2026屆吉林省重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知長方體的底面ABCD是邊長為4的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.2．某口罩生產(chǎn)商為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從總體編號為001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取10個樣本進(jìn)行抽檢，選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開始由左向右讀取，則選出的第3個樣本的編號為（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3253．曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.5．某商場開通三種平臺銷售商品，五一期間這三種平臺的數(shù)據(jù)如圖1所示．該商場為了解消費(fèi)者對各平臺銷售方式的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2所示．下列說法正確的是（）A.樣本中對平臺一滿意的消費(fèi)者人數(shù)約700B.總體中對平臺二滿意的消費(fèi)者人數(shù)為18C.樣本中對平臺一和平臺二滿意的消費(fèi)者總?cè)藬?shù)為60D.若樣本中對平臺三滿意消費(fèi)者人數(shù)為120，則6．已知直線m經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線m的斜率為（）A.-2 B.C. D.27．已知p：，那么p的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.8．兩條平行直線與之間的距離為（）A. B.C. D.9．魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術(shù)是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復(fù)，設(shè)，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（）A.2 B.3C. D.10．如圖，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，為正三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．在等腰中，在線段斜邊上任取一點(diǎn)，則線段的長度大于的長度的概率（）A B.C. D.12．已知兩圓相交于兩點(diǎn)，，兩圓圓心都在直線上，則值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方形的邊長為分別是邊的中點(diǎn)，沿將四邊形折起，使二面角的大小為，則兩點(diǎn)間的距離為__________14．若平面法向量，直線的方向向量為，則與所成角的大小為___________.15．若直線與直線互相垂直，則___________.16．若x，y滿足約束條件，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直線PA與CD所成角為60°.（1）求直線PD與平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的零點(diǎn)個數(shù).19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，4），直線l：，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上，圓心也在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程.20．（12分）已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)任作直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，，試求，滿足的關(guān)系式.21．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，橢圓E的一個焦點(diǎn)為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點(diǎn)且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn).求的最大值22．（10分）已知橢圓M：的離心率為，左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F的距離為1，橢圓M上一點(diǎn)B位于第一象限，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線CF與橢圓M的另一交點(diǎn)為D（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AD的斜率為，直線AB的斜率為．求證：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長為4的正方形，，∴，，，因?yàn)?，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：C.2、A【解析】按隨機(jī)數(shù)表法逐個讀取數(shù)字即可得到答案.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法讀取的數(shù)字分別為：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故選出的第3個樣本的編號為148.故選：A.3、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設(shè)，，，∴離心率.故選：C.4、D【解析】的準(zhǔn)線方程為.【詳解】的準(zhǔn)線方程為.故選：D.5、C【解析】根據(jù)扇形圖和頻率分布直方圖判斷.【詳解】對于A：樣本中對平臺一滿意的人數(shù)為，故選項(xiàng)A錯誤；對于B：總體中對平臺二滿意的人數(shù)約為，故選項(xiàng)B錯誤；對于C：樣本中對平臺一和平臺二滿意的總?cè)藬?shù)為：，故選項(xiàng)C正確：對于D：對平臺三的滿意率為，所以，故選項(xiàng)D錯誤故選：C6、A【解析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為：.故選：A7、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)：，錯誤；B選項(xiàng)：，錯誤；C選項(xiàng)：，，正確；D選項(xiàng)：，錯誤.故選：C.8、D【解析】由已知有，所以直線可化為，利用兩平行直線距離公式有，選D.點(diǎn)睛：本題主要考查兩平行直線間的距離公式，屬于易錯題．在用兩平行直線距離公式時，兩直線中的系數(shù)要相同，不然不能用此公式計算9、A【解析】設(shè)，則，解方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)是解題關(guān)鍵.10、D【解析】根據(jù)橢圓定義及正三角形的性質(zhì)可得到\，再在中運(yùn)用余弦定理得到、的關(guān)系，進(jìn)而求得橢圓的離心率【詳解】由橢圓的定義知，，則，因?yàn)檎切危?，在中，由余弦定理得，則，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查考生的邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中等題.11、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C12、A【解析】由相交弦的性質(zhì)，可得與直線垂直，且的中點(diǎn)在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得的值，即可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程可得；進(jìn)而將、相加可得答案【詳解】根據(jù)題意，由相交弦的性質(zhì)，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點(diǎn)在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得，則，故中點(diǎn)為，且其在直線上，代入直線方程可得，1，可得；故；故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓和圓的位置關(guān)系時，要注意利用平面幾何圓的知識來分析解答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】取BE的中點(diǎn)G，然后證明是二面角的平面角，進(jìn)而證明，最后通過勾股定理求得答案.【詳解】如圖，取BE的中點(diǎn)G，連接AG,CG，由題意，則是二面角的平面角，則，又，則是正三角形，于是.根據(jù)可得：平面ABE，而平面ABE，所以，而，則平面BCFE，又平面BCFE，于是，，又，所以.故答案為：.14、##【解析】設(shè)直線與平面所成角為，則，直接利用直線與平面所成的角的向量計算公式，即可求出直線與平面所成的角【詳解】解：已知直線的方向向量為，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，，，所以直線與平面所成角為.故答案為：.15、4【解析】由直線垂直的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為：16、##【解析】作出可行域，進(jìn)而根據(jù)z的幾何意義求得答案.【詳解】如圖，作出可行域，由z的幾何意義可知當(dāng)過點(diǎn)B時取得最小值.聯(lián)立，則最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1），所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，然后過P在平面PAB內(nèi)作，可得平面ABCD，從而可求出答案.（2）可證平面PAB，過B在平面PAB內(nèi)作，連結(jié)CF，則是二面角的平面角，從而可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，可知，是正三角形.過P在平面PAB內(nèi)作，垂足為E，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面ABCD，是直線PD與平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直線PD與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問2詳解】因?yàn)椋矫嫫矫鍭BCD，平面平面ABCD又平面ABCD，所以平面PAB.又平面PAB.則過B在平面PAB內(nèi)作，垂足為F，連結(jié)CF，又,則平面,又平面所以，所以是二面角的平面角.因?yàn)?，，所以，從而所以二面角正弦值?18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）時，有1個零點(diǎn)；或時，有2個零點(diǎn)；時，有3個零點(diǎn).【解析】（1）求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)分析原函數(shù)的極值，進(jìn)而討論其零點(diǎn)個數(shù).【詳解】（1）因?yàn)椋杂?，得或；由，?故單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）可知的極小值是，極大值是.①當(dāng)時，方程有且僅有1個實(shí)根，即有1個零點(diǎn)；②當(dāng)時，方程有2個不同實(shí)根，即有2個零點(diǎn)；③當(dāng)時，方程有3個不同實(shí)根，即有3個零點(diǎn)；④當(dāng)時，方程有2個不同實(shí)根，即有2個零點(diǎn)；⑤當(dāng)時，方程有1個實(shí)根，即有1個零點(diǎn).綜上，當(dāng)或時，有1個零點(diǎn)；當(dāng)或時，有2個零點(diǎn)；當(dāng)時，有3個零點(diǎn).19、（1）（2）或【解析】（1）直接求出圓心的坐標(biāo)，寫出圓的方程；（2）分斜率存在和斜率不存在進(jìn)行分類討論，利用幾何法列方程，即可求解.【小問1詳解】由圓心C在直線l：上可設(shè)：點(diǎn)，又C也在直線上，∴，∴又圓C的半徑為1，∴圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線垂直于x軸時，與圓C相切，此時直線方程為.當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)過A點(diǎn)的切線方程為，即，則，解得.此時切線方程，.綜上所述，所求切線為或20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)直線與圓相切可得，再結(jié)合離心率及間的關(guān)系可得的值，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況考慮，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)后再求出的值，進(jìn)而得到，最后根據(jù)斜率公式可得所求的關(guān)系式【詳解】（1）因?yàn)閳A與直線相切，所以圓心到直線的距離，即所以，又由題意得所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，可得直線方程為，由，解得或，不妨設(shè)，，所以，又，所以，所以，整理得所以滿足的關(guān)系式為.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，由消去并整理得，設(shè)點(diǎn)，則有，所以.所以，所以，整理得綜上可得滿足的關(guān)系式為【點(diǎn)睛】（1）判斷直線與橢圓的位置關(guān)系時，一般把二者方程聯(lián)立得到方程組，判斷方程組解的個數(shù)，方程組有幾個解，直線與橢圓就有幾個公共點(diǎn)，方程組的解對應(yīng)公共點(diǎn)的坐標(biāo)（2）對于直線與橢圓位置關(guān)系的題目，注意設(shè)而不求和整體代入方法的運(yùn)用．解題步驟為：①設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為；②聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程；③利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求；④利用題干中的條件轉(zhuǎn)化為，或，，進(jìn)而求解.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)、橢圓中的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、弦