浙江平陽中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，，則a7=（）A.13 B.14C.15 D.162．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.3．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.4．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.455．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.6．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為（）A. B.C. D.7．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能確定8．設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則（）A. B.C. D.9．已知直線與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線：上，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.411．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A. B.C. D.12．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是雙曲線在第二象限的部分上一點(diǎn)，且，點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，且，Q關(guān)于直線PA對(duì)稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線，的左、右焦點(diǎn)分別為、，且的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，直線與交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，，則下列結(jié)論正確的是____________①；②的離心率為；③若，則的面積為2；④若的面積為，則為鈍角三角形14．已知點(diǎn)，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為________15．已知拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，且該拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線：的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為__________.16．若直線與直線平行，則直線與之間的距離為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）著名的“康托爾三分集”是由德國數(shù)學(xué)家康托爾構(gòu)造的，是人類理性思維的產(chǎn)物，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構(gòu)成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長度總和為，若使不大于原來的，求n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）18．（12分）兩個(gè)頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，邊、所在直線的斜率之積等于，頂點(diǎn)的軌跡記為.（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若過點(diǎn)作直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，求直線的方程；（3）已知點(diǎn)為軌跡的下頂點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)在軌跡上，求的最大值.19．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，的面積為，求.20．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）在三棱柱中，側(cè)面正方形的中心為點(diǎn)平面，且，點(diǎn)滿足（1）若平面，求的值；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若平面與平面所成角的正弦值為，求的值22．（10分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得：，則.故選：A2、A【解析】利用對(duì)立事件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對(duì)立事件的概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.3、A【解析】求得外接球的半徑，進(jìn)而計(jì)算出外接球體積.【詳解】設(shè)，正八面體的棱長為，根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A4、B【解析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以，則.故選：B.5、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，要保證導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.6、D【解析】由向量線性運(yùn)算得，利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.7、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則.所以.故選C.點(diǎn)睛：集合的交集即為由兩個(gè)集合的公共元素組成的集合，集合的并集即由兩集合的所有元素組成.8、B【解析】當(dāng)可求得；當(dāng)時(shí)，可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，由求得后，利用可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，由得：，即，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，，故選：B.9、A【解析】將直線代入橢圓方程整理得關(guān)于的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由條件得到，再由，，的關(guān)系和離心率公式，即可求出離心率.【詳解】解：將直線代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，由于線段的中點(diǎn)在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A10、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.11、C【解析】，故，即，故漸近線方程為.【考點(diǎn)】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.12、C【解析】由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解析】由已知可得，可求，，從而判斷①②，求出△的面積可判斷③，設(shè)，，利用面積求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求邊長，求出可判斷④【詳解】解：設(shè)，，，，可得，，兩式相減可得，由題意可得，且，，，，，，故②正確；的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，設(shè)到漸近線的距離為，則，即，，故①錯(cuò)誤，，若，不妨設(shè)在右支上，，又，，則的面積為，故③不正確；設(shè)，，，，將代入雙曲線，得，，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨取點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，為鈍角，為鈍角三角形．故④正確故答案為：②④14、【解析】求得的垂直平分線的方程，在求得垂直平分線的交點(diǎn)，則問題得解.【詳解】線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.由.所以外接圓的圓心坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求解，直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.15、3【解析】由題意求得拋物線的準(zhǔn)線方程為，進(jìn)而得到準(zhǔn)線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結(jié)合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，根據(jù)拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C離心率.故答案為：3.16、【解析】由直線平行求參數(shù)m，再利用平行直線的距離公式求與之間的距離.【詳解】由題設(shè)，，即，所以，，所以直線與之間的距離為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和，求得其通項(xiàng)公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，結(jié)合題意，得到，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后的“康托爾三分集”為；【小問2詳解】解：將定義的區(qū)間長度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長后組成的數(shù)為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第2次操作去掉兩個(gè)區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第3次操作去掉四個(gè)區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第4次操作去掉個(gè)區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第次操作去掉個(gè)區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，所以第次操作后剩余的各區(qū)間長度和為；【小問3詳解】解：設(shè)定義區(qū)間，則區(qū)間長度為1，由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，要使得“康托三分集”的各區(qū)間的長度之和不大于，則滿足，即，即，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最小值為.18、（1）（2）（3）【解析】（1）先表示出邊、所在直線的斜率，然后根據(jù)兩條直線的斜率關(guān)系建立方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出直線的斜率；（3）先表示出，然后利用橢圓的性質(zhì)，進(jìn)而確定的最大值.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，則由可得：化簡得：故頂點(diǎn)的軌跡的方程：【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組消去可得：設(shè)直線與軌跡的交點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為由韋達(dá)定理得：點(diǎn)為、兩點(diǎn)的中點(diǎn)，可得：，即則有：解得：故求直線的方程為：【小問3詳解】由（1）可知，設(shè)則有：又點(diǎn)滿足，即由橢圓的性質(zhì)得：所以當(dāng)時(shí)，19、（1）；（2）.【解析】(1)由正弦定理得到，兩邊消去公因式得到，化一即可求得角A；（2）因?yàn)?，所以，再結(jié)合余弦定理得到結(jié)果.【詳解】（1）由,得,因?yàn)?，所以，整理得：，因，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)榧?，所以，?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.20、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)公式得到，得到，再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，得到；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得到，整理得到，即，故，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，驗(yàn)證時(shí)滿足條件，故.【小問2詳解】，故，，，兩式相減得到：，整理得到：，故.21、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)連接ME，證明即可計(jì)算作答.(2)以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算點(diǎn)到平面的距離即可.(3)由(2)中空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求平面與平面所成角的余弦即可計(jì)算作答.【小問1詳解】在三棱柱中，因，即點(diǎn)在上，連接ME，如圖，因平面面，面面，則有，而為中點(diǎn)，于是得為的中點(diǎn)，所以.【小問2詳解】在三棱柱中，面面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，又為正方形，即，而平面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，依題意，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，又，則到平面的距離，所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問