專題06動點折疊類問題中圖形存在性問題一、基礎(chǔ)知識點綜述要求學生具備：運動觀點；方程思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類討論思想；轉(zhuǎn)化思想等等.存在性問題主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落點存在性等問題，常用的數(shù)學解題模型有“一線三直角”等模型，作圖方法是借助圓規(guī)化動為靜找落點.解題思路：分析題目→依據(jù)落點定折痕→建立模型→設(shè)出未知數(shù)列方程求解→得到結(jié)論.解題核心知識點：折疊性質(zhì)；①折疊前后圖形大小、形狀不變；②折痕是折疊前后對應(yīng)點連線的垂直平分線；勾股定理；相似圖形的性質(zhì)、三角函數(shù)等.★等腰三角形存在性問題解題思路：依據(jù)圓規(guī)等先確定落點，再確定折痕；★直角三角形存在性問題解題思路：依據(jù)不同直角頂點位置分類討論，作出圖形求解.二、精品例題解析題型一：折疊問題中等腰三角形存在性問題例1.如圖，∠AOB=90°，點P為∠AOB內(nèi)部一點，作射線OP，點M在射線OB上，且OM=，點M與點M’關(guān)于射線OP對稱，且直線MM’與射線OA交于點N，當△ONM’為等腰三角形時，ON的長為 .【解析】解：由△ONM’為等腰三角形，分以下三種情況討論：①當M’落在線段ON的垂直平分線上時，即M’N=M’O，如圖1所示，設(shè)∠ONM’=x°，則∠OM’M=∠OMM’=2x°，∵∠AOB=90°，∴x+2x=90，解得x=30，在Rt△NOM中，ON=；②當M’N=ON時，如圖2所示，由①知：∠NOM’=30°，過M’作M’H⊥OA于H，∴HM’=,在Rt△HNM’中，NM’=，即ON=1；③當M’O=ON=OM=，此時M、M’、N點不在一條直線上，與題意不符，此種情況不存在.ON的長為1或3.圖1圖2圖3例2.如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，將△ABC沿EF折疊，使點A落在直角邊BC上的D點，設(shè)EF與AB、AC分別交于點E、點F，如果折疊后△CDF與△BDE均為等腰三角形，則∠B= .【解析】由題意知，△CDF是等腰三角形，則CD=CF，∠CDF=∠CFD=45°，∴∠FDB=135°，△BDE是等腰三角形時，分以下三種情況討論：①當DE=BD時，如圖1，設(shè)∠B=x°，則∠DEB=x，∠EDB=180°－2x，由折疊知：∠A=∠FDE=90°－x，∴180－2x+90－x=135，解得x=45，即∠B=45°；②當BD=BE時，如圖2所示，設(shè)∠B=x°，則∠EDB=，由折疊，知∠A=∠FDE=90°－x，∴+90－x=135，解得x=30，即∠B=30°；③當BE=DE時，得∠B=∠EDB，∴∠FDB=∠FDE+∠EDB=∠A+∠B=90°∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此時C、D、B點不在一條直線上，與題意不符，此種情況不存在.∠B=45°或30°.圖1圖2題型二：折疊問題中直角三角形存在性問題例3.在矩形紙片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是邊BC上的點，將紙片沿AE折疊，使點B落在點F處，連接FC，當△EFC為直角三角形時，BE的長為．【解析】∵AD＝8，AB＝6，四邊形ABCD為矩形，∴BC＝AD＝8，∠B＝90°，根據(jù)勾股定理得：AC＝10．由分析知，△EFC為直角三角形分下面兩種情況：①當∠EFC＝90°時，如圖1所示，由折疊性質(zhì)知：∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，AF=AB=6,∴A、F、C三點共線，又AE平分∠BAC，∴CF=AC－AF=4，設(shè)BE=x，則EF=x，EC=8－x，在Rt△EFC中，由勾股定理得：，解得x=3，即BE=3；②當∠FEC＝90°時，如下圖所示．由題意知：∠FEC＝90°，∠FEB＝90°，∴∠AEF＝∠BEA＝45°，∴四邊形ABEF為正方形，∴BE＝AB＝6．綜上所述：BE的長為3或6．圖1圖2例4.矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點E為AD的中點，點P為線段AB上一個動點，連接EP，將△APE沿PE折疊得到△FPE，連接CE，CF，當△CEF為直角三角形時，AP的長為 .【解析】分以下兩種情況討論：（1）∠EFC=90°，如圖1所示，由折疊性質(zhì)知：∠A=∠PFE=90°，AP=PF所以點P、F、C在一條直線上，∵EF=ED=3，∴Rt△CEF≌Rt△CED，由勾股定理，得CE=5，∴CD=CF=4，設(shè)AP=x，則PF=x，PC=x+4，BP=4－x，在Rt△BCP中，由勾股定理，得，解得x=，即AP=；（2）∠FEC=90°，如圖2所示，過F作FH⊥AD于H，過P作PG⊥FH于G，易知∠EFH=∠ECD，∴,∴,即FH=,∴EH=,AH=PG=，由∠FPG=∠HFE，∴cos∠FPG=cos∠HFE，即,,解得PF=1；所以PF的長為或1.圖1圖2例5.如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB=16,AD=10，sinA=,點M為AB邊上一動點，過點M作MN⊥AB交AD邊于點N，將∠A沿直線MN翻折，點A落在線段AB上的點E處.當△CDE為直角三角形時，AM的長為 .【解析】當△CDE為直角三角形時，①當∠CDE＝90°，如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴DE⊥AB，由折疊知：MN⊥AB，AM＝EM，∴MN∥DE，∴AN＝DN＝AD＝5，由sinA＝＝，∴MN＝3，AM＝4；②當∠DEC＝90°，如圖2所示，過D作DH⊥AB于H，由題意知：∠HDC＝90°，∴∠HDC+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠HDE＝∠DCE，∴△DHE∽△CED，∴，∵sinA＝，AD＝10，∴DH＝6，AH＝8，設(shè)EH＝x，∴DE＝4，由勾股定理，得DH2+HE2＝DE2，62+x2＝16x，解得：x＝8﹣2，x＝8+2（不合題意舍去），∴AE＝AH+HE＝16﹣2，∴AM＝8﹣，所以AM的長為4或8﹣．例6.如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，點P為AC上一點，過點P作PD⊥BC于點D，將△PCD沿PD折疊，得到△PED，連接AE．若△APE為直角三角形，則PC＝___________．【解析】當∠AEP＝90°時，設(shè)PC＝x，在Rt△PDC中，sinC＝，cosC＝，所以PD＝x，CD＝x．由折疊，知DE＝CD＝x．∴BE＝BC﹣CE＝x．在△ABE和△EDP中，∠B＝∠PDE，∠BAE+∠AEB＝90°，∠PED+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PED．∴△ABE∽△EPD．∴，即，解得x＝．例7.如圖，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，點D為斜邊AB上一點，DE⊥AB交AC于點E，將△AED沿DE翻折，點A的對應(yīng)點為點F．如果△EFC是直角三角形，那么AD的長為．【解析】由勾股定理得：AB＝10，（1）若∠CFE＝90°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝∠B+∠A＝90°，由折疊知：∠A＝∠2，AE＝EF，∴∠1＝∠B，即CF＝BC＝6，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝EF2+CF2，CE2＝（8﹣CE）2+62，∴CE＝，∴AE＝，由△ADE∽△ACB，得：∴AD＝；（2）當∠ECF＝90°時，點F與B重合，AD＝5；（3）當∠CEF＝90°時，則EF∥BC，∠AFE＝∠B，∵∠A＝∠AFE，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC（與題設(shè)矛盾），∴這種情況不存在，例8.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E，F(xiàn)分別為BC，AC上的兩個動點，將△CEF沿EF折疊，點C的對應(yīng)點為G，若點G落