7；13×2-11×1=26-11=15（超過容量）；11×4-13×3=44-39=5（關(guān)鍵?。?。即通過4次裝滿M，3次裝滿N，差值為5。但操作次數(shù)需控制在6次，需合并操作：步驟1：裝滿M（11），操作1，M=11，N=0。步驟2：M倒入N，操作2，M=0，N=11。步驟3：裝滿M（11），操作3，M=11，N=11。步驟4：M倒入N至N滿（N需2升），操作4，M=9，N=13。步驟5：倒空N，操作5，M=9，N=0。步驟6：M倒入N，操作6，M=0，N=9（仍不對）。正確6次操作路徑應(yīng)為：步驟1：裝滿N（13），操作1，N=13，M=0。步驟2：N倒入M（11），操作2，N=2，M=11。步驟3：倒空M，操作3，M=0，N=2。步驟4：N倒入M，操作4，M=2，N=0。步驟5：裝滿N（13），操作5，N=13，M=2。步驟6：N倒入M至M滿（M需9升），N=13-9=4，M=11（錯(cuò)誤）。發(fā)現(xiàn)題目設(shè)定可能存在矛盾，因11和13的最大公約數(shù)為1，理論上可得到5升，但需至少8次操作（11×4-13×3=5），因此6次操作限制下無法完成。題目應(yīng)調(diào)整為“8次操作”，或修正容器為7升和10升（7×5-10×3=35-30=5，可在7次操作內(nèi)完成）。四、創(chuàng)新拓展題（動(dòng)態(tài)容量）4.特殊容器：容器P為可變?nèi)萘勘?，初始容量?升，每完成一次“倒水”操作（從P倒出或倒入P），其容量增加1升（上限10升）；容器Q為固定容量6升杯。水無限供應(yīng)，要求通過操作使P中最終剩余3升水（P容量變化后可能超過當(dāng)前水量）。請寫出操作步驟。答案：關(guān)鍵在于利用P的容量隨倒水次數(shù)增加的特性。步驟1：初始P容量4升，Q容量6升，P=0，Q=0。步驟2：裝滿P（容量4升），操作1（裝滿），P=4，Q=0，P容量仍為4（裝滿不計(jì)入倒水操作）。步驟3：將P倒入Q，操作2（倒水），P容量變?yōu)?升（首次倒水操作），P=0（倒空），Q=4（Q容量6升，未裝滿）。步驟4：再次裝滿P（此時(shí)P容量5升），操作3（裝滿），P=5，Q=4，P容量5。步驟5：將P倒入Q至Q滿（Q需2升），操作4（倒水），P容量變?yōu)?升，P=5-2=3升，Q=6（滿）。此時(shí)P中剩余3升，且P容量為6升（因完成了2次倒水操作：步驟3和步驟5），滿足條件。五、綜合應(yīng)用題（生活場景）5.家庭場景：現(xiàn)有1.5升（小杯）、2.5升（中杯）、4升（大杯）的馬克杯各一個(gè)，需為3人各倒1升水（共3升），水從無限的水壺中取用，要求總操作次數(shù)不超過15次（每次裝滿、倒空、倒水計(jì)1次），且不允許浪費(fèi)水（即倒出的水必須全部轉(zhuǎn)移到其他容器）。請?jiān)O(shè)計(jì)操作方案。答案：目標(biāo)：3人各1升，共3升，需通過三個(gè)杯子組合得到1升×3。步驟1：裝滿大杯（4升），操作1，大=4，中=0，小=0。步驟2：大杯倒?jié)M中杯（2.5升），操作2，大=4-2.5=1.5，中=2.5，小=0。步驟3：中杯倒?jié)M小杯（1.5升），操作3，中=2.5-1.5=1，小=1.5，大=1.5。此時(shí)中杯已有1升（給第1人），操作4：倒出中杯的1升至杯子A，中=0。步驟4修正：直接將中杯的1升作為第1人份，標(biāo)記為已分配，中=0（操作4：倒出，計(jì)1次）。步驟5：小杯的1.5升倒回大杯（大杯已有1.5升，容量4升，可裝2.5升），操作5，小=0，大=1.5+1.5=3，中=0。步驟6：裝滿中杯（2.5升），操作6，中=2.5，大=3，小=0。步驟7：中杯倒?jié)M小杯（1.5升），操作7，中=2.5-1.5=1，小=1.5，大=3。此時(shí)中杯再次得到1升（第2人份），操作8：倒出中杯的1升至杯子B，中=0。步驟8修正：倒出中杯的1升，操作8。步驟9：小杯的