直線電機二級倒立擺建模分析案例1.1引言在對倒立擺控制傳動系統(tǒng)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)設(shè)計時,首先我們需要考慮確定一個基于倒立擺控制系統(tǒng)的一個基本的數(shù)學(xué)模型?？刂葡到y(tǒng)的一種重要數(shù)學(xué)基本模型是它可以廣泛用來用于描述一個控制系統(tǒng)內(nèi)部的各種物理或者數(shù)學(xué)變量之間的相互作用的一個方式,只有通過建模這種方法才能對復(fù)雜的系統(tǒng)進(jìn)行有說服力的分析研究。所以,在解決控制系統(tǒng)類的問題時,創(chuàng)建符合要求的數(shù)學(xué)模型是必不可少的。常見的建模技術(shù)往往包括分析和實證兩種。分析方法主要是對體系的運動規(guī)律進(jìn)行了分析,根據(jù)相關(guān)物理原則,列舉了運動方程。實驗方法又稱系統(tǒng)辨識,先要人為地給原來的系統(tǒng)添加一個測試信號,然后詳細(xì)記錄它們的輸入和響應(yīng),最后使用建立好的數(shù)學(xué)模型盡可能的去和原來的系統(tǒng)相靠近。由于理想的約束反向力并沒有直接地出現(xiàn)在方程組中,所以當(dāng)我們在建立一個系統(tǒng)的運動方程時,不僅僅是需要對未知約束反向力進(jìn)行分析,還對已知約束反向力進(jìn)行分析。為建立一個系統(tǒng)的模型,必須從兩個基本的方面對其進(jìn)行分析,一方面指的是系統(tǒng)在空氣中運動時所產(chǎn)生的各種動力學(xué)和機械能量(即系統(tǒng)的動能),另一方面指的就是系統(tǒng)在空氣中的主要動力和機械能量。所以采用基于MATLAB仿真的拉格朗日建模法就可以在很大程度上簡化整個系統(tǒng)建模過程。1.2直線電機倒立二級倒立擺的系統(tǒng)建模建模時，需要做一些必要的假設(shè)，營造一個理想的物理模型，方便計算，如下：（1）忽略空氣阻力。（2）直線電機與導(dǎo)軌之間的無摩擦。（3）對于帶動擺桿的最大鉸接件和軸承的最大摩擦力矩也可以忽略不計。（4）擺桿質(zhì)量均勻分布。圖3-1直線二級倒立擺物理模型圖各變量定義如表3-1所示。表3-1各變量定義表本次設(shè)計需要利用必要的拉格朗日方程即可創(chuàng)造出一個倒立擺系統(tǒng)的模型,其拉格朗日方程式定義為:(3-1)其中表示拉格朗日的算子，表示系統(tǒng)的動能，表示系統(tǒng)的勢能，表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。Lagrange方程由拉格朗日算子和廣義坐標(biāo)表示為：(3-2)其中：為一個系統(tǒng)沿該廣義方向的坐標(biāo)，是一個系統(tǒng)沿著這一廣義方向運動的一種廣義能量，為該系統(tǒng)的一種耗散能。對于二級倒立擺系統(tǒng)，廣義的坐標(biāo)是位移和擺動桿角度；為外界作用在系統(tǒng)上的所有廣義力的集合，當(dāng)當(dāng)時，。為底座和各級倒立擺的總機械動能，為底座和各級倒立擺的總勢能，為底座和各級倒立擺的總耗散能，忽略了各種機械摩擦，所以能量等于零。故這里特別適合那些用于二級曲線擺建模的使用拉格朗日方法的程式及其定義參數(shù)為(3-3)首先計算系統(tǒng)的動能：上式中代表倒立擺的底座的動能，代表倒立擺的上擺桿的動能，代表下擺桿的動能，代表連接塊的動能。而,其中，代表擺桿1質(zhì)心平均動能代表擺桿2繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能,其中，代表擺桿1質(zhì)心平均動能代表擺桿2繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能則Tm1=T’m1+T’’m1=同樣可以求出T’m2==T’’m2=因此，可以得到系統(tǒng)總動能為：系統(tǒng)的勢能為：從而拉格朗日算子：因為廣義的坐標(biāo)上都沒有外力作用在上面，所以下面的式子成立：（3-4）（3-5）展開式（3-4）、（3-5）分別得到式（3-6）、（3-7）：（3-6）（3-7）在MATLAB中，將式（3-6）（3-7）對求解代數(shù)方程。得到以下兩式：（3-8）（3-9）表示成以下形式：（3-10）（3-11）取平衡位置時各變量的初值為零令代入式（3-7），得到線性化之后的公式：（3-12）將式（3-10）放到平衡的位置后再進(jìn)行泰勒級數(shù)的展開,并且可以線性化,令代入式（2-8），得到線性化之后的公式：

（3-13）現(xiàn)在我們得到了兩個非線性的微分方程,由于這個方程是采用以驅(qū)動電機的輸出力為主要控制的輸入,而且這個輸出力和電動機的加速度之間形成了比例的關(guān)系,因此還必須再加上一個微分方程:（3-14）取狀態(tài)變量如下：由式（3-11）、（3-12）、（3-13）得到狀態(tài)空間方程如下：（3-15）倒立擺實際的物理參數(shù)為：M=1.35小車質(zhì)量m1=0.037下擺桿質(zhì)量m2=0.073上擺桿質(zhì)量m3=0.2連接塊質(zhì)量L1=0.098下擺桿質(zhì)心到另外一端的距離L2=0.178上擺桿質(zhì)心到另外一端的距離代入實際值可得：（3-16）（3-17）從而得到狀態(tài)方程各個參數(shù)矩陣：1.4小結(jié)本章主要內(nèi)容是通過