軍?？荚囅蛄考捌鋺?yīng)用題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,x)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(1\)D.\(-1\)2.向量\(\vec{a}=(3,4)\)的模\(\vert\vec{a}\vert\)為（）A.\(5\)B.\(7\)C.\(1\)D.\(25\)3.若\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec=(1,-1)\)，則\(\vec{a}-\vec\)等于（）A.\((0,2)\)B.\((2,0)\)C.\((0,-2)\)D.\((-2,0)\)4.已知向量\(\vec{a}=(2,m)\)，\(\vec=(-1,2)\)，且\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(m\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(4\)D.\(-4\)5.向量\(\vec{a}=(1,0)\)與向量\(\vec=(0,1)\)的夾角為（）A.\(0^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(90^{\circ}\)D.\(180^{\circ}\)6.若\(\vec{a}=(x,3)\)，\(\vec=(-2,4)\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線，則\(x\)的值為（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(-\frac{3}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(-\frac{2}{3}\)7.已知向量\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\vec=(-3,2)\)，則\(2\vec{a}+\vec\)等于（）A.\((1,0)\)B.\((1,-2)\)C.\((-1,0)\)D.\((-1,-2)\)8.向量\(\vec{a}=(m,1)\)，\(\vec=(1,-2)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(m\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(-2\)9.已知\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vert\vec\vert=4\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為\(60^{\circ}\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)的值為（）A.\(6\)B.\(12\)C.\(-6\)D.\(-12\)10.若向量\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec=(x,1)\)，\(\vec{c}=(4,-2)\)，且\(\vec\parallel\vec{c}\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(4\)D.\(-4\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于向量的說法正確的是（）A.零向量與任意向量平行B.向量的模一定是非負(fù)的C.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，\(\vec\parallel\vec{c}\)，則\(\vec{a}\parallel\vec{c}\)D.相等向量的模相等2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,3)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec=(0,5)\)B.\(\vec{a}-\vec=(2,-1)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec=5\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{5}\)3.若向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則以下哪些是\(\vec{a}\parallel\vec\)的條件（）A.\(x_1y_2-x_2y_1=0\)B.存在實(shí)數(shù)\(\lambda\)，使得\(\vec{a}=\lambda\vec\)C.\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}\)（\(x_2\neq0\)，\(y_2\neq0\)）D.\(\vec{a}\cdot\vec=0\)4.向量的運(yùn)算律包括（）A.加法交換律\(\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}\)B.加法結(jié)合律\((\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})\)C.數(shù)乘分配律\(\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec\)D.數(shù)量積交換律\(\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}\)5.已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)，則\(\vert\vec{a}+\vec\vert\)的計(jì)算方法有（）A.\(\vert\vec{a}+\vec\vert^2=(\vec{a}+\vec)^2=\vec{a}^2+2\vec{a}\cdot\vec+\vec^2\)B.若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}\)C.\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\vert\vec{a}\vert+\vert\vec\vert\)D.\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\vert\vec{a}\vert-\vert\vec\vert\)6.下列向量中，與向量\(\vec{a}=(1,-1)\)垂直的向量有（）A.\((1,1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,-1)\)D.\((-1,-1)\)7.若\(\vec{a}\)，\(\vec\)是兩個(gè)非零向量，\(\theta\)為它們的夾角，則以下說法正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos\theta\)B.當(dāng)\(\theta=90^{\circ}\)時(shí)，\(\vec{a}\cdot\vec=0\)C.\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert}\)D.\(\vert\vec{a}\cdot\vec\vert\leqslant\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\)8.已知向量\(\vec{a}=(3,-4)\)，將其單位化后的向量為（）A.\((\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)B.\((-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)C.\((\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)D.\((-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)9.以下能表示向量的有（）A.有向線段B.坐標(biāo)形式C.用字母表示（如\(\vec{a}\)，\(\vec\)等）D.數(shù)字形式10.對(duì)于向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)，下列運(yùn)算正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot(\vec+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec+\vec{a}\cdot\vec{c}\)B.\((\vec{a}\cdot\vec)\vec{c}=\vec{a}(\vec\cdot\vec{c})\)C.\(\vec{a}^2=\vert\vec{a}\vert^2\)D.\(\vec{a}\cdot\vec\)是一個(gè)實(shí)數(shù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec=(2,4)\)是相等向量。（）2.零向量的方向是任意的。（）3.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)。（）4.向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。（）5.若\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert\)，則\(\vec{a}=\vec\)。（）6.向量\(\vec{a}\)與\(-\vec{a}\)的模相等。（）7.兩個(gè)向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)向量。（）8.若\(\vec{a}\)，\(\vec\)是兩個(gè)非零向量，且\(\vec{a}\parallel\vec\)，則它們的夾角為\(0^{\circ}\)。（）9.向量\(\vec{a}=(x,y)\)的模\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)。（）10.對(duì)于向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)，若\(\vec{a}\cdot\vec\lt0\)，則它們的夾角為鈍角。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec=(-1,4)\)，求\(\vec{a}+\vec\)和\(\vec{a}\cdot\vec\)。答案：\(\vec{a}+\vec=(2-1,3+4)=(1,7)\)；\(\vec{a}\cdot\vec=2\times(-1)+3\times4=-2+12=10\)。2.簡述向量平行和垂直的坐標(biāo)表示。答案：若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，平行：\(x_1y_2-x_2y_1=0\)；垂直：\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。3.已知向量\(\vec{a}\)的模\(\vert\vec{a}\vert=5\)，向量\(\vec\)的模\(\vert\vec\vert=3\)，它們的夾角為\(120^{\circ}\)，求\(\vec{a}\cdot\vec\)。答案：根據(jù)\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos\theta\)，這里\(\vert\vec{a}\vert=5\)，\(\vert\vec\vert=3\)，\(\theta=120^{\circ}\)，\(\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec=5\times3\times(-\frac{1}{2})=-\frac{15}{2}\)。4.如何將非零向量\(\vec{a}=(x,y)\)單位化？答案：先求\(\vec{a}\)的模\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)，單位化后的向量為\(\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實(shí)際問題中，向量的加法和減法有哪些應(yīng)用場景？舉例說明。答案：加法如在力的合成中，多個(gè)力作用于一點(diǎn)，合力就是這些力的向量和；減法可用于求相對(duì)位置，如飛機(jī)從A地到B地，求相對(duì)于起始點(diǎn)的位移變化，用終點(diǎn)位置向量減去起點(diǎn)位置向量。2.向量的數(shù)量積在物理學(xué)中有哪些重要應(yīng)用？答案：在物理學(xué)中，功的計(jì)算是力與位移的數(shù)量積。力是向量，位移也是向量，功\(W=\vec{F}\cdot\vec{s}=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{s}\vert\cos\theta\)，\(\theta\)是力與位移的夾角，此外在計(jì)算力矩等方面也有應(yīng)用。3.探討向量的坐標(biāo)表示對(duì)向量運(yùn)算的簡化作用。答案：向量坐標(biāo)表示將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算。如加法、減法對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加、減，數(shù)量積是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和。無需復(fù)雜的幾何作圖和角度計(jì)算，讓向量運(yùn)算更簡便、準(zhǔn)確，降低了運(yùn)算難度。4.當(dāng)向量的夾角為銳角、直角、鈍角時(shí)，它們的數(shù)量積分別有什么特點(diǎn)？答案：夾角為銳角時(shí)，數(shù)量積大于\(0\)；夾角為直角時(shí)，數(shù)量積為\(0\)