共面波導電極數學基礎及結構的研究目錄TOC\o"1-3"\h\u14943共面波導電極數學基礎及結構的研究 1149211.1保角變換相關理論 159931.2共面波導結構 415081.3計算方法 61.1保角變換相關理論1.1.1共面波導結構與保角變換常規(guī)形狀的共面波導如圖2-1所示。圖2-1金屬基底共面波導的幾何模型Fig2-1Geometricmodelofcoplanarwaveguideonmetalsubstrate其中心導帶寬度為LabVIEW，中心導帶兩側狹縫寬度s，金制導體的厚度為t，電光晶體基底厚度為h，整個共面波導的長度為L。W.Heinrich曾提出共面波導等效電路[33]的基本模型如圖2-2所示。圖2-2CPW等效電路Fig2-2CPWequivalentcircuitR，L，C，G四個元素分別取決于以下規(guī)律：R，L取決于共面波導的尺寸，頻率，導體的傳導性和頻帶；C取決于共面波導的尺寸和基底介電常數；G取決于共面波導的尺寸，基底的有效介電常數和基底損耗角的正切值；共面波導的傳播常數γp和特征阻抗ZC可以通過上述R，L，C和G的值計算。 式（2-1） 式（2-2）通過共面波導各結構參數全波分析結果求得的特征阻抗，還可進一步用于求解散射參數（Scatterparameters，簡稱S參數）。當輸入口的特征阻抗等于50Ω時，反射系數Г和傳輸系數T可以通過以下計算得到 式（2-3） 式（2-4）進而可以得到S參數 式（2-5） 式（2-6）上述計算過程中，等效串聯電阻R，串聯電感L，分流電導G可以從相應的全波結果中提取，而并聯電容C的等效分布電容不易得到，需將共面波導復雜的金制電極轉換為平行板電容進行求解。由于共面波導加工尺寸在微米級，近似運算將影響結果的準確性。第一類基本保角變換適于求解變換關系，分析不規(guī)則邊界的圖形與易于求解的形狀之間的變換關系。故可使用這種辦法簡易、多樣地計算不同結構共面波導傳輸參量的閉合解析解。在共面波導的相關問題研究中，由于其截面形狀復雜，沒有相關經驗方法指導，主要使用Schwarz-Christoffel公式和方程的近似求解辦法，實現各個區(qū)域之間的轉換，然后利用第一類完全橢圓積分進行積分，求解其有效介電常數以及特征阻抗。1.1.2許瓦茲-克里斯托弗Schwarz-Christoffel變換常見的保角變換有指數函數變換、冪函數變換、儒柯夫斯基變換等，但這些變換通常沒有清晰明確的適用范圍，實際中需要人為得通過經驗決定采取何種變換，以求解相關問題[34]。涉及到復雜形狀截面的求解問題僅僅依靠經驗是很困難的，變換過程復雜，多次嘗試費時費力且不一定可得正確解。通常，可以采取Schwarz-Christoffel變換，將位于某復平面、已知邊界的nQUOTEn邊多邊形確定的區(qū)域，轉換成為另一復平面上形狀規(guī)則的、易于求解的上半平面場域。此種方法是提供了一個微分方程，由該微分方程，可以得到一個解析函數，來實現上述得變換。設有一映射，將復平面上Z上n邊多邊形的各個頂點，分別映射到一個多邊形wQUOTEw的內部，使ZQUOTEz平面上任意點z1,z2,z3…，QUOTEz1，z2，…zn對應w平面多邊形的各頂點w1,w2,w3…逆時針排列）；設各個頂點分別對應的角為QUOTEα1πα1Π，α2Π…αnΠQUOTEα2πQUOTEαnπ。取其中一個在有限遠處的頂點QUOTEwiwi，由平面幾何的相關原理可知0<αr<2；另外再取無限遠處的頂點wi，可知-2<αr>0。為滿足約束條件，即轉動總角度之和為2Π，需要滿足 式（2-7）解析函數將Z平面的上半平面區(qū)域ImZ>0單葉保形變換到n角Π，則有S-C變換公式如下①（即）時 式（2-8）②（即）時 式（2-9）對于非特殊形狀的多邊形，采用近似的方法通過求解Z平面上各點及方程中的常數c、。首先選定Z平面三個點Z1,Z2,Z3QUOTEz1，z2，z3，得到對應w平面的w1,w2,w3，接著求解剩下n-3個zk和常數c當時 式（2-10）線段wnw1與正實軸的夾角已知；取，；而，也已知。所以剩下的n-3個實參數z4,z5,…zn，QUOTEz4，z5，…zn用下面的映射求解 式（2-11）1.1.3橢圓積分橢圓函數是計算橢圓弧長時，首先會遇到的函數，故以此命名。橢圓積分與橢圓函數是相對應的一組反函數。橢圓積分有“第一類”、“第二類”、“第三類”三種，每種又有“完全”與“不完全”兩類的分別，在表達式方面，有一般勒讓德爾（Legendre）形式和引入變量（令）的雅可比（Jacobi）形式兩種。雅可比橢圓函數常用于工程類的計算。在共面波導相關問題的求解中，多用第一類完全橢圓積分。 式（2-12）可以看出，由式（2-12）可以得到，z與K的取值無關，無論z如何取值，K都是實數。其中k為常數，被稱為積分的模，被稱為補模。與k的關系為 式（2-13）相應的雅可比形式為 式（2-14）當，。將模為的第一類完全橢圓積分表示為，可得 式（2-15）K與通過它們的模，呈現相關關系。因此K與可以采取數值積分和集數展開的方式求解。1.2共面波導結構1.2.1常規(guī)共面波導結構常規(guī)共面波導一般由電光晶體介質構成的基底和附在基底表面的金屬電極兩部分構成。金屬電極部分有中央信號線及其兩端的接地板，這幾部分由槽線狹縫分隔。信號線（即中心導帶）的寬度、槽線寬度、電光晶體基底厚度、所采用的電光晶體介電常數等，共同決定此共面波導的有效介電常數，也即決定其特征阻抗及S參數。常規(guī)共面波導的橫截面如圖2-3所示，w為中心導帶寬度，s為左右兩側狹縫寬度；t和h分別表示金屬導體和基底的厚度；ξ0為電光晶體的電光系數[34]。設計時采用導電性能最優(yōu)的金作為電極材料。實際應用中，接地板寬度有限，基底的厚度有限。共面波導的特性研究中，主要關注兩個參數，一是介電常數，二是特性阻抗，對這兩個參數進行分析主要采用第二章中的保角變換及橢圓積分。1.2.2電光晶體的選擇電光晶體的Pockels效應的響應時間可以達到10-15s量級。電光晶體的電光系數和系統電壓可以共同決定輸出面光的相位差，大多晶體都存在電光效應，但當電光系數較小時，需要幾千伏的半波電壓才可保證不同方向的偏振光均具有足夠的相位差。因為一般進行轉換的電信號只有幾伏，所以需選擇電光系數較好的電光晶體，同時減小電光晶體的厚度。大幅減小晶體厚度，會導致光在其中傳播時波導效應十分明顯，且晶體基底厚度將影響共面波導的特征參數，所以選擇適當的電光晶體也是共面波導設計過程中重要的部分。常用的電光晶體，如LiNbO3和LiTaO3的折射率較高。同時，有機材料中，電子運動速率可達飛秒級，其響應頻率更高。鉭酸鋰具有較大電光系數，調制過程中所需的半波電壓可隨之降低；較小的介電常數意味著其吸收的采樣光的比例也因此減小[35]。對溫度變化不敏感,但其介電常數大，對被測電場的影響大。另外，鉭酸鋰化學性質穩(wěn)定，可加工性能強，因此鉭酸鋰調制器工藝成熟、易于生產，適用范圍更廣。選好電光晶體介質材料是對共面波導研究的第一步。1.2.3共面波導特征參數1、特征阻抗高頻域內，由于信號傳輸過程中，信號線和參考平面之間存在電場，所以傳輸線可以等效為一個電阻，這個電阻值是該傳輸線的特征阻抗。作為高速電光調制器的傳輸線，共面波導具有特征阻抗，其特征阻抗值由結構參數確定，可通過數學計算方法得到具體數值。長期實踐的經驗表明，射頻傳輸線的阻抗標準應設定為50Ω[36]。將標準統一設置為50Ω，能夠使得阻抗匹配，反射最小、耦合最大。共面波導信號線的特性阻抗應當與電路的輸入阻抗相一致時，信號損失最小，否則通過阻抗突變處時信號會被反射回一部分。為使輸入端可以得到的信號功率最大，使特征阻抗達到與射頻傳輸線阻抗相近成為了共面波導的設計要求之一。當共面波導特征阻抗達到50Ω時，同軸線可以兼顧耐壓、功率容量、衰減的要求。將共面波導等效成如圖2-2所示的電路圖，可得其特性阻抗相當于傳輸線的電壓和電流之比，也即電感與電容之的平方根。不同共面波導的等效電路也不同，其R，L，C，G四個元素均與共面波導的結構有關。故一般根據系統對特征阻抗的要求來設計共面波導的結構。2、S參數S參數是微波傳輸中重要的參數之一，在頻域范圍內對傳輸特性進行表示，可以描述信號和傳輸通道的很多信息，表征信號的完整性。實際上，S參數表示的是電壓波，可由此用入射、反射的電壓表示輸入輸出關系。信號入射后，通過測量導體對其的“散射”，反映不同物理性質的傳輸材料對同一信號的散射程度，測量的內容包括上述入射反射電壓和傳輸電壓等等。因此，S參數可以描述傳輸介質的電氣特性。由第2.1.1節(jié)可知，S參數可由共面波導的傳播常數和特征阻抗進行求解。而傳輸系統的大部分特征參數都可根據S計算得出，故S參數是研究系統傳輸特性的重要工具之一。1.3計算方法常規(guī)金屬基底的共面波導幾何形狀如圖2-1所示，其在z平面中多邊形的內部區(qū)域，如圖2-3所示，基件上方空氣介電常數為，基件相對介電常數為QUOTEξr，整體介電常數為；中心導帶寬度為w，基件厚度為h，假設s1和s2是磁壁，分析過程中采用對稱的共面波導結構，令s1=s2。圖2-3共面波導在QUOTEzZ平面中多邊形的內部區(qū)域示意Fig2-3SchematicdiagramoftheinnerZregionofcoplanarwaveguidepolygoninplane將該區(qū)域經由指數變換 式（2-16）轉換成t的下半平面，如圖2-4所示。圖2-4共面波導在t的下半平面示意Fig2-4Schematicdiagramofcoplanarwaveguideinthelowerhalfplaneoft通過保角變換中的Schwartz-Christofell變換 式（2-17）將t的下半平面平面換為W平面的矩形域，如圖2-5所示。圖2-5共面波導在W平面的矩形域示意Fig2-5Rectangulardomainofco