第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷（B卷）一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑.1．（4分）（2024?重慶）下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．（4分）（2024?重慶）下列標(biāo)點(diǎn)符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2024?重慶）反比例函數(shù)y＝﹣的圖象一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）A．（1，10） B．（﹣2，5） C．（2，5） D．（2，8）4．（4分）（2024?重慶）如圖，AB∥CD，若∠1＝125°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．125°5．（4分）（2024?重慶）若兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，則這兩個(gè)三角形面積的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：166．（4分）（2024?重慶）估計(jì)的值應(yīng)在（）A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間7．（4分）（2024?重慶）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)菱形，第④個(gè)圖案中有11個(gè)菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)是（）A．20 B．21 C．23 D．268．（4分）（2024?重慶）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，連接BD，CD．若∠D＝28°，則∠OAB的度數(shù)為（）A．28° B．34° C．56° D．62°9．（4分）（2024?重慶）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于點(diǎn)M．若BE＝DF＝1，則DM的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C． D．10．（4分）（2024?重慶）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+?+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5．下列說(shuō)法：①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；②不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且只有3個(gè)；③滿足條件的整式M共有16個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上。11．（4分）（2024?重慶）計(jì)算：|﹣2|+30＝．12．（4分）（2024?重慶）甲、乙兩人分別從A、B、C三個(gè)景區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)景區(qū)前往游覽，則他們恰好選擇同一景區(qū)的概率為．13．（4分）（2024?重慶）若正多邊形的一個(gè)外角是45°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為．14．（4分）（2024?重慶）重慶在低空經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運(yùn)行了200架次，預(yù)計(jì)第三季度低空飛行航線安全運(yùn)行將達(dá)到401架次．設(shè)第二、第三兩個(gè)季度安全運(yùn)行架次的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列方程為．15．（4分）（2024?重慶）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．若BC＝2，則AD的長(zhǎng)度為．16．（4分）（2024?重慶）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x≤4，且關(guān)于y的分式方程﹣＝1的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．17．（4分）（2024?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)．連接AC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是⊙O上一點(diǎn)，連接BE，DE，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，則AB的長(zhǎng)度是；DF的長(zhǎng)度是．18．（4分）（2024?重慶）一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)M＝，若滿足a+d＝b+c＝9，則稱這個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵1+8＝2+7＝9，∴1278是“友誼數(shù)”．若是一個(gè)“友誼數(shù)”，且b﹣a＝c﹣b＝1，則這個(gè)數(shù)為；若M＝是一個(gè)“友誼數(shù)”，設(shè)F（M）＝，且是整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是．三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫(huà)出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過(guò)程書(shū)寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。19．（8分）（2024?重慶）計(jì)算：（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；（2）（1+）÷．20．（10分）（2024?重慶）數(shù)學(xué)文化有利于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣．某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)掌握的情況，從該校七、八年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，并對(duì)數(shù)據(jù)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績(jī)均不低于70分，用x表示，共分三組：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面給出了部分信息：七年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贐組中的數(shù)據(jù)是：80，83，88，88．七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級(jí)8687b八年級(jí)86a90根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好？請(qǐng)說(shuō)明理由（寫(xiě)出一條理由即可）；（3）該校七年級(jí)學(xué)生有500人，八年級(jí)學(xué)生有400人．估計(jì)該校七、八年級(jí)學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識(shí)為“優(yōu)秀”（x≥90）的總共有多少人？21．（10分）（2024?重慶）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過(guò)矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)．用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，CE．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過(guò)對(duì)角線AC的中點(diǎn)O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①，∠OCF＝∠OAE．∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴②．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫(xiě)出你猜想的結(jié)論：④．22．（10分）（2024?重慶）某工程隊(duì)承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、乙兩人分別用A、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半．據(jù)測(cè)算需要A、B兩種外墻漆各300千克，購(gòu)買(mǎi)外墻漆總費(fèi)用為15000元，已知A種外墻漆每千克的價(jià)格比B種外墻漆每千克的價(jià)格多2元．（1）求A、B兩種外墻漆每千克的價(jià)格各是多少元？（2）已知乙每小時(shí)粉刷外墻面積是甲每小時(shí)粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間比甲完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí)．問(wèn)甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是多少平方米？23．（10分）（2024?重慶）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．設(shè)AP的長(zhǎng)度為x，點(diǎn)P，Q的距離為y1，△ABC的周長(zhǎng)與△APQ的周長(zhǎng)之比為y2．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y1，y2的圖象；請(qǐng)分別寫(xiě)出函數(shù)y1，y2的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出y1＞y2時(shí)x的取值范圍．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過(guò)0.2）24．（10分）（2024?重慶）如圖，A，B，C，D分別是某公園四個(gè)景點(diǎn)，B在A的正東方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏東30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求BC的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1千米）；（2）甲、乙兩人從景點(diǎn)D出發(fā)去景點(diǎn)B，甲選擇的路線為：D﹣C﹣B，乙選擇的路線為：D﹣A﹣B．請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)選擇的路線較近？25．（10分）（2024?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，作PE⊥BC于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線沿射線BC方向平移個(gè)單位，在PD+PE取得最大值的條件下，點(diǎn)F為點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接AF交y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)N為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若∠NMF﹣∠ABC＝45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．26．（10分）（2024?重慶）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC．（1）如圖1，若點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，連接CD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E．若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，求證：AC＝2BD；（2）如圖2，若點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)，連接AD，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G，連接CF．過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BG交AB于點(diǎn)M，CN平分∠ACB交BG于點(diǎn)N，求證：AM＝CN+BD；（3）若點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)，連接AD，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，且AF＝AC．點(diǎn)P是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接FP，將FP繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FQ，連接BQ，點(diǎn)R是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BR，QR．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)BQ取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)將△BQR沿直線QR翻折得到△TQR，連接FT．在點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫(xiě)出的最大值．

2024年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷（B卷）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑.1．（4分）（2024?重慶）下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解答】解：根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法，可得﹣1＜0＜1＜2，∴四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是﹣1．故選：A．2．（4分）（2024?重慶）下列標(biāo)點(diǎn)符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形；B、不是軸對(duì)稱圖形；C、不是軸對(duì)稱圖形；D、不是軸對(duì)稱圖形．故選：A．3．（4分）（2024?重慶）反比例函數(shù)y＝﹣的圖象一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）A．（1，10） B．（﹣2，5） C．（2，5） D．（2，8）【答案】B【解答】解：當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣10，∴圖象不經(jīng)過(guò)（1，10），故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝5，∴圖象經(jīng)過(guò)（﹣2，5），故B選項(xiàng)正確；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣5，∴圖象不經(jīng)過(guò)（2，5），（2，8），故C選項(xiàng)、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．4．（4分）（2024?重慶）如圖，AB∥CD，若∠1＝125°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．125°【答案】C【解答】解：如圖，∵∠1+∠3＝180°，∠1＝125°，∴∠3＝55°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝55°，故選：C．5．（4分）（2024?重慶）若兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，則這兩個(gè)三角形面積的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【答案】D【解答】解：若兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，則這兩個(gè)三角形面積的比是1：16，故選：D．6．（4分）（2024?重慶）估計(jì)的值應(yīng)在（）A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間【答案】C【解答】解：＝＝，∵5.76＜6＜6.25，∴，∴2.4＜＜2.5，∴10.8＜＜11，故選：C．7．（4分）（2024?重慶）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)菱形，第④個(gè)圖案中有11個(gè)菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)是（）A．20 B．21 C．23 D．26【答案】C【解答】解：由所給圖形可知，第①個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)為：2＝1×3﹣1；第②個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)為：5＝2×3﹣1；第③個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)為：8＝3×3﹣1；第④個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)為：11＝4×3﹣1；…，所以第n個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)為（3n﹣1）個(gè)，當(dāng)n＝8時(shí)，3n﹣1＝23（個(gè)），即第⑧個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)為23個(gè)．故選：C．8．（4分）（2024?重慶）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，連接BD，CD．若∠D＝28°，則∠OAB的度數(shù)為（）A．28° B．34° C．56° D．62°【答案】B【解答】解：∵∠D＝28°，∴∠BOC＝2∠D＝56°．∵OC⊥AB，∴點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴，∴∠AOC＝∠BOC＝56°，∴∠AOB＝2×56°＝112°．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝．故選：B．9．（4分）（2024?重慶）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于點(diǎn)M．若BE＝DF＝1，則DM的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），∴AE＝AF；∵AM平分∠EAF，∴∠EAM＝∠FAM，在△AEM和△AFM中，，∴△AEM≌△AFM（SAS），∴EM＝FM；∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，設(shè)DM＝x，則MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，在Rt△MCE中，根據(jù)勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32，解得x＝．故選：D．10．（4分）（2024?重慶）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+?+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5．下列說(shuō)法：①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；②不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且只有3個(gè)；③滿足條件的整式M共有16個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵n，an﹣1，…a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5，∴0≤n≤4，當(dāng)n＝4時(shí)，則4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0，滿足條件的整式有x4，當(dāng)n＝3時(shí)，則3+a3+a2+a1+a0＝5，∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），滿足條件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，當(dāng)n＝2時(shí)，則2+a2+a1+a0＝5，∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），滿足條件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；當(dāng)n＝1時(shí)，則1+a1+a0＝5，∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2），滿足條件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；當(dāng)n＝0時(shí)，0+a0＝5，滿足條件的整式有：5；∴滿足條件的單項(xiàng)式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合題意；不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且只有3個(gè)，故②符合題意；滿足條件的整式M共有1+4+6+4+1＝16個(gè)，故③符合題意；故選：D．二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上。11．（4分）（2024?重慶）計(jì)算：|﹣2|+30＝3．【答案】3．【解答】解：|﹣2|+30＝2+1＝3，故答案為：3．12．（4分）（2024?重慶）甲、乙兩人分別從A、B、C三個(gè)景區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)景區(qū)前往游覽，則他們恰好選擇同一景區(qū)的概率為．【答案】．【解答】解：根據(jù)題意列表如下：甲乙ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）由上面表格可得總共有9種可能，其中他們恰好選擇同一景區(qū)的有3種，則他們恰好選擇同一景區(qū)的概率是＝．故答案為：．13．（4分）（2024?重慶）若正多邊形的一個(gè)外角是45°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為8．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵多邊形外角和是360度，正多邊形的一個(gè)外角是45°，∴360°÷45°＝8即該正多邊形的邊數(shù)為8．14．（4分）（2024?重慶）重慶在低空經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運(yùn)行了200架次，預(yù)計(jì)第三季度低空飛行航線安全運(yùn)行將達(dá)到401架次．設(shè)第二、第三兩個(gè)季度安全運(yùn)行架次的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列方程為200（1+x）2＝401．【答案】200（1+x）2＝401．【解答】解：根據(jù)題意得：200（1+x）2＝401．故答案為：200（1+x）2＝401．15．（4分）（2024?重慶）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．若BC＝2，則AD的長(zhǎng)度為2．【答案】2．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，又∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC＝2，∵∠A＝36°，∠ABD＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD＝2，故答案為：2．16．（4分）（2024?重慶）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x≤4，且關(guān)于y的分式方程﹣＝1的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是12．【答案】所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是12．【解答】解：，解不等式①，得x≤4，解不等式②，得x＜a+2，由題意得a+2＞4，解得a＞2；解方程﹣＝1得，y＝，且y≠﹣2，當(dāng)a＝8時(shí)，y＝＝﹣1；當(dāng)a＝6時(shí)，y＝＝﹣2（不合題意，舍去）；當(dāng)a＝4時(shí)，y＝＝﹣3，∴符合條件的a有8，4，∴8+4＝12，即所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是12．17．（4分）（2024?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)．連接AC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是⊙O上一點(diǎn)，連接BE，DE，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，則AB的長(zhǎng)度是；DF的長(zhǎng)度是．【答案】故答案為：，．【解答】解：∵AB是圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∵BC＝5，CD＝3，∴BD＝＝4，∵BC切圓于B，∴直徑AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵∠BCD＝∠ACB，∠CDB＝∠ABC＝90°，∴△CDB∽△CBA，∴DB：BA＝CD：CB，∴4：AB＝3：5，∴AB＝，∵AF∥BE，∴∠BAF＝∠ABE，∵∠ABE＝∠ADE，∠F＝∠ADE，∴∠F＝∠BAF，∴BF＝AB＝，∴FD＝BF﹣BD＝﹣4＝．故答案為：，．18．（4分）（2024?重慶）一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)M＝，若滿足a+d＝b+c＝9，則稱這個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵1+8＝2+7＝9，∴1278是“友誼數(shù)”．若是一個(gè)“友誼數(shù)”，且b﹣a＝c﹣b＝1，則這個(gè)數(shù)為3456；若M＝是一個(gè)“友誼數(shù)”，設(shè)F（M）＝，且是整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是6273．【答案】3456；6273．【解答】解：∵是一個(gè)“友誼數(shù)”，∴a+d＝b+c＝9，又∵b﹣a＝c﹣b＝1，∴b＝4，c＝5，∴a＝3，d＝6，∴這個(gè)數(shù)為3456；∵是一個(gè)“友誼數(shù)”，∴M＝1000a+100b+10c+d＝1000a+100b+10（9﹣b）+9﹣a＝999a+90b+99，∴，∴＝＝＝＝，∵是整數(shù)，∴是整數(shù)，即是整數(shù)，∴3a+b+6是13的倍數(shù)，∵a、b、c、d都是不為0的正整數(shù)，且a+d＝b+c＝9，∴a≤8，∴當(dāng)a＝8時(shí)，31≤3a+b+6≤38，此時(shí)不滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意；當(dāng)a＝7時(shí)，28≤3a+b+6≤35，此時(shí)不滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意；當(dāng)a＝6時(shí)，25≤3a+b+6≤32，此時(shí)可以滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，即此時(shí)b＝2，則此時(shí)d＝3，c＝7，∵要使M最大，則一定要滿足a最大，∴滿足題意的M的最大值即為6273；故答案為：3456；6273．三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫(huà)出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過(guò)程書(shū)寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。19．（8分）（2024?重慶）計(jì)算：（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；（2）（1+）÷．【答案】（1）4a﹣2；（2）．【解答】解：（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）＝3a﹣a2+a2+2a﹣a﹣2＝4a﹣2；（2）（1+）÷＝?＝＝．20．（10分）（2024?重慶）數(shù)學(xué)文化有利于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣．某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)掌握的情況，從該校七、八年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，并對(duì)數(shù)據(jù)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績(jī)均不低于70分，用x表示，共分三組：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面給出了部分信息：七年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贐組中的數(shù)據(jù)是：80，83，88，88．七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級(jí)8687b八年級(jí)86a90根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）填空：a＝88，b＝87，m＝40；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好？請(qǐng)說(shuō)明理由（寫(xiě)出一條理由即可）；（3）該校七年級(jí)學(xué)生有500人，八年級(jí)學(xué)生有400人．估計(jì)該校七、八年級(jí)學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識(shí)為“優(yōu)秀”（x≥90）的總共有多少人？【答案】（1）88，87，40；（2）八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好，理由見(jiàn)解析；（3）310人．【解答】解：（1）由題意可知，八年級(jí)C組有：10×20%＝2（人），把被抽取八年級(jí)10名學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別為88，88，故中位數(shù)a＝＝88，在被抽取的七年級(jí)10名學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)中，87分出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)b＝87，m%＝1﹣20%﹣×100%＝40%，故m＝40；故答案為：88，87，40；（2）八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好，理由：因?yàn)榘四昙?jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)比七年級(jí)的高，所以八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好；（3）500×+400×40%＝310（人），答：估計(jì)該校七、八年級(jí)學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識(shí)為“優(yōu)秀”（x≥90）的總共有310人．21．（10分）（2024?重慶）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過(guò)矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)．用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，CE．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過(guò)對(duì)角線AC的中點(diǎn)O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫(xiě)出你猜想的結(jié)論：④四邊形AECF是菱形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫(xiě)出你猜想的結(jié)論：④四邊形AECF是菱形．故答案為：∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．22．（10分）（2024?重慶）某工程隊(duì)承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、乙兩人分別用A、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半．據(jù)測(cè)算需要A、B兩種外墻漆各300千克，購(gòu)買(mǎi)外墻漆總費(fèi)用為15000元，已知A種外墻漆每千克的價(jià)格比B種外墻漆每千克的價(jià)格多2元．（1）求A、B兩種外墻漆每千克的價(jià)格各是多少元？（2）已知乙每小時(shí)粉刷外墻面積是甲每小時(shí)粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間比甲完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí)．問(wèn)甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是多少平方米？【答案】（1）A種外墻漆每千克的價(jià)格是26元，B種外墻漆每千克的價(jià)格是24元；（2）甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是25平方米．【解答】解：（1）設(shè)A種外墻漆每千克的價(jià)格是x元，B種外墻漆每千克的價(jià)格是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：A種外墻漆每千克的價(jià)格是26元，B種外墻漆每千克的價(jià)格是24元；（2）設(shè)甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是m平方米，則乙每小時(shí)粉刷外墻的面積是m方米，根據(jù)題意得：﹣＝5，解得：m＝25，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝25是所列方程的解，且符合題意．答：甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是25平方米．23．（10分）（2024?重慶）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．設(shè)AP的長(zhǎng)度為x，點(diǎn)P，Q的距離為y1，△ABC的周長(zhǎng)與△APQ的周長(zhǎng)之比為y2．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y1，y2的圖象；請(qǐng)分別寫(xiě)出函數(shù)y1，y2的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出y1＞y2時(shí)x的取值范圍．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過(guò)0.2）【答案】（1）y1＝x（0＜x≤6）；y2＝（0＜x≤6）；（2）當(dāng)0＜x＜6時(shí)，y1隨x的增大而增大；y2隨x的增大而減??；（3）2.1＜x≤6．【解答】解：（1）∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，∴y1＝x（0＜x≤6）；∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴△ABC的周長(zhǎng)：△APQ的周長(zhǎng)＝AB：AP，∴y2＝（0＜x≤6）；（2）平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y1，y2的圖象如圖所示；當(dāng)0＜x＜6時(shí)，y1隨x的增大而增大；y2隨x的增大而減??；（3）由函數(shù)圖象得，當(dāng)y1＞y2時(shí)x的取值范圍為2.1＜x≤6．24．（10分）（2024?重慶）如圖，A，B，C，D分別是某公園四個(gè)景點(diǎn)，B在A的正東方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏東30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求BC的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1千米）；（2）甲、乙兩人從景點(diǎn)D出發(fā)去景點(diǎn)B，甲選擇的路線為：D﹣C﹣B，乙選擇的路線為：D﹣A﹣B．請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)選擇的路線較近？【答案】（1）BC的長(zhǎng)度約為2.5千米；（2）甲選擇的路線比較近．【解答】解：（1）過(guò)B作BE⊥AC于E，如圖：根據(jù)已知得∠DAB＝90°，∵∠DAC＝30°，∴∠EAB＝60°，∠EBA＝30°，∴AE＝AB＝1（千米），BE＝AE＝（千米），∵C在B的北偏西15°方向，∴∠EBC＝90°﹣30°﹣15°＝45°，∴△EBC是等腰直角三角形，∴CE＝BE＝（千米），BC＝BE＝×＝≈2.5（千米），∴BC的長(zhǎng)度約為2.5千米；（2）過(guò)C作CF⊥AD于F，如圖：由（1）知AE＝1千米，CE＝千米，∴AC＝AE+CE＝（1+）千米，在Rt△ACF中，CF＝AC＝（千米），AF＝CF＝（千米），∵D在C的北偏西60°方向，∴∠DCF＝30°，∴DF＝＝（千米），CD＝2DF＝（千米），∴AD+AB＝++2＝≈5.15（千米）；CD+BC＝+≈4.02（千米），∴CD+BC＜AD+AB；∴甲選擇的路線比較近．25．（10分）（2024?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，作PE⊥BC于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線沿射線BC方向平移個(gè)單位，在PD+PE取得最大值的條件下，點(diǎn)F為點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接AF交y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)N為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若∠NMF﹣∠ABC＝45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣3；（2）最大值為，P的坐標(biāo)為（5，﹣3）；（3）N的坐標(biāo)為（，4﹣）或（1+，）．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝，∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣3；（2）如圖，延長(zhǎng)PE交x軸于G，過(guò)P作PH∥y軸于H，在y＝x2﹣x﹣3中，令y＝0得0＝x2﹣x﹣3，解得：x1＝﹣1，x2＝6，∴B（6，0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴，∴sin，∵PD∥x軸，∴∠PHE＝∠BCO，∴sin∠PHE＝＝，∴PE＝PH，由B（6，0），C（0，﹣3）得直線BC為y＝x﹣3，設(shè)，則，∴，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴PD＝2（x﹣）＝2x﹣5，∴＝﹣x2+5x﹣5，∵﹣＜0，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)P（5，﹣3）；（3）∵拋物線沿射線BC方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，∴新的拋物線為y＝（x+2）2﹣（x+2）﹣3﹣1＝x2﹣x﹣7，F(xiàn)的坐標(biāo)為（3，﹣4），如圖，當(dāng)N在y軸的左側(cè)時(shí)，過(guò)N作NK⊥y軸于K，由A（﹣1，0），F(xiàn)（3，﹣4）得直線AF解析式為y＝﹣x﹣1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1，∴M（0，﹣1），∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK，∵∠NMF﹣∠ABC＝45°，∴∠NMK+45°﹣∠ABC＝45°，∴∠NMK＝∠ABC，∴tan∠NMK＝tan∠ABC＝＝＝，設(shè)，∴，解得：或（舍去），∴；如圖，當(dāng)N在y軸的右側(cè)時(shí)，過(guò)M作y軸的垂線MT，過(guò)N′作N'T⊥MT于T，同理可得∠N'MT＝∠ABC，設(shè)，則T（x，﹣1），同理可得：，∴或x＝（舍去），∴，綜上所述，N的坐標(biāo)