第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年北京市海淀區(qū)清華附中上地學校九年級（上）期末數(shù)學模擬試卷一、選擇題：共16分，每小題2分1.中國傳統(tǒng)工藝美術紋樣承載著深厚的文化內(nèi)涵和象征意義.下列紋樣中，是中心對稱圖形的是（）A. B.

C. D.2.在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y=x2+2繞著原點旋轉180°，得到的拋物線的表達式為（）A.y=-x2+2 B.y=x2-2 C.y=x2+2 D.y=-x2-23.若x=2是關于x的一元二次方程x2+ax-a=0的一個解，則a的值為（）A.2 B.4 C.-2 D.-44.已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.a＜0 B.ac＞0 C.2a+b＞0 D.b2-4ac＜05.近年來我國新能源汽車出口量快速增長，2021年出口量為31萬輛，2023年出口量為120.3萬輛.設新能源汽車出口量的年平均增長率為x,根據(jù)題意可列方程為（）A.31（1+x）=120.3 B.31（1+2x）=120.3

C.31（1+x）2=120.3 D.120.3（1-x）2=316.如圖，正方形ABCD和⊙O的周長之和為20cm,設圓的半徑為xcm,正方形的邊長為ycm,陰影部分的面積為Scm2．當x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x,S與x滿足的函數(shù)關系分別是（）A.一次函數(shù)關系，一次函數(shù)關系

B.一次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系

C.二次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系

D.二次函數(shù)關系，一次函數(shù)關系7.定義：如果兩個函數(shù)圖象上至少存在一對點是關于原點對稱的，我們則稱這兩個函數(shù)互為“守望函數(shù)”，這對點稱為“守望點”.例如：點P（2，4）在函數(shù)y=x2上，點Q（-2，-4）在函數(shù)y=-2x-8上，點P與點Q關于原點對稱，此時函數(shù)y=x2和y=-2x-8互為“守望函數(shù)”，點P與點Q則為一對“守望點”.已知函數(shù)y=x2+2x和y=4x+n-2022互為“守望函數(shù)”，則n的最大值為（）A.2020 B.2022 C.2023 D.40848.在正方形ABCD中，AB=4，M是CD邊上一動點，以CM為直徑的圓與BM相交于點Q，P為CD上另一動點，連接AP，PQ，則AP+PQ的最小值為（）A.2+2

B.2-2

C.2

D.二、填空題：共16分，每小題2分。9.寫出一個一元二次方程，使它的兩個根差為1：

.10.如圖，AB為⊙O的直徑，△BCD內(nèi)接于⊙O，若∠D=40°，則∠ABC=

°.11.《九章算術》被尊為古代數(shù)學“群經(jīng)之首”，凱凱在讀完《九章算術》卷九勾股定理篇記載的“圓材埋壁”問題后，突發(fā)靈感，設計了一個數(shù)學題如圖，CD為圓O的直徑，弦AB⊥CD于點E，ED=4，AB=16，則直徑CD的長是______．12.若點M（-3，y1），N（-1，y2），P（4，y3）在拋物線y=-x2+2x+m上，則y1，y2，y3大小順序為______．（用“＜”號連接）13.3月14日是國際數(shù)學節(jié).某校數(shù)學組在今年的數(shù)學節(jié)活動中策劃了“解密風云”“連數(shù)成畫”和“函數(shù)追擊”三個挑戰(zhàn)游戲，如果小明和小紅每人隨機選擇參加其中一個游戲，那么他們選擇相同游戲的概率是

.14.如圖，正五邊形和正六邊形有公共邊AB=5cm.以點A為圓心，AB為半徑畫圓.則扇形ACD的面積為

.15.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y之間滿足下列數(shù)量關系：x245y0.350.353那么的值為

.16.某公園有四處景點需要修復，修復每個景點需要一定數(shù)量的工人連續(xù)數(shù)天完成（每名工人每天的工作量相同）.修復每個景點所需的工人數(shù)（單位：人）和天數(shù)（單位：天）如下：景點ABCD工人數(shù)4325天數(shù)3452公園計劃聘用m人，用n天的時間完成所有修復工作.

（1）若m=7，則n的最小值是

；

（2）假設每名工人每天的工資為a元，且一旦聘用，在完成所有景點修復工作前，每天無論是否工作都要支付工資，不得中途辭退，則支付給工人的工資總額最少為元

（用含a的式子表示）元.三、解答題：共58分，第17-22題每題5分，第23-26題每題6分，第27-28題每題7分，。17.解方程：x2-4x-6=0．18.已知m是方程x2-3x+1=0的一個根，求代數(shù)式（m-3）2+（m+1）（m-1）的值.19.下面是小石設計的“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：⊙O及⊙O外一點P.

求作：直線PA和直線PB，使得PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B.

作法：如圖，

①連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點Q；

②以點Q為圓心，OQ的長為半徑作圓，交⊙O于點A和點B；

③作直線PA和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

根據(jù)小石設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接OA，OB.

∵OP是⊙Q的直徑，

∴∠OAP=∠OBP=①______（②______）（填推理的依據(jù)）.

∴PA⊥OA，PB⊥OB.

∵OA，OB為⊙O的半徑，

∴PA，PB是⊙O的切線（③______）（填推理的依據(jù)）.20.關于x的一元二次方程x2+（m-3）x+2-m=0.

（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若該方程的實數(shù)根均為非負數(shù)，求m的取值范圍.21.某電視臺的一檔娛樂性節(jié)目中，在游戲PK環(huán)節(jié)，為了隨機分選游戲雙方的組員，主持人設計了以下游戲：用不透明的紅布包住三根顏色長短相同的細繩AA1、BB1、CC1，只露出它們的兩端（如圖所示），由甲乙兩位嘉賓分別從紅布兩端各選兩根細繩打個結，若拿開紅布，三根細繩連成一條，則分在同隊；否則互為反方隊員.

（1）若甲嘉賓隨意打個結，他恰好將AA1和BB1連成一條的概率為______；

（2）請用畫樹狀圖或列表法，求甲，乙兩位嘉賓能分在同隊的概率.22.如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0）和B（0，-3）兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M在拋物線上，且不與A重合，過點B作x軸的平行線交直線AM于點N.若點N位于點B的右側，則點M的橫坐標xM的取值范圍是______.23.如圖，AB，AC分別與⊙O相切于B，C兩點，BO的延長線交弦CD于點E，CE=DE，連接OD.

（1）求證：∠A=∠DOE；

（2）若OD∥AC，⊙O的半徑為2，求AB的長.24.科學興趣小組利用不同材料制作了A，B兩種太陽能電池板，記錄了在一定條件下，當光照強度為x（單位：klx）時，A電池板的輸出電壓y1（單位：V）和B電池板的輸出電壓y2（單位：V）.部分數(shù)據(jù)如下：x/klx0102030405060708090100y1/V00.61.21.8m3.03.64.24.85.46.0y2/V02.43.84.65.05.35.55.75.85.66.0通過分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，可以用函數(shù)刻畫y1與x,y2與x之間的關系，回答下列問題：

（1）①y1可以看作是關于x的正比例函數(shù)，則m的值為______；

②當光照強度越大時，太陽能電池板的輸出電壓越高.請選出y2中不符合這條規(guī)律的數(shù)據(jù)，在表格中劃“×”；

（2）結合（1）的研究結果，在給出的平面直角坐標系中畫出y1，y2兩個函數(shù)的圖象；

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：

①當光照強度為55klx時，B電池板的輸出電壓與A電池板的輸出電壓之差約為______V（結果保留小數(shù)點后一位）；

②如果想使兩塊電池板的輸出電壓之和不低于6.5V，則光照強度應至少達到______klx（結果保留整數(shù)）.25.在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1）、點B（x2，y2）為拋物線y=ax2-2ax+a（a≠0）上的兩點．

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）當-2＜x1＜-1且1＜x2＜2時，試判斷y1與y2的大小關系并說明理由；

（3）若當t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3時，存在y1=y2，求t的取值范圍．26.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α（0°＜α＜45°），AD⊥BC于D，將射線BA繞點B順時針旋轉45°得到射線BM，過點C作BM的垂線交BM于點E，交射線BA于點F，連接ED.

（1）依題意補全圖形，并求∠EDC的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?/p>

（2）在DC上取點G，使DG=AD，連接EG.用等式表示線段EG，AF與CF的數(shù)量關系，并證明.27.在平面直角坐標系xOy中，將中心為T的正方形記作正方形T，對于正方形T和點P（不與O重合）給出如下定義：若正方形T的邊上存在點Q，使得直線OP與以TQ為半徑的⊙T相切于點P，則稱點P為正方形T的“伴隨切點”.

（1）如圖，正方形T的頂點分別為點O，A（2，2），B（4，0），C（2，-2）.

①在點P1（2，1），P2（1，1），P3（1，-1）中，正方形T的“伴隨切點”是______；

②若直線y=x+b上存在正方形T的“伴隨切點”，求b的取值范圍；

（2）已知點T（t,t+1），正方形T的邊長為2.若存在正方形T的兩個“伴隨切點”M，N，使得△OMN為等邊三角形，直接寫出t的取值范圍.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】x2-3x+2=0（答案不唯一）

10.【答案】50

11.【答案】20

12.【答案】y1＜y3＜y2

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】18

16.【答案】7，50a．

17.【答案】解：x2-4x-6=0，

x2-4x=6，

x2-4x+4=6+4，即（x-2）2=10，

∴x-2=±，

∴x1=2+，x2=2-．

18.【答案】2m2-6m+8，6．

19.【答案】90°

直徑所對的圓周角是直角

經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

20.【答案】證明：（1）因為一元二次方程為x2+（m-3）x+2-m=0，

所以Δ=（m-3）2-4×1×（2-m）=m2-6m+9-8+4m=m2-2m+1=（m-1）2，

又因為（m-1）2≥0，

所以該方程總有兩個實數(shù)根．

解：（2）x2+（m-3）x+2-m=0，

（x-1）（x+m-2）=0，

則x1=1，x2=-m+2．

因為該方程的實數(shù)根均為非負數(shù)，

所以-m+2≥0，

解得m≤2，

故m的取值范圍是：m≤2．

21.【答案】

22.【答案】y=x2-2x-3

xM＞0或xM＜-1

23.【答案】（1）證明：連接OC，

∵BO的延長線交弦CD于點E，CE=DE，

∴OE⊥CE，

∵OC=OD，

∴∠DOE=∠COE，

∵AB，AC分別與⊙O相切于B，C兩點，

∴∠ABO=∠ACO=90°，

∴∠A+∠BOC=180°，

∵∠BOC+∠COE=180°，

∴∠COE=∠A，

∴∠DOE=∠A；

（2）解：過C作CH⊥AB于H，

則四邊形BECH是矩形，

∴BH=CE，CH=BE，∠CHA=∠BHC=90°，

∵OD∥AC，

∴∠DOC=∠ACO=90°，

∵OC=OD=2，∠DOE=∠COE=45°，

∴∠A=45°，

∴CD=，

∴CE=DE=OE=，

∴BE=OB+OE=2+，

∴AH=CH=BE=2+，

∴AB=AH+BH=2+=2+2．

24.【答案】①2.4；②見解析；

見解析；

①2.1；②31．

25.【答案】解：（1）y=ax2-2ax+a=a（x-1）2，

∴拋物線的對稱軸為x=1；

（2）∵-2＜x1＜-1，