(2025年)統(tǒng)計學(xué)期末考試試題含答案一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.某電商平臺為分析用戶購物頻率與年齡的關(guān)系，隨機抽取1000名用戶，記錄其年齡（歲）和過去3個月的購物次數(shù)（次）。該研究中“年齡”和“購物次數(shù)”分別屬于（）A.分類變量、連續(xù)變量B.連續(xù)變量、離散變量C.有序變量、分類變量D.離散變量、連續(xù)變量答案：B2.若總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2已知，從總體中抽取容量為n的簡單隨機樣本，樣本均值為X?，則μ的95%置信區(qū)間為（）A.X?±1.96σB.X?±1.96(σ/√n)C.X?±t?.???(n-1)(σ/√n)D.X?±z?.???(σ/√n-1)答案：B3.對兩個獨立正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗（σ?2≠σ?2且未知），應(yīng)采用的檢驗統(tǒng)計量是（）A.Z=(X??-X??)/√(σ?2/n?+σ?2/n?)B.t=(X??-X??)/√(S?2/n?+S?2/n?)（自由度用Satterthwaite近似）C.t=(X??-X??)/S_p√(1/n?+1/n?)（S_p為合并方差）D.F=S?2/S?2答案：B4.某藥品療效試驗中，實驗組有效率為82%（n=200），對照組有效率為75%（n=200），檢驗兩組有效率是否有顯著差異（α=0.05），應(yīng)使用（）A.卡方檢驗B.兩樣本t檢驗C.單樣本Z檢驗D.配對t檢驗答案：A5.一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，ε表示（）A.解釋變量X的隨機誤差B.被解釋變量Y的系統(tǒng)誤差C.除X外其他因素對Y的影響及隨機誤差D.模型設(shè)定錯誤的累積效應(yīng)答案：C6.若相關(guān)系數(shù)r=0.85，說明兩個變量之間（）A.高度正線性相關(guān)B.高度負(fù)線性相關(guān)C.無線性相關(guān)關(guān)系D.非線性相關(guān)程度高答案：A7.方差分析的基本思想是（）A.比較組內(nèi)方差與組間方差，判斷各總體均值是否相等B.比較樣本方差與總體方差，判斷樣本是否來自同一總體C.比較不同水平下的樣本均值，直接得出結(jié)論D.計算F統(tǒng)計量，檢驗各樣本方差是否相等答案：A8.某調(diào)查采用分層抽樣，將總體分為3層，各層樣本量分別為n?=50、n?=80、n?=70，各層方差分別為S?2=12、S?2=8、S?2=15。按奈曼分配原則，各層應(yīng)分配的樣本量比例為（）A.50:80:70B.√12:√8:√15C.50×√12:80×√8:70×√15D.50×12:80×8:70×15答案：D9.時間序列分解中，若季節(jié)指數(shù)為1.2，說明該季度的實際值比趨勢值（）A.高20%B.低20%C.高120%D.低120%答案：A10.對某地區(qū)10年GDP數(shù)據(jù)（單位：億元）進行指數(shù)平滑預(yù)測，取平滑系數(shù)α=0.3，已知第10年實際值為850，第9年預(yù)測值為820，則第11年的預(yù)測值為（）A.820×0.3+850×0.7=841B.850×0.3+820×0.7=829C.(850+820)/2=835D.850×0.3+820×(1-0.3)=829答案：D二、填空題（每題3分，共15分）11.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，σ2未知，從總體中抽取容量為n的樣本，樣本均值為X?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為S，則檢驗H?:μ=μ?的統(tǒng)計量為______。答案：t=(X?-μ?)/(S/√n)12.若一組數(shù)據(jù)的偏度系數(shù)為-1.2，說明該數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)______偏態(tài)（填“左”或“右”）。答案：左13.某工廠產(chǎn)品合格率的95%置信區(qū)間為(0.82,0.88)，則邊際誤差為______。答案：0.0314.多元線性回歸模型中，調(diào)整R2與普通R2的區(qū)別在于______。答案：調(diào)整R2對模型中自變量個數(shù)進行了懲罰15.某時間序列的長期趨勢方程為T_t=120+5t（t=1,2,…,10），第3年的季節(jié)指數(shù)為1.1，則第3年的預(yù)測值為______。答案：(120+5×3)×1.1=148.5三、簡答題（每題8分，共32分）16.簡述中心極限定理的核心內(nèi)容及其在統(tǒng)計推斷中的作用。答案：中心極限定理指出，在樣本量n較大時，無論總體服從何種分布，樣本均值X?的抽樣分布近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)，其中μ為總體均值，σ2為總體方差。其作用在于：①為大樣本下的參數(shù)估計（如置信區(qū)間）和假設(shè)檢驗（如Z檢驗）提供了理論依據(jù)；②允許使用正態(tài)分布近似處理非正態(tài)總體的抽樣問題，極大擴展了統(tǒng)計方法的應(yīng)用范圍；③是許多統(tǒng)計方法（如回歸分析、方差分析）大樣本性質(zhì)的基礎(chǔ)。17.簡述假設(shè)檢驗中第一類錯誤與第二類錯誤的定義，并說明二者的關(guān)系。答案：第一類錯誤（α錯誤）是原假設(shè)H?為真時拒絕H?的概率；第二類錯誤（β錯誤）是原假設(shè)H?為假時接受H?的概率。二者關(guān)系：①在樣本量固定時，α與β呈反向變動關(guān)系，降低α?xí)?dǎo)致β增大，反之亦然；②增大樣本量n可同時降低α和β；③實際應(yīng)用中通常先控制α（如取0.05），再通過增加樣本量或優(yōu)化檢驗方法減小β。18.解釋回歸分析中“多重共線性”的含義，列舉兩種檢測方法及解決措施。答案：多重共線性指回歸模型中自變量之間存在高度線性相關(guān)關(guān)系。檢測方法：①方差膨脹因子（VIF），VIF>10通常認(rèn)為存在嚴(yán)重共線性；②相關(guān)系數(shù)矩陣，若自變量間相關(guān)系數(shù)絕對值>0.8需警惕；③特征值分析，若存在接近0的特征值說明存在共線性。解決措施：①剔除高度相關(guān)的自變量；②主成分分析或因子分析降維；③增加樣本量；④嶺回歸或LASSO回歸等正則化方法。19.簡述分層抽樣與整群抽樣的區(qū)別，各舉一個應(yīng)用場景。答案：區(qū)別：①分層抽樣將總體劃分為互不重疊的層，從每層中獨立抽樣；整群抽樣將總體劃分為群，隨機抽取部分群并調(diào)查群內(nèi)全部個體。②分層抽樣要求層內(nèi)差異小、層間差異大，目的是提高估計精度；整群抽樣要求群內(nèi)差異大、群間差異小，目的是降低調(diào)查成本。應(yīng)用場景：分層抽樣如按收入分層調(diào)查居民消費；整群抽樣如按社區(qū)為群調(diào)查老年人健康狀況。四、計算題（共33分）20.（8分）某城市2024年1-6月PM2.5月均濃度（μg/m3）為：35、42、38、45、40、37。計算：（1）樣本均值；（2）樣本方差；（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差；（4）變異系數(shù)。答案：（1）均值X?=(35+42+38+45+40+37)/6=237/6=39.5（2）樣本方差S2=Σ(Xi-X?)2/(n-1)=[(35-39.5)2+(42-39.5)2+(38-39.5)2+(45-39.5)2+(40-39.5)2+(37-39.5)2]/5=[20.25+6.25+2.25+30.25+0.25+6.25]/5=65.5/5=13.1（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=√13.1≈3.62（4）變異系數(shù)CV=S/X?≈3.62/39.5≈0.0916（或9.16%）21.（8分）某品牌手機電池續(xù)航時間服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2小時。隨機抽取25塊電池，測得平均續(xù)航時間為10.5小時。（1）計算電池續(xù)航時間95%的置信區(qū)間；（2）若要求邊際誤差不超過0.3小時，至少需要抽取多少塊電池？（Z?.???=1.96）答案：（1）已知σ=1.2，n=25，X?=10.5，Z?.???=1.96置信區(qū)間=X?±Zα/2(σ/√n)=10.5±1.96×(1.2/5)=10.5±0.4704，即(10.0296,10.9704)（2）邊際誤差E=Zα/2(σ/√n)≤0.3，解得n≥(Zα/2×σ/E)2=(1.96×1.2/0.3)2=(7.84)2=61.4656，故至少需要62塊。22.（8分）為比較兩種教學(xué)方法的效果，隨機將60名學(xué)生分為兩組，每組30人。方法A組平均成績82分，標(biāo)準(zhǔn)差5分；方法B組平均成績78分，標(biāo)準(zhǔn)差6分。假設(shè)兩總體方差不等，檢驗兩種教學(xué)方法效果是否有顯著差異（α=0.05，t?.???(50)=2.009，t?.???(55)=2.004）。答案：H?:μ?=μ?，H?:μ?≠μ?（μ?為方法A均值，μ?為方法B均值）檢驗統(tǒng)計量t=(X??-X??)/√(S?2/n?+S?2/n?)=(82-78)/√(25/30+36/30)=4/√(61/30)=4/√2.033≈4/1.426≈2.806自由度df=(S?2/n?+S?2/n?)2/[(S?2/n?)2/(n?-1)+(S?2/n?)2/(n?-1)]=(25/30+36/30)2/[(25/30)2/29+(36/30)2/29]=(61/30)2/[(625+1296)/(900×29)]=(3721/900)/(1921/26100)=3721/900×26100/1921≈(3721×29)/1921≈107909/1921≈56.17，取df=56臨界值t?.???(56)≈2.004，計算得t=2.806>2.004，拒絕H?，認(rèn)為兩種教學(xué)方法效果有顯著差異。23.（9分）某公司廣告投入（X，萬元）與月銷售額（Y，萬元）的10組數(shù)據(jù)如下：X:235781012141518Y:15203040455560707590（1）計算相關(guān)系數(shù)r；（2）建立一元線性回歸方程?=β??+β??X；（3）檢驗回歸系數(shù)β??的顯著性（α=0.05，t?.???(8)=2.306）。答案：（1）計算得：ΣX=2+3+5+7+8+10+12+14+15+18=94，ΣY=15+20+30+40+45+55+60+70+75+90=500ΣX2=4+9+25+49+64+100+144+196+225+324=1140，ΣY2=225+400+900+1600+2025+3025+3600+4900+5625+8100=30400ΣXY=2×15+3×20+5×30+7×40+8×45+10×55+12×60+14×70+15×75+18×90=30+60+150+280+360+550+720+980+1125+1620=6875n=10，X?=94/10=9.4，?=500/10=50r=[nΣXY-ΣXΣY]/√[nΣX2-(ΣX)2][nΣY2-(ΣY)2]=[10×6875-94×500]/√[(10×1140-942)(10×30400-5002)]=[68750-47000]/√[(11400-8836)(304000-250000)]=21750/√[2564×54000]=21750/√138456000≈21750/11767≈0.913（2）β??=(nΣXY-ΣXΣY)/(nΣX2-(ΣX)2)=21750/2564≈8.48β??=?-β??X?=50-8.48×9.4≈50-79.71≈-29.71回歸方程：?=-29.71+8.48X（3）H?:β?=0，H?:β?≠0計算殘差平方和SSE=Σ(Y-?)2=ΣY2-β??ΣY-β??ΣXY=30400-(-29.71)×500-8.48×6875=30400+14855-58300=30400+14855=45255-58300=-13045（此處應(yīng)為正數(shù)，正確計算：SSE=Σ(Y-?)2-β??2Σ(X-X?)2Σ(Y-?)2=ΣY2-n?2=30400-10×2500=5400Σ(X-X?)2=ΣX2-nX?2=1140-10×88.36=256.4SSE=5400-(8.48)2×256.4≈5400-71.91×256.4≈5400-18434≈-13034，顯然計算錯誤，正確方法應(yīng)為：SST=Σ(Y-?)2=5400，SSR=β??2Σ(X-X?)2=8.482×256.4≈71.91×256.4≈1