復(fù)習(xí)任務(wù)群一現(xiàn)代文閱讀Ⅰ把握共性之“新”打通應(yīng)考之“脈”第二章等式與不等式微專題2不等式恒成立、能成立問題不等式恒成立、能成立問題是高考中的熱點內(nèi)容，它以多種形式出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)的各個分支中，扮演著重要的角色．求解含參不等式的恒成立問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸思想．一般而言，針對不等式的表現(xiàn)形式，有如下三種解題策略：判別式法、分離變量法、變更主元法．能成立問題的解題方法可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．1．判別式法有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或一元二次方程，通過根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問題得到順利解決．2．分離變量法如果能夠?qū)?shù)分離出來，建立明確的參數(shù)和變量x的關(guān)系，那么可以利用函數(shù)的最值求解．a(chǎn)>y恒成立?a>ymax，a<y恒成立?a<ymin．3．變更主元法在有多個變量的問題中，常有一個變元處于主要地位，我們稱之為主元．在解含參不等式時，有時若能換一個角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決．4．最值法能成立問題可以轉(zhuǎn)化為m>ymin或m<ymax的形式，求出y的最大值與最小值，從而求得參數(shù)的取值范圍．【例1】對于x∈R，不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．[解]

不妨設(shè)y＝x2－2x＋3－m，其函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，為了使y≥0(x∈R)恒成立，只需對應(yīng)方程的Δ≤0，即(－2)2－4(3－m)≤0，解得m≤2．故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，2]．【例2】若關(guān)于x的不等式ax2－2x＋2>0對于滿足1<x<4的一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

【例3】對于滿足0≤p≤4的一切實數(shù)，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，試求x的取值范圍．

[解]

∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴實數(shù)m的取值范圍為[－2，＋∞)．章末綜合測評(一)動量守恒定律題號135246879√一、選擇題1．若不等式kx2＋2kx－3＜0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為(

)A．{k|－3＜k＜0} B．{k|－3≤k≤0}C．{k|－3≤k＜0} D．{k|－3＜k≤0}微專題強(qiáng)化練(二)不等式恒成立、能成立問題1011

題號1352468791011√2．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，則a的取值范圍是(

)A．[－4，1] B．[－4，3]C．[1，3] D．[－1，3]題號1352468791011B

[由x2－(a＋1)x＋a≤0得(x－a)(x－1)≤0，若a＝1，不等式的解集為{1}符合題意，若a＜1，不等式的解集為[a，1]，若滿足[a，1]?[－4，3]，則－4≤a＜1，若a＞1，不等式的解集為[1，a]，若滿足[1，a]?[－4，3]，則1＜a≤3，綜上，－4≤a≤3，即實數(shù)a的取值范圍是[－4，3]．]題號1352468791011

√

題號1352468791011

題號1352468791011√4．存在x∈[0，2]，使a<x2－2x成立，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，－1) B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(－∞，－1]C

[因為存在x∈[0，2]，使a<x2－2x成立，即a應(yīng)小于y＝x2－2x在x∈[0，2]上的最大值，又y＝x2－2x在x＝0或2時取到最大值為0，所以a<0．故選C．]題號1352468791011√5．已知關(guān)于x的不等式x2－2x＋5≤a2－3a有解，則實數(shù)a的取值范圍為(

)A．[－1，4]B．[－4，1]C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D．(－∞，－4]∪[1，＋∞)題號1352468791011C

[(法一：分離參數(shù)法)∵x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，∴要使不等式x2－2x＋5≤a2－3a有解，只需a2－3a≥4，得a≤－1或a≥4．(法二：判別式法)原不等式可化為x2－2x＋5－a2＋3a≤0，則該不等式有解時，(－2)2－4(5－a2＋3a)≥0，解得a≤－1或a≥4．]題號1352468791011二、填空題6．在R上定義運算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙2x<1對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是___________________．

題號13524687910117．若不等式2x＞x2＋a對一切x∈[－2，3]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為____________．(－∞，－8)

[∵2x＞x2＋a，∴a＜2x－x2，∵2x－x2＝－(x－1)2＋1在x∈[－2，3]的最小值為－8，∴a<－8，∴實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－8)．](－∞，－8)題號13524687910118．若關(guān)于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是_____________________．(－∞，－6]∪[2，＋∞)

[不等式x2－ax－a≤－3變形為x2－ax＋3－a≤0，∵不等式有解，∴方程x2－ax＋3－a＝0的判別式Δ≥0，即a2－4(3－a)≥0，解得a≤－6或a≥2，故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．](－∞，－6]∪[2，＋∞)題號1352468791011三、解答題9．已知函數(shù)y＝mx2－mx－6＋m，若對于1≤m≤3，y<0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

題號1352468791011

題號135246879101110．已知?x∈R，ax2＋2ax＋1≥0．(1)求a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式x2－x－a2＋a<0．

題號1352468791011

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