第1頁（共1頁）2025年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑。1．（4分）（2025?重慶）6的相反數(shù)是（）A．﹣6 B．16 C．6 D．2．（4分）（2025?重慶）下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2025?重慶）下列調(diào)查中最適合采用全面調(diào)查（普查）的是（）A．調(diào)查某種柑橘的甜度情況 B．調(diào)查某品牌新能源汽車的抗撞能力 C．調(diào)查某市垃圾分類的情況 D．調(diào)查全班觀看電影《哪吒2》的情況4．（4分）（2025?重慶）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．80° D．100°5．（4分）（2025?重慶）按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖中有4個圓點，第②個圖中有8個圓點，第③個圖中有12個圓點，第④個圖中有16個圓點，…，按照這一規(guī)律，則第⑥個圖中圓點的個數(shù)是（）A．32 B．28 C．24 D．206．（4分）（2025?重慶）反比例函數(shù)y=?12A．（2，6） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（6，﹣2）7．（4分）（2025?重慶）下列四個數(shù)中，最大的是（）A．6.18×108 B．6.28×108 C．6.18×109 D．6.28×1098．（4分）（2025?重慶）某景區(qū)2022年接待游客25萬人，經(jīng)過兩年加大旅游開發(fā)力度，該景區(qū)2024年接待游客達到36萬人，那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為（）A．10% B．20% C．22% D．44%9．（4分）（2025?重慶）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊的中點，連接DE，將△DCE沿直線DE翻折到正方形ABCD所在的平面內(nèi)，得△DFE，延長DF交AB于點G．∠ADG和∠DAG的平分線DH，AH相交于點H，連接GH，則△DGH的面積為（）A．58 B．54 C．5510．（4分）（2025?重慶）已知整式M：a0+a1x+a2x2+?+anxn，其中a0為自然數(shù)，n，a1，a2，?，an為正整數(shù)，且a0+a1+?+an＝4．下列說法：①滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式；②當n＝3時，滿足條件的所有整式M的和為4x3+4x2+4x+1；③滿足條件的所有二次三項式中，當x取任意實數(shù)時，其值一定為非負數(shù)的整式M共有3個．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）（2025?重慶）不透明袋子中有1個紅球、3個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，則摸出紅球的概率是．12．（4分）（2025?重慶）如圖，AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點E，F(xiàn)．若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)是．13．（4分）（2025?重慶）若n為正整數(shù)，且滿足n＜26＜n+1，則n＝14．（4分）（2025?重慶）若實數(shù)x，y同時滿足x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4，則xy的值為．15．（4分）（2025?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC．以AC為邊作菱形ACDE，CD交⊙O于點F，AB⊥CD，垂足為G．連接AD，交⊙O于點H，連接EH．若AG＝12，GF＝5，則DF的長度為，EH的長度為．16．（4分）（2025?重慶）我們規(guī)定：一個四位數(shù)M=abcd，若滿足a+b＝c+d＝10，則稱這個四位數(shù)為“十全數(shù)”．例如：四位數(shù)1928，因為1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全數(shù)”．按照這個規(guī)定，最小的“十全數(shù)”是；一個“十全數(shù)”M=abcd，將其千位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換位置，百位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位置，得到一個新的數(shù)M'=dcba，記F（M）=M?M′909，G（M）=M+M′11．若4F(M)+G(M)+15三、解答題：（本大題2個小題，每小題8分，共16分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。17．（8分）（2025?重慶）求不等式組：2x?2＜x①x?118．（8分）（2025?重慶）學(xué)習(xí)了角平分線和尺規(guī)作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發(fā)現(xiàn)了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進行交流．現(xiàn)在你作為她的同伴，請根據(jù)她的想法與思路，完成以下作圖和填空：第一步：構(gòu)造角平分線．小紅在∠AOB的邊OA上任取一點E，并過點E作了OA的垂線（如圖）．請你利用尺規(guī)作圖，在OB邊上截取OF＝OE，過點F作OB的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線OP，OP即為∠AOB的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．第二步：利用三角形全等證明她的猜想．證明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°．在Rt△OEP和Rt△OFP中，①()②()∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．∴③∴OP平分∠AOB．四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。19．（10分）（2025?重慶）學(xué)校開展了航天知識競賽活動，從七、八年級學(xué)生中各隨機抽取20名學(xué)生的競賽成績（成績?yōu)榘俜种魄覟檎麛?shù)）進行整理、描述和分析（成績均不低于60分，用x表示，共分四組：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70），下面給出了部分信息：七年級20名學(xué)生競賽成績在B組中的數(shù)據(jù)是：83，84，84，84，85，87，88．八年級20名學(xué)生競賽成績是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99．七、八年級所抽取學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)8282中位數(shù)a83眾數(shù)84b根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝，b＝，m＝；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有學(xué)生560人，八年級有學(xué)生500人，請估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)共是多少？20．（10分）（2025?重慶）先化簡，再求值：（x+1）（3x﹣1）﹣x（3x+1）+x2?xx2+2x+1÷（121．（10分）（2025?重慶）列方程解下列問題：某廠生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品．每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量比每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量多50個，3天時間生產(chǎn)的甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量比4天時間生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量多100個．（1）求該廠每天生產(chǎn)的甲、乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量分別是多少個？（2）由于市場需求量增加，該廠對生產(chǎn)流程進行了改進．改進后，每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量較改進前每天生產(chǎn)的數(shù)量增加同樣的數(shù)量，且每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量較改進前每天增加的數(shù)量是乙種文創(chuàng)產(chǎn)品每天增加數(shù)量的2倍．若生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品各1400個，乙比甲多用10天，求每天生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量．22．（10分）（2025?重慶）如圖，點O為矩形ABCD的對角線AC的中點，AB＝3，BC＝4．E，F(xiàn)是AC上的點（E，F(xiàn)均不與A，C重合），且AE＝CF，連接BE，DF．用x表示線段AE的長度，點E與點F的距離為y1．矩形ABCD的面積為S，△ABE的面積為S1，△CDF的面積為S2，y2=S（1）請直接寫出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出函數(shù)y1，y2的圖象，并分別寫出函數(shù)y1，y2的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出y1＜y2時x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過0.2）．23．（10分）（2025?重慶）為加強森林防火，某林場采用人工瞭望與無人機巡視兩種方式監(jiān)測森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．A是瞭望臺，某一時刻，觀測到甲無人機位于A的正東方向10千米的B處，乙無人機位于A的南偏西30°方向20千米的D處．兩無人機同時飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，5≈（1）求BD的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）甲、乙兩無人機同時分別從B，D出發(fā)沿BC，DC往C處進行巡視，乙無人機速度為甲無人機速度的2倍．當兩無人機相距20千米時，它們可以開始相互接收到信號．請問甲無人機飛離B處多少千米時，兩無人機可以開始相互接收到信號（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？24．（10分）（2025?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B（6，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線x=5（1）求拋物線的表達式；（2）點P是射線BC下方拋物線上的一動點，連接OP與射線BC交于點Q，點D，E為拋物線對稱軸上的動點（點E在點D的下方），且DE＝4，連接BD，PE．當PQOQ取得最大值時，求點P的坐標及BD+PE（3）在（2）中PQOQ取得最大值的條件下，將拋物線y＝x2+bx+c沿射線BC方向平移22個單位長度得到拋物線y′，點M為點P的對應(yīng)點，點N為拋物線y′上的一動點．若∠NAB＝∠OPM﹣45°，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N25．（10分）（2025?重慶）在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上一點（不與端點重合），連接AD．將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接DE．（1）如圖1，α＝∠BAC＝60°，∠CAE＝20°，求∠ADB的度數(shù)；（2）如圖2，α＝∠BAC＝90°，BD＜CD，過點D作DG⊥BC，DG交CA的延長線于G，連接BG．點F是DE的中點，點H是BG的中點，連接FH，CF．用等式表示線段FH與CF的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖3，∠BAC＝120°，α＝60°，AB＝8，連接BE，CE．點D從點B移動到點C過程中，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得線段BM，連接EM，作MN⊥CA交CA的延長線于點N．當CE取最小值時，在直線AB上取一點P，連接PE，將△APE沿PE所在直線翻折到△ABC所在的平面內(nèi)，得△QPE，連接BQ，MQ，NQ，當BQ取最大值時，請直接寫出△MNQ的面積．

2025年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案A．BDBCDDBAC一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑。1．（4分）（2025?重慶）6的相反數(shù)是（）A．﹣6 B．16 C．6 D．【考點】相反數(shù)．【分析】根據(jù)符號不同，絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)即可求得答案．【解答】解：6的相反數(shù)是﹣6．故選：A．【點評】本題考查了相反數(shù)的概念，掌握只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．2．（4分）（2025?重慶）下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義解答即可．【解答】解：在四個選項的圖形中，只有選項B的圖形能找到一條直線，使圖形沿這條直線對折后兩邊能完全重合，故選項C是軸對稱圖形，選項A、C、D不是軸對稱圖形．故選：B．【點評】本題主要考查了軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著某一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．3．（4分）（2025?重慶）下列調(diào)查中最適合采用全面調(diào)查（普查）的是（）A．調(diào)查某種柑橘的甜度情況 B．調(diào)查某品牌新能源汽車的抗撞能力 C．調(diào)查某市垃圾分類的情況 D．調(diào)查全班觀看電影《哪吒2》的情況【考點】全面調(diào)查與抽樣調(diào)查．【分析】根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似判斷即可．【解答】解：A．調(diào)查某種柑橘的甜度情況，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；B．調(diào)查某品牌新能源汽車的抗撞能力，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；C．調(diào)查某市垃圾分類的情況，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；D．調(diào)查全班觀看電影《哪吒2》的情況，適合全面調(diào)查，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．4．（4分）（2025?重慶）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．80° D．100°【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】直接利用圓周角定理求解．【解答】解：∵∠AOB和∠C都對AB，∴∠C=12∠AOB故選：B．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．5．（4分）（2025?重慶）按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖中有4個圓點，第②個圖中有8個圓點，第③個圖中有12個圓點，第④個圖中有16個圓點，…，按照這一規(guī)律，則第⑥個圖中圓點的個數(shù)是（）A．32 B．28 C．24 D．20【考點】規(guī)律型：圖形的變化類．【分析】第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有8個黑色圓點，第③個圖案中有12個黑色圓點，則可以總結(jié)出第n個圖形中黑色圓點的個數(shù)，代入n＝6計算即可．【解答】解：第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有8個黑色圓點，第③個圖案中有12個黑色圓點，第④個圖案中有16個黑色圓點，…，則第n個圖案中有4n個黑色圓點，所以第⑥個圖中圓點的個數(shù)是4×6＝24個，故選：C．【點評】本題屬于規(guī)律猜想題型的圖形變化類，解題的關(guān)鍵是通過圖形的變化得出圖形中圓點個數(shù)的數(shù)字變化規(guī)律．6．（4分）（2025?重慶）反比例函數(shù)y=?12A．（2，6） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（6，﹣2）【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點解答即可．【解答】解：A、∵2×6＝12≠﹣12，∴此點不在反比例函數(shù)圖象上，不符合題意；B、∵（﹣4）×（﹣3）＝12≠﹣12，∴此點不在反比例函數(shù)圖象上，不符合題意；C、∵（﹣3）×（﹣4）＝12≠﹣12，∴此點不在反比例函數(shù)圖象上，不符合題意；D、∵6×（﹣2）＝﹣12，∴此點在反比例函數(shù)圖象上，符合題意，故選：D．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．7．（4分）（2025?重慶）下列四個數(shù)中，最大的是（）A．6.18×108 B．6.28×108 C．6.18×109 D．6.28×109【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)；有理數(shù)大小比較．【分析】運用科學(xué)記數(shù)法知識將各選項數(shù)字還原，再進行比較、求解．【解答】解：∵6.18×108＝618000000，6.28×108＝628000000，6.18×109＝6180000000，6.28×109＝6280000000，且618000000＜628000000＜618000000＜6280000000，∴6.18×108＜6.28×108＜6.18×109＜6.28×109，∴四個數(shù)中，最大的是6.28×109，故選：D．【點評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用以上知識．8．（4分）（2025?重慶）某景區(qū)2022年接待游客25萬人，經(jīng)過兩年加大旅游開發(fā)力度，該景區(qū)2024年接待游客達到36萬人，那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為（）A．10% B．20% C．22% D．44%【考點】一元二次方程的應(yīng)用．【分析】設(shè)該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為x，利用該景區(qū)2024年接待游客人次數(shù)＝該景區(qū)2022年接待游客人次數(shù)×（1+該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：25（1+x）2＝36，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去），∴該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為20%．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（4分）（2025?重慶）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊的中點，連接DE，將△DCE沿直線DE翻折到正方形ABCD所在的平面內(nèi)，得△DFE，延長DF交AB于點G．∠ADG和∠DAG的平分線DH，AH相交于點H，連接GH，則△DGH的面積為（）A．58 B．54 C．55【考點】翻折變換（折疊問題）；角平分線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】連接GE，證明Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），可得GF＝GB，設(shè)GB＝GF＝x，則AG＝2﹣x，DG＝2+x，根據(jù)勾股定理可得x=12，再利用角平分線的性質(zhì)得到點H到AD，AG，【解答】解：如圖，連接GE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，∵點E是BC邊的中點，∴BE＝CE＝1，∵將△DCE沿直線DE翻折得△DFE，∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2，∴∠GFE＝∠GBE＝90°，∵GE＝GE，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），∴GF＝GB，設(shè)GB＝GF＝x，則AG＝2﹣x，DG＝2+x，根據(jù)勾股定理可得AG2+AD2＝DG2，即（2﹣x）2+22＝（2+x）2，解得x=1∴DG=52，∵∠ADG和∠DAG的平分線DH，AH相交于點H，∴點H到AD，AG，GD的距離相等，∴S△GDH故選：A．【點評】本題考查了正方形與折疊問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線，利用勾股定理列方程解得GB=110．（4分）（2025?重慶）已知整式M：a0+a1x+a2x2+?+anxn，其中a0為自然數(shù)，n，a1，a2，?，an為正整數(shù)，且a0+a1+?+an＝4．下列說法：①滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式；②當n＝3時，滿足條件的所有整式M的和為4x3+4x2+4x+1；③滿足條件的所有二次三項式中，當x取任意實數(shù)時，其值一定為非負數(shù)的整式M共有3個．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；整式的加減．【分析】根據(jù)題意逐項分析，對a0進行分類討論，即可求解．【解答】解：當n＝1時，a0+a1＝4，當a0＝0，a1＝4時，整式M為4x，當a0＞0時，整式M不可能為單項式，當n＞1時，∵a1，a2，…，an為正整數(shù)，∴整式M不可能為單項式，故滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式，①正確；當n＝3時，a0+a1+a2+a3＝4，當a0＝0時，a1+a2+a3＝4，則a1，a2，a3中有一個可能為2，故會有三種情況，對應(yīng)的整式M為x+x2+2x3，x+2x2+x3，2x+x2+x3，當a0＝1時，a1+a2+a3＝3，則a1＝a2＝a3＝1，故會有一種情況，對應(yīng)的整式M為1+x+x2+x3，當a0＞1時，a1+a2+a3＜3，與a1，a2，…，an為正整數(shù)矛盾，故不存在，∴滿足條件的所有整式M的和為5x3+5x2+5x+1，故②錯誤；∵多項式為二次三項式，∴n＝2，∴a0+a1+a2＝4，因為多項式為三項式，故a0≠0，當a0＝1時，a1+a2＝3，則有1+x+2x2，1+2x+x2兩種，∵1+x+2x2＝2（x+14)2+78＞0，1+2x∴1+x+2x2，1+2x+x2兩種都滿足條件，當a0＝2時，a1+a2＝2，則有2+x+x2一種，∵2+x+x∴2+x+x2滿足條件，當a0＞2時，a1+a2＜2與a1，a2，…，an為正整數(shù)矛盾，故不存在，所以其值一定為非負數(shù)的整式M共有3個，故③正確，其中正確的個數(shù)是2個，故選：C．【點評】本題綜合考查了整式與配方法理解題意，分類討論，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）（2025?重慶）不透明袋子中有1個紅球、3個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，則摸出紅球的概率是14【考點】概率公式．【分析】從袋子中隨機摸出1個球共有4種等可能結(jié)果，其中摸出紅球的有1種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：從袋子中隨機摸出1個球共有4種等可能結(jié)果，其中摸出紅球的有1種結(jié)果，所以摸出紅球的概率是14故答案為：14【點評】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．12．（4分）（2025?重慶）如圖，AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點E，F(xiàn)．若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)是70°．【考點】平行線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2＝∠1＝70°即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝70°，∴∠2＝∠1＝70°，故答案為：70°．【點評】本題主要考查平行的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（4分）（2025?重慶）若n為正整數(shù)，且滿足n＜26＜n+1，則n＝【考點】估算無理數(shù)的大小．【分析】利用夾逼法估算無理數(shù)的大小即可．【解答】解：∵25＜∴5＜26∵n＜26＜∴n＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握夾逼法是解題的關(guān)鍵．14．（4分）（2025?重慶）若實數(shù)x，y同時滿足x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4，則xy的值為13【考點】解一元一次方程；絕對值；負整數(shù)指數(shù)冪．【分析】根據(jù)絕對值的非負性，得到x＝|y|+2＞0，|x|＝y(tǒng)+4≥0，進而得到y(tǒng)≥﹣4，進而得到關(guān)于y的一元一次方程，求出y的值，進而求出x的值，再根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的法則，進行計算即可．【解答】解：∵x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4，∴x＝|y|+2＞0，|x|＝y(tǒng)+4≥0，∴y≥﹣4，∴|x|＝x＝|y|+2＝y(tǒng)+4，當y≥0時，方程無解，當﹣4≤y＜0時，﹣y+2＝y(tǒng)+4，∴y＝﹣1，∴x＝|y|+2＝3，∴xy故答案為：13【點評】本題考查絕對值的非負性，解一元一次方程，負整數(shù)指數(shù)冪，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（4分）（2025?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC．以AC為邊作菱形ACDE，CD交⊙O于點F，AB⊥CD，垂足為G．連接AD，交⊙O于點H，連接EH．若AG＝12，GF＝5，則DF的長度為3，EH的長度為13413【考點】圓周角定理；勾股定理；菱形的性質(zhì)；垂徑定理．【分析】由垂徑定理以及勾股定理可得CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10、AC＝13，由菱形的性質(zhì)可得CD＝AC＝13，進而得到GD＝8、DF＝3、AD=413，如圖：連接BC，BH，由圓周角定理可得∠ACB＝90°、∠AHB＝90°，再解直角三角形可得AB=16912，AH=13413；由菱形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得∠DAE＝∠CDA，如圖：過H作HF⊥AE于F，解直角三角形可得【解答】解：∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5，∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10，∴AC=A∵四邊形ACDE是菱形，∵CD＝AC＝13，∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3，∴AD=A如圖，連接BC，BH，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°，∴cos∠CAB=AGAC=解得：AB=169∴cos∠DAB=AGAD=解得：AH=13∵四邊形ACDE是菱形，∴CD∥AE，∴∠DAE＝∠CDA，如圖，過H作HM⊥AE于M，∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA，∴MHAH=AG∴MH13∴MH=394，∴ME=AE?AM=13?13∴EH=E故答案為：3，134【點評】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線、運用解直角三角形解決問題成為解題的關(guān)鍵．16．（4分）（2025?重慶）我們規(guī)定：一個四位數(shù)M=abcd，若滿足a+b＝c+d＝10，則稱這個四位數(shù)為“十全數(shù)”．例如：四位數(shù)1928，因為1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全數(shù)”．按照這個規(guī)定，最小的“十全數(shù)”是1919；一個“十全數(shù)”M=abcd，將其千位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換位置，百位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位置，得到一個新的數(shù)M'=dcba，記F（M）=M?M′909，G（M）=M+M′11．若4F(M)+G(M)+15【考點】因式分解的應(yīng)用．【分析】根據(jù)要求最小的“十全數(shù)”，得到a＝1，c＝1，然后求出b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9，即可得到最小的“十全數(shù)”是1919；根據(jù)題意表示出M＝900a+9c+1010，M'＝﹣9a﹣900c+10100，然后表示出F(M)=M?M′909=a+c?10，G(M)=M+M′11=81a?81c+1010，然后表示出4F(M)+G(M)+1513=6a?6c+76+7a+c?313，ab+cd17=a+c+1?8a+8c?317，然后根據(jù)題意得到7a+c?313與8a+8c?3【解答】解：設(shè)四位數(shù)M=abcd要求最小的“十全數(shù)”，∴a＝1，c＝1，∴b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9，∴最小的“十全數(shù)”是1919；∵一個“十全數(shù)”M=abcd∴a+b＝c+d＝10，∴b＝10﹣a，d＝10﹣c，∴M=abcd=1000a+100（10﹣a）+10c+10﹣c＝900a+9∴M'=dcba=1000（10﹣c）+100c+10（10﹣a）+a＝﹣9a﹣900∴F（M）=M?M′909=900a+9c+1010?(?9a?900c+10100)∴G（M）=M+M′11=900a+9c+1010+(?9a?900c+10100)11∴4F(M)+G(M)+15=4(a+c?10)+81a?81c+1010+15=85a?77c+985=6a?6c+76+7a+c?3∴ab+∵4F(M)+G(M)+1513與ab∴7a+c?313與8a+8c?3∴7a+c﹣3能被13整除，8a+8c﹣3能被17整除，∵1≤a≤9，1≤c≤9，∴7≤7a≤63，﹣2≤c﹣3≤6，∴5≤7a+c﹣3≤69，∴7a+c﹣3的值可以為13，26，39，52，65，∴依次代入可得，當a＝3，c＝8時，7a+c?313=2，∴b＝10﹣a＝7，d＝10﹣c＝2，∴滿足條件的M的值是3782．故答案為：1919，3782．【點評】此題考查了整式的加減的應(yīng)用，讀懂并理解題意是解題的關(guān)鍵．三、解答題：（本大題2個小題，每小題8分，共16分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。17．（8分）（2025?重慶）求不等式組：2x?2＜x①x?1【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解；解一元一次不等式組．【分析】分別求出每一個不等式的解集，由兩不等式解集的公共部分可得不等式組的解集，從而得出所有整數(shù)解．【解答】解：2x?2＜x①x?1解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣1，∴原不等式組的解集為﹣1≤x＜2，所以不等式組的所有整數(shù)解為﹣1，0，1．【點評】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．18．（8分）（2025?重慶）學(xué)習(xí)了角平分線和尺規(guī)作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發(fā)現(xiàn)了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進行交流．現(xiàn)在你作為她的同伴，請根據(jù)她的想法與思路，完成以下作圖和填空：第一步：構(gòu)造角平分線．小紅在∠AOB的邊OA上任取一點E，并過點E作了OA的垂線（如圖）．請你利用尺規(guī)作圖，在OB邊上截取OF＝OE，過點F作OB的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線OP，OP即為∠AOB的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．第二步：利用三角形全等證明她的猜想．證明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°．在Rt△OEP和Rt△OFP中，①()②()∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．∴③∠POE＝∠POF∴OP平分∠AOB．【考點】作圖—復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)要求作出圖形，利用HL證明Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）即可．【解答】解：圖形如圖所示：證明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°．在Rt△OEP和Rt△OFP中，OE=OFOP=OP∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．∴∠POE＝∠POF，∴OP平分∠AOB．故答案為：OE＝OF，OP＝OP，∠POE＝∠POF，【點評】不能太空艙作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。19．（10分）（2025?重慶）學(xué)校開展了航天知識競賽活動，從七、八年級學(xué)生中各隨機抽取20名學(xué)生的競賽成績（成績?yōu)榘俜种魄覟檎麛?shù)）進行整理、描述和分析（成績均不低于60分，用x表示，共分四組：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70），下面給出了部分信息：七年級20名學(xué)生競賽成績在B組中的數(shù)據(jù)是：83，84，84，84，85，87，88．八年級20名學(xué)生競賽成績是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99．七、八年級所抽取學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)8282中位數(shù)a83眾數(shù)84b根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝84，b＝86，m＝30；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有學(xué)生560人，八年級有學(xué)生500人，請估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)共是多少？【考點】用樣本估計總體；中位數(shù)；眾數(shù)．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；用“1”分別減去其它部分占比可得m的值；（2）根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的意義求解即可（答案不唯一，合理均可）；（3）總?cè)藬?shù)乘樣本中優(yōu)秀人數(shù)所占比例即可．【解答】解：（1）七年級C、D組的人數(shù)為：20×（10%+25%）＝7，把七年級20名學(xué)生競賽成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是84，84，故中位數(shù)a=84+84八年級20名學(xué)生的競賽成績的眾數(shù)b＝86，m%＝1﹣（10%+25%?720）＝30%，即故答案為：84，86，30；（2）七年級學(xué)生的航天知識競賽成績較好，理由如下：因為兩個年級的平均數(shù)相同，但七年級學(xué)生的中位數(shù)大于八年級，所以七年級學(xué)生的航天知識競賽成績較好；（3）560×30%+500×5答：估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)共是293人．【點評】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)以及用樣本估計總體，掌握基礎(chǔ)的統(tǒng)計知識是解本題的關(guān)鍵．20．（10分）（2025?重慶）先化簡，再求值：（x+1）（3x﹣1）﹣x（3x+1）+x2?xx2+2x+1÷（1【考點】整式的混合運算—化簡求值；分式的化簡求值；零指數(shù)冪．【分析】先根據(jù)整式和分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再利用絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的規(guī)定求出x的值，代入計算即可．【解答】解：原式＝3x2﹣x+3x﹣1﹣3x2﹣x+x(x?1)(x+1)＝x﹣1+＝x﹣1?x(x?1)(x+1＝x﹣1?=x=?1當x＝|﹣3|+（π﹣4）0＝3+1＝4時，原式=?1【點評】本題主要考查分式和整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式與分式的混合運算順序及相關(guān)法則．21．（10分）（2025?重慶）列方程解下列問題：某廠生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品．每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量比每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量多50個，3天時間生產(chǎn)的甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量比4天時間生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量多100個．（1）求該廠每天生產(chǎn)的甲、乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量分別是多少個？（2）由于市場需求量增加，該廠對生產(chǎn)流程進行了改進．改進后，每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量較改進前每天生產(chǎn)的數(shù)量增加同樣的數(shù)量，且每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量較改進前每天增加的數(shù)量是乙種文創(chuàng)產(chǎn)品每天增加數(shù)量的2倍．若生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品各1400個，乙比甲多用10天，求每天生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量．【考點】分式方程的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)該廠每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量是x個，則每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量是（x﹣50）個，根據(jù)3天時間生產(chǎn)的甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量比4天時間生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量多100個，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即該廠每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量），再將其代入（x﹣50）中，即可求出該廠每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量；（2）設(shè)每天生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是y個，則每天生產(chǎn)的甲種文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是2y個，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合“生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品各1400個，乙比甲多用10天”，可列出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該廠每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量是x個，則每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量是（x﹣50）個，根據(jù)題意得：3x﹣4（x﹣50）＝100，解得：x＝100，∴x﹣50＝100﹣50＝50（個）．答：該廠每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量是100個，每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量是50個；（2）設(shè)每天生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是y個，則每天生產(chǎn)的甲種文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是2y個，根據(jù)題意得：140050+y解得：y＝20，經(jīng)檢驗，y＝20是所列方程的解，且符合題意．答：每天生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是20個．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程．22．（10分）（2025?重慶）如圖，點O為矩形ABCD的對角線AC的中點，AB＝3，BC＝4．E，F(xiàn)是AC上的點（E，F(xiàn)均不與A，C重合），且AE＝CF，連接BE，DF．用x表示線段AE的長度，點E與點F的距離為y1．矩形ABCD的面積為S，△ABE的面積為S1，△CDF的面積為S2，y2=S（1）請直接寫出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出函數(shù)y1，y2的圖象，并分別寫出函數(shù)y1，y2的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出y1＜y2時x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過0.2）．【考點】函數(shù)的圖象；函數(shù)關(guān)系式；函數(shù)自變量的取值范圍．【分析】（1）利用矩形性質(zhì)和勾股定理得出AC=AB2+BC2=5，AO＝CO＝5，分兩部分：①當0＜x≤52時；②當52＜x＜5時，分別列出y1過點B作BM⊥AC于點M，利用等面積法求出BM=AB?BCAC=125（2）根據(jù)函數(shù)解析式畫圖即可，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出性質(zhì)；（3）根據(jù)圖象寫出y1的圖象在y2下方時對應(yīng)的自變量x的取值范圍即可．【解答】解：（1）∵O為矩形ABCD的對角線AC的中點，AB＝3，BC＝4，∴∠ABC＝90°，AC=A∴AO＝CO＝2.5，當0＜x≤52時，AE＝CF＝∴y1＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣x﹣x＝5﹣2x，當52＜x＜5時，AE＝CF∴y1＝EF＝AE+CF﹣AC＝x+x﹣5＝2x﹣5，∴y1如圖，過點B作BM⊥AC于點M，∵S△ABC∴BM=AB?BC∴△ABE的面積為S1同理可得△CDF的面積為S2又∵矩形ABCD的面積為S＝3×4＝12，∴y2∴y2（2）作圖如下：性質(zhì)：當0＜x≤52時，y1隨當52＜x＜5時，y1隨當0＜x＜5時，y2隨x的增大而減?。唬?）結(jié)合函數(shù)圖象，可得y1＜y2時x的取值范圍為0＜x＜3.3（或0＜x＜3.1＜或0＜x＜3.2或0＜x＜3.4或0＜x＜3.5）．【點評】本題考查函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)與不等式，勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并能正確分段列出動點問題的相關(guān)線段是解題的關(guān)鍵．23．（10分）（2025?重慶）為加強森林防火，某林場采用人工瞭望與無人機巡視兩種方式監(jiān)測森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．A是瞭望臺，某一時刻，觀測到甲無人機位于A的正東方向10千米的B處，乙無人機位于A的南偏西30°方向20千米的D處．兩無人機同時飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，5≈（1）求BD的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）甲、乙兩無人機同時分別從B，D出發(fā)沿BC，DC往C處進行巡視，乙無人機速度為甲無人機速度的2倍．當兩無人機相距20千米時，它們可以開始相互接收到信號．請問甲無人機飛離B處多少千米時，兩無人機可以開始相互接收到信號（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題；勾股定理的應(yīng)用．【分析】（1）過點A作AE⊥CD于E，過點B作BF⊥CD于F，由題意得，∠DAE＝30°，解Rt△ADE得到AE=103千米，DE＝10千米，證明四邊形AEFB是矩形，得到EF＝AB＝10千米，BF=AE=103千米，得到DF＝DE+EF＝20千米，再利用勾股定理即可求出（2）當甲無人機運動到M，乙無人機運動到M時，此時滿足MN＝20千米，過點M作MT⊥CD于T，由題意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，解Rt△FBC得到BC＝20千米，CF＝10千米，則CD＝DF+CF＝30千米，設(shè)BM＝x千米，則DN＝2x千米，CM＝（20﹣x）千米，解Rt△CMT得到CT＝（10﹣2x）千米，MT=(103?32x)【解答】解：（1）如圖所示，過點A作AE⊥CD于E，過點B作BF⊥CD于F，∴∠AED＝∠BFC＝90°，由題意得，∠DAE＝30°，在Rt△ADE中，AE=AD?cos∠DAE=20?cos30°=103DE＝AD?sin∠DAE＝20?sin30°＝10（千米），∵無人機位于A的正東方向10千米的B處，D位于C的正西方向上，∴AB∥CD，∴AE⊥AB，BF⊥AB，∴四邊形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10千米，BF=AE=103∴DF＝DE+EF＝20千米，∴BD=D答：BD的長度約為26.5千米；（2）如圖所示，當甲無人機運動到M，乙無人機運動到N時，此時滿足MN＝20千米，過點M作MT⊥CD于T，由題意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，在Rt△FBC中，BC=BFCF=BF∴CD＝DF+CF＝30千米，設(shè)BM＝x千米，則DN＝2x千米，CM＝（20﹣x）千米，在Rt△CMT中，CT=CM?cos∠MCT=(20?x)?cos60°=(10?1MT＝CM?sin∠MCT＝（20﹣x）?sin60°＝（103?∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10?12x）＝（20?在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2，∴20∴x=15?55或x=15+55（此時大于∴BM=15?55答：甲無人機飛離B處3.8千米時，兩無人機可以開始相互接收到信號．【點評】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．24．（10分）（2025?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B（6，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線x=5（1）求拋物線的表達式；（2）點P是射線BC下方拋物線上的一動點，連接OP與射線BC交于點Q，點D，E為拋物線對稱軸上的動點（點E在點D的下方），且DE＝4，連接BD，PE．當PQOQ取得最大值時，求點P的坐標及BD+PE（3）在（2）中PQOQ取得最大值的條件下，將拋物線y＝x2+bx+c沿射線BC方向平移22個單位長度得到拋物線y′，點M為點P的對應(yīng)點，點N為拋物線y′上的一動點．若∠NAB＝∠OPM﹣45°，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；（2）先求出直線BC的解析式，然后設(shè)點P的坐標為（x，x2﹣5x﹣6），過點P作PF∥y軸交BC于點F，交x軸于點H，點F的坐標為（x，x﹣6），求出PF長，再證明△QPF∽△QOC，根據(jù)對應(yīng)邊成比例求出PQOQ的最大值，把點P向上平移4個單位長度得到點Q，點Q的坐標為（3，﹣8），連接GD，即可得到BD+PE＝BD+DG，連接AG，則AG（3）根據(jù)平移得到拋物線y′的解析式，然后過點P作PQ⊥y軸于點Q，過點N作NK⊥x軸于點K，連接PM，即可得到∠NAB＝∠OPM﹣45°＝∠OPQ＝∠POB，設(shè)點N的坐標為（a，a2﹣a﹣14），根據(jù)tan∠NAB＝tan∠OPQ，列等式求出a的值即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=(x?5把（6，0）代入得494解得k=?49∴y=(x?5（2）令x＝0，則y＝﹣6，∴點C的坐標為（0，﹣6），設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，把（6，0）和（0，﹣6）代入得6m+n=0n=6解得m=1n=?6∴y＝x﹣6，設(shè)點P的坐標為（x，x2﹣5x﹣6），過點P作PH∥y軸交BC于點F，交x軸于點H，如圖，則點F的坐標為（x，x﹣6），∴PF＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x，∵PF∥y軸，∴∠PFQ＝∠OCQ，∠FPQ＝∠COQ，∴△QPF∽△QOC，∴QPQO∴當x＝3時，QPQO取得最大值為32，這時點把點P向上平移4個單位長度得到點G，點G的坐標為（3，﹣8），連接GD，則四邊形DEPG是平行四邊形，∴DG＝PE，即BD+PE＝BD+DG，由A，B關(guān)于x=52對稱性可得點連接AG，則BD+PE＝BD+DG的最小值為AG長，即AG=A即BD+PE的最小值為45（3）∵AB＝AC＝6，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵將拋物線y＝x2+bx+c沿射線BC方向平移22個單位長度，即為向左平移兩個單位長度，向下平移兩個單位長度得到拋物線y即y′=(x?5過點P作PQ⊥y軸于點Q，過點N作NK⊥x軸于點K，連接PM，設(shè)點N的坐標為（a，a2﹣a﹣14），由平移得∠QPM＝45°，∴∠NAB＝∠OPM﹣45°＝∠OPQ+∠QPM﹣45°＝∠OPQ＝∠POB，如圖1，∵tan∠NAB＝tan∠OPQ，即123解得a＝﹣5（舍去）或a＝2，∴點N的坐標為（2，﹣12）；如圖2，∵tan∠NAB＝tan∠OPQ，即123解得a=5+972∴點N的坐標為(5+綜上所述，點N的坐標為（2，﹣12）或(5+【點評】本題是二次函數(shù)的綜合，主要考查待定系數(shù)法，二次函數(shù)的線段問題，軸對稱的最短路徑問題，二次函數(shù)的平移，解直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．25．（10分）（2025?重慶）在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上一點（不與端點重合），連接AD．將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接DE．（1）如圖1，α＝∠BAC＝60°，∠CAE＝20°，求∠ADB的度數(shù)；（2）如圖2，α＝∠BAC＝90°，BD＜CD，過點D作DG⊥BC，DG交CA的延長線于G，連接BG．點F是DE的中點，點H是BG的中點，連接FH，CF．用等式表示線段FH與CF的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖3，∠BAC＝120°，α＝60°，AB＝8，連接BE，CE．點D從點B移動到點C過程中，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得線段BM，連接EM，作MN⊥CA交CA的延長線于點N．當CE取最小值時，在直線AB上取一點P，連接PE，將△APE沿PE所在直線翻折到△ABC所在的平面內(nèi)，得△QPE，連接BQ，MQ，NQ，當BQ取最大值時，請直接寫出△MNQ的面積．【考點】幾何變換綜合題．【分析】（1）利用AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，得出△ABC是等邊三角形，得出∠ABC＝∠ACB＝60°，由旋轉(zhuǎn)得∠DAE＝60°，則可求出∠DAC，再利用外角即可求解；（2）連接CE，DH，利用α＝∠BAC＝90