2026復(fù)變函數(shù)理論應(yīng)用考核試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分2026復(fù)變函數(shù)理論應(yīng)用考核試卷考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級學(xué)生題型分值分布：-單選題（20分）-填空題（20分）-判斷題（20分）-簡答題（12分）-應(yīng)用題（18分）總分：100分一、單選題（每題2分，共10題，總分20分）1.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)處的留數(shù)是（）A.1B.-1C.0D.22.函數(shù)\(f(z)=\sinz\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式中，\(z^5\)的系數(shù)是（）A.0B.1C.\(-\frac{1}{120}\)D.\(\frac{1}{120}\)3.積分\(\int_{|z|=1}\frac{e^z}{z}\,dz\)的值是（）A.0B.\(2\pii\)C.\(\pii\)D.\(-\pii\)4.函數(shù)\(f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}\)在\(z=1\)處的留數(shù)是（）A.0B.1C.-1D.25.函數(shù)\(f(z)=\cosz\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式中，\(z^6\)的系數(shù)是（）A.0B.1C.\(-\frac{1}{720}\)D.\(\frac{1}{720}\)6.積分\(\int_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz\)的值是（）A.\(0\)B.\(\pii\)C.\(2\pii\)D.\(-\pii\)7.函數(shù)\(f(z)=\ln(1+z)\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式中，\(z^3\)的系數(shù)是（）A.0B.1C.\(-\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{3}\)8.積分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z}\,dz\)的值是（）A.0B.\(2\pii\)C.\(\pii\)D.\(-\pii\)9.函數(shù)\(f(z)=\sinhz\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式中，\(z^4\)的系數(shù)是（）A.0B.1C.\(-\frac{1}{24}\)D.\(\frac{1}{24}\)10.積分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z(z+1)}\,dz\)的值是（）A.0B.\(2\pii\)C.\(\pii\)D.\(-\pii\)二、填空題（每題2分，共10題，總分20分）1.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)處的留數(shù)是_______。2.函數(shù)\(f(z)=e^z\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式中，\(z^3\)的系數(shù)是_______。3.積分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,dz\)的值是_______。4.函數(shù)\(f(z)=\cosz\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式中，\(z^2\)的系數(shù)是_______。5.積分\(\int_{|z|=2}\frac{z}{z^2+1}\,dz\)的值是_______。6.函數(shù)\(f(z)=\ln(1-z)\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式中，\(z^2\)的系數(shù)是_______。7.積分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2+z}\,dz\)的值是_______。8.函數(shù)\(f(z)=\sinz\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式中，\(z^4\)的系數(shù)是_______。9.積分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2}{z+1}\,dz\)的值是_______。10.函數(shù)\(f(z)=\coshz\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式中，\(z^3\)的系數(shù)是_______。三、判斷題（每題2分，共10題，總分20分）1.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z}\)在\(z=0\)處有一個一階極點(diǎn)。（）2.積分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,dz\)的值是\(2\pii\)。（）3.函數(shù)\(f(z)=\sinz\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式是唯一的。（）4.積分\(\int_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz\)的值是\(0\)。（）5.函數(shù)\(f(z)=\ln(1+z)\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{z^n}{n}\)。（）6.積分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z(z+1)}\,dz\)的值是\(0\)。（）7.函數(shù)\(f(z)=\cosz\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)。（）8.積分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2}{z+1}\,dz\)的值是\(2\pii\)。（）9.函數(shù)\(f(z)=\sinhz\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\)。（）10.積分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z(z^2+1)}\,dz\)的值是\(0\)。（）四、簡答題（每題4分，共3題，總分12分）1.解釋什么是留數(shù)定理，并簡述其應(yīng)用。2.寫出函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)和\(z=1\)處的留數(shù)。3.說明函數(shù)\(f(z)=\sinz\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式的收斂半徑。五、應(yīng)用題（每題9分，共2題，總分18分）1.計算積分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z(z-1)}\,dz\)，并說明計算過程。2.計算積分\(\int_{|z|=2}\frac{e^z}{z^2+1}\,dz\)，并說明計算過程。標(biāo)準(zhǔn)答案及解析---一、單選題答案1.B2.D3.B4.B5.D6.B7.D8.B9.D10.C解析：1.\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)處的留數(shù)是\(\lim_{z\to0}z\cdot\frac{1}{z(z-1)}=-1\)。2.\(\sinz\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\)，\(z^5\)的系數(shù)是\(-\frac{1}{120}\)。3.\(\frac{e^z}{z}\)在\(z=0\)處有一個一階極點(diǎn)，留數(shù)是\(e^0=1\)，積分值為\(2\pii\)。4.\(\frac{z^2-1}{z(z-1)}=\frac{z+1}{z}\)，在\(z=1\)處的留數(shù)是\(2\)。5.\(\cosz\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)，\(z^6\)的系數(shù)是\(\frac{1}{720}\)。6.\(\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)和\(z=-i\)處各有一個一階極點(diǎn)，積分值為\(\pii\)。7.\(e^z\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\)，\(z^3\)的系數(shù)是\(\frac{1}{6}\)。8.\(\frac{1}{z^2}\)在\(z=0\)處有一個二階極點(diǎn)，積分值為\(0\)。9.\(\cosz\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)，\(z^2\)的系數(shù)是\(-\frac{1}{2}\)。10.\(\frac{z}{z^2+1}\)在\(z=i\)和\(z=-i\)處各有一個一階極點(diǎn)，積分值為\(0\)。---二、填空題答案1.\(\frac{1}{2i}\)2.\(\frac{1}{6}\)3.\(0\)4.\(-\frac{1}{2}\)5.\(2\pii\)6.\(-2\)7.\(0\)8.\(\frac{1}{24}\)9.\(2\pii\)10.\(\frac{1}{6}\)解析：1.\(\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)處的留數(shù)是\(\lim_{z\toi}(z-i)\cdot\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{2i}\)。2.\(e^z\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\)，\(z^3\)的系數(shù)是\(\frac{1}{6}\)。3.\(\frac{1}{z^2}\)在\(z=0\)處有一個二階極點(diǎn)，積分值為\(0\)。4.\(\cosz\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)，\(z^2\)的系數(shù)是\(-\frac{1}{2}\)。5.\(\frac{z}{z^2+1}\)在\(z=i\)和\(z=-i\)處各有一個一階極點(diǎn)，積分值為\(2\pii\)。6.\(\ln(1-z)\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{z^n}{n}\)，\(z^2\)的系數(shù)是\(-2\)。7.\(\frac{1}{z^2+z}\)在\(z=0\)處有一個二階極點(diǎn)，積分值為\(0\)。8.\(\sinz\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\)，\(z^4\)的系數(shù)是\(\frac{1}{24}\)。9.\(\frac{z^2}{z+1}\)在\(z=-1\)處有一個一階極點(diǎn)，積分值為\(2\pii\)。10.\(\coshz\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)，\(z^3\)的系數(shù)是\(\frac{1}{6}\)。---三、判斷題答案1.√2.×3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.×解析：1.\(\frac{1}{z}\)在\(z=0\)處有一個一階極點(diǎn)。2.\(\frac{1}{z^2}\)在\(z=0\)處有一個二階極點(diǎn)，積分值為\(0\)。3.\(\sinz\)的泰勒級數(shù)展開式是唯一的。4.\(\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)和\(z=-i\)處各有一個一階極點(diǎn)，積分值為\(\pii\)。5.\(\ln(1+z)\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{z^n}{n}\)。6.\(\frac{1}{z(z+1)}\)在\(z=0\)和\(z=-1\)處各有一個一階極點(diǎn)，積分值為\(\pii\)。7.\(\cosz\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)。8.\(\frac{z^2}{z+1}\)在\(z=-1\)處有一個一階極點(diǎn)，積分值為\(2\pii\)。9.\(\sinhz\)的泰勒級數(shù)展開式是\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\)。10.\(\frac{1}{z(z^2+1)}\)在\(z=0\)、\(z=i\)和\(z=-i\)處各有一個一階極點(diǎn)，積分值為\(\pii\)。---四、簡答題答案1.留數(shù)定理：留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)論中的一個重要定理，它指出如果\(f(z)\)在簡單閉曲線\(\gamma\)上及其內(nèi)部除有限個奇點(diǎn)外解析，那么積分\(\int_{\gamma}f(z)\,dz\)等于\(2\pii\)乘以\(f(z)\)在\(\gamma\)內(nèi)部所有奇點(diǎn)的留數(shù)之和。留數(shù)定理的應(yīng)用廣泛，例如計算實(shí)積分、求解微分方程等。2.\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)處的留數(shù)是\(\lim_{z\to0}z\cdot\frac{1}{z(z-1)}=-1\)，在\(z=1\)處的留數(shù)是\(\lim_{z\to1}(z-1)\cdot\frac{1}{z(z-1)}=1\)。3.\(\sinz\)在\(z=0\)處的泰勒級數(shù)展開式的收斂半徑是\(\infty\)，因為\(\sinz\)在整個復(fù)平面上解析。---五、應(yīng)用題答案1.計算積分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z(z-1)}\,dz\)：\