2026復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)考核試卷及答案考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分2026復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)考核試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-單選題（10題，每題2分）：20分-填空題（10題，每題2分）：20分-判斷題（10題，每題2分）：20分-簡答題（3題，每題4分）：12分-應(yīng)用題（2題，每題9分）：18分總分：100分一、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)在點(diǎn)z?處解析的充分必要條件是（）A.f(z)在z?處連續(xù)B.f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)連續(xù)C.f(z)在z?處可導(dǎo)D.f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)2.函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則其實(shí)部u(x,y)滿足的Cauchy-Riemann方程為（）A.?u/?x=?v/?yB.?u/?x=-?v/?yC.?u/?y=?v/?xD.?u/?y=-?v/?x3.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開式為（）A.∑_{n=0}^∞(z-1)^nB.∑_{n=0}^∞(z+1)^nC.∑_{n=0}^∞n(z-1)^nD.∑_{n=0}^∞n(z+1)^n4.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為（）A.1B.-1C.1/2D.-1/25.積分∮_{|z|=1}(z+2)/(z2+1)dz的值為（）A.0B.πiC.2πiD.-πi6.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=0處的導(dǎo)數(shù)為（）A.cos(0)B.sin(0)C.cos(0)+isin(0)D.07.函數(shù)f(z)=|z|在z=1處的導(dǎo)數(shù)存在嗎？（）A.存在且為1B.存在且為-1C.不存在D.存在且為08.函數(shù)f(z)=z2在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開式為（）A.∑_{n=0}^∞z^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^nC.∑_{n=0}^∞nz^nD.∑_{n=0}^∞(-1)^nnz^n9.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)收斂半徑為（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-110.函數(shù)f(z)=tan(z)在z=π/2處的奇點(diǎn)類型為（）A.可去奇點(diǎn)B.極點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)D.可去奇點(diǎn)或極點(diǎn)---二、填空題（每空2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)滿足______方程。2.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為______。3.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z^3項(xiàng)的系數(shù)為______。4.積分∮_{|z|=2}(z+1)/(z-1)dz的值為______。5.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的值為______。6.函數(shù)f(z)=|z|在z=1處的導(dǎo)數(shù)為______。7.函數(shù)f(z)=z2在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開式中，z^2項(xiàng)的系數(shù)為______。8.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z^n項(xiàng)的系數(shù)為______。9.函數(shù)f(z)=tan(z)在z=π/4處的值為______。10.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為______。---三、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在z?處解析，則f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)解析。（）2.函數(shù)f(z)=z2在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式為z2+z+1。（）3.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=1處的留數(shù)為0。（）4.積分∮_{|z|=1}1/zdz的值為2πi。（）5.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=0處的導(dǎo)數(shù)為1。（）6.函數(shù)f(z)=|z|在z=1處的導(dǎo)數(shù)存在且為1。（）7.函數(shù)f(z)=z2在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開式為z2+z+1。（）8.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)收斂半徑為1。（）9.函數(shù)f(z)=tan(z)在z=π/2處的奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)。（）10.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為1/3。（）---四、簡答題（每題4分，共12分）1.簡述Cauchy-Riemann方程的物理意義。2.解釋什么是函數(shù)的解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系。3.說明函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式與洛朗級(jí)數(shù)展開式的區(qū)別。---五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算積分∮_{|z|=1}(z2+2z+1)/(z-1)dz。2.求函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開式，并指出其收斂半徑。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、單選題1.D解析：f(z)在z?處解析的充分必要條件是f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。2.A解析：Cauchy-Riemann方程為?u/?x=?v/?y。3.C解析：z2在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開式為∑_{n=0}^∞n(z-1)^n。4.B解析：f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為-1。5.D解析：∮_{|z|=1}(z+2)/(z2+1)dz=∮_{|z|=1}(z+2)/((z-i)(z+i))dz=-πi。6.A解析：sin(z)在z=0處的導(dǎo)數(shù)為cos(0)=1。7.C解析：|z|在z=1處不可導(dǎo)。8.A解析：z2在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開式為∑_{n=0}^∞z^n。9.C解析：e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)收斂半徑為∞。10.A解析：tan(z)在z=π/2處的奇點(diǎn)為可去奇點(diǎn)。二、填空題1.Cauchy-Riemann解析：解析函數(shù)滿足Cauchy-Riemann方程。2.-1/2解析：f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為-1/(2i)=-1/2。3.2解析：z2在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z^3項(xiàng)的系數(shù)為2。4.0解析：∮_{|z|=2}(z+1)/(z-1)dz=0（因被積函數(shù)在|z|=2上解析）。5.0解析：sin(π)=0。6.不存在解析：|z|在z=1處不可導(dǎo)。7.0解析：z2在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開式中，z^2項(xiàng)的系數(shù)為0。8.1/n!解析：e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z^n項(xiàng)的系數(shù)為1/n!。9.1解析：tan(π/4)=1。10.1解析：f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為1。三、判斷題1.×解析：解析函數(shù)在z?處解析，但在去心鄰域內(nèi)未必解析。2.×解析：z2在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式為z2+z+1錯(cuò)誤。3.×解析：f(z)=1/(z-1)在z=1處的留數(shù)為1。4.×解析：∮_{|z|=1}1/zdz=2πi（非0）。5.×解析：sin(z)在z=0處的導(dǎo)數(shù)為1。6.×解析：|z|在z=1處不可導(dǎo)。7.×解析：z2在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開式為z2+z+1錯(cuò)誤。8.×解析：e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)收斂半徑為∞。9.×解析：tan(z)在z=π/2處的奇點(diǎn)為極點(diǎn)。10.×解析：f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為1。四、簡答題1.Cauchy-Riemann方程的物理意義是描述復(fù)變函數(shù)的解析性與其實(shí)部和虛部的偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足特定的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系，反映了函數(shù)的旋轉(zhuǎn)不變性。2.函數(shù)的解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系是：解析函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，但可導(dǎo)函數(shù)未必解析。解析函數(shù)要求在一點(diǎn)及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，而可導(dǎo)函數(shù)僅在該點(diǎn)可導(dǎo)。3.函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式僅包含非負(fù)冪次的項(xiàng)，適用于解析函數(shù)在圓域內(nèi)展開；洛朗級(jí)數(shù)包含正負(fù)冪次的項(xiàng)，適用于解析函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開。五、應(yīng)用題1.計(jì)算積分∮_{|z|=1}(z2+2z+1)/(z-1)dz解析：令f(z)=(z2+2z+1)/(z-1)，在|z|=1上，z-1≠0，f(z)=z+1+1/(z-1)，∮_{|z|=1}f(z)dz=∮_{|z|=1}(z+1)dz+∮_{|z|=1}1/(z-1)dz=0+2πi=2πi。2.求函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開式，并指出其收斂半徑解析：f(z)=z/(z2+1)=z/(z-i)(z+i)，在z=1處展開：f(z)=(1-i)/(2-i)+(1+i)/(2+i)