第45講空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系考試要求1.平面的基本性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用(證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題)(A級(jí)要求)；2.空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系(A級(jí)要求).診斷自測(cè)1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.①梯形可以確定一個(gè)平面；②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.解析②中兩直線可以平行、相交或異面，④中若三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，則兩個(gè)平面相交，①③正確.答案22.(必修2P23練習(xí)2改編)用集合符號(hào)表示“點(diǎn)P在直線l外，直線l在平面α內(nèi)”為_(kāi)_______.解析考查點(diǎn)、線、面之間的符號(hào)表示.答案P?l，l?α3.(必修2P31習(xí)題5改編)下列說(shuō)法中正確的是________(填序號(hào)).①兩兩相交的三條直線共面；②四條線段首尾相接，所得的圖形是平面圖形；③平行四邊形的四邊所在的四條直線共面；④若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD不一定異面.解析當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)有可能不共面；四條線段首尾相接，所得的圖形可以構(gòu)成空間四邊形；若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD一定異面，可反證.答案③4.(教材改編)如圖所示，已知在長(zhǎng)方體ABCD－EFGH中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AE＝2，則BC和EG所成角的大小是________，AE和BG所成角的大小是________.解析∵BC與EG所成的角等于EG與FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝eq\f(EF,FG)＝eq\f(2\r(3),2\r(3))＝1，∴∠EGF＝45°，∵AE與BG所成的角等于BF與BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝eq\f(GF,BF)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，∴∠GBF＝60°.答案45°60°5.如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開(kāi)圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中正確命題的序號(hào)是________．解析把正四面體的平面展開(kāi)圖還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④知識(shí)梳理1.四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.2.直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行直線,相交直線)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角.②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.4.平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.5.等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.考點(diǎn)一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用【例1】(1)(2016·山東卷)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的________條件.(2)已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC.求證：①E、F、G、H四點(diǎn)共面；②三直線FH、EG、AC共點(diǎn).(1)解析若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交.答案充分不必要(2)證明①連接EF，GH，如圖所示，∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.又∵CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四點(diǎn)共面.②易知FH與直線AC不平行，但共面，∴設(shè)FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH、EG、AC共點(diǎn).規(guī)律方法共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.(2)證明點(diǎn)共線問(wèn)題的兩種方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上.(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).【訓(xùn)練1】如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn).(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？(1)證明由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC.∴四邊形BCHG為平行四邊形.(2)解∵BE綊eq\f(1,2)AF，G是FA的中點(diǎn)，∴BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面.又D∈FH，∴C、D、F、E四點(diǎn)共面.考點(diǎn)二判斷空間兩直線的位置關(guān)系【例2】(1)(2015·廣東改編)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是________(填序號(hào)).①l與l1，l2都不相交；②l與l1，l2都相交；③l至多與l1，l2中的一條相交；④l至少與l1，l2中的一條相交.(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，①M(fèi)N與CC1垂直；②MN與AC垂直；③MN與BD平行；④MN與A1B1平行.(3)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號(hào)).解析(1)若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交.(2)連接B1C，B1D1，如圖所示，則點(diǎn)M是B1C的中點(diǎn)，MN是△B1CD1的中位線，∴MN∥B1D1，又BD∥B1D∴MN∥BD.∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC.又∵A1B1與B1D1相交，∴MN與A1B1不平行.(3)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?平面GMN，G?MN，因此GH與MN異面.所以圖②④中GH與MN異面.答案(1)④(2)④(3)②④規(guī)律方法空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決.【訓(xùn)練2】(1)已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.(2)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠eq\r(2)，有以下四個(gè)結(jié)論：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN③MN∥平面A1B1C1D1；④MN與A1C其中正確結(jié)論的序號(hào)是________(注：把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上).解析(1)在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯(cuò)，③顯然成立.(2)過(guò)N作NP⊥BB1于點(diǎn)P，連接MP，可證AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正確，過(guò)M、N分別作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于點(diǎn)R，S，則當(dāng)M不是AB1的中點(diǎn)、N不是BC1的中點(diǎn)時(shí)，直線A1C1與直線RS相交；當(dāng)M、N分別是AB1、BC1的中點(diǎn)時(shí)，A1C1∥RS，∴A1C1與MN可以異面，也可以平行，故②④錯(cuò)誤.由①正確知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故答案(1)1(2)①③考點(diǎn)三求兩條異面直線所成的角【例3】(2018·南京模擬)如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為_(kāi)_______.解析如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD－QGHP，連接GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)規(guī)律方法用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.【訓(xùn)練3】(2018·鹽城模擬)已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為_(kāi)_______.解析畫(huà)出正四面體ABCD的直觀圖，如圖所示.設(shè)其棱長(zhǎng)為2，取AD的中點(diǎn)F，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為O，連接CO，則EF∥BD，則∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角.△ABC為等邊三角形，則CE⊥AB，易得CE＝eq\r(3)，同理可得CF＝eq\r(3)，故CE＝CF.因?yàn)镺E＝OF，所以CO⊥EF.又EO＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,4)BD＝eq\f(1,2)，所以cos∠FEC＝eq\f(EO,CE)＝eq\f(\f(1,2),\r(3))＝eq\f(\r(3),6).答案eq\f(\r(3),6)一、必做題1.設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，a?α，b⊥β，則“α∥β”是“a⊥b”的________條件.解析若a?α，b⊥β，α∥β，則由α∥β，b⊥β?b⊥α，又a?α，所以a⊥b；若a⊥b，a?α，b⊥β，則b⊥α或b∥α或b?α，此時(shí)α∥β或α與β相交，所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要條件.答案充分不必要2.(2018·南京、鹽城一模)現(xiàn)有如下命題：①過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直；②過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行；③如果兩個(gè)平行平面和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行；④如果兩個(gè)平面相互垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線必在第一個(gè)平面內(nèi).其中正確的命題是________(填序號(hào)).解析過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與該平面平行，故②錯(cuò).答案①③④3.(2018·鎮(zhèn)江模擬)設(shè)b，c表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，現(xiàn)給出下列命題：①若b?α，c∥α，則b∥c；②若b?α，b∥c，則c∥α；③若c∥α，α⊥β，則c⊥β；④若c∥α，c⊥β，則α⊥β.其中正確的命題是________(填序號(hào)).解析①中直線b，c平行或異面，則①錯(cuò)誤；②中c∥α或c?α，則②錯(cuò)誤；③中c，β的位置關(guān)系可能平行、相交或者直線在平面內(nèi)，則③錯(cuò)誤；由線面平行的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的判定定理可知④正確，故正確命題是④.答案④4.(2018·常州模擬)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1解析如圖，有5條.其為BC，AA1，CD，C1D1，BB1.答案55.在四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M，則下列命題正確的有________(填序號(hào)).①M(fèi)一定在直線AC上；②M一定在直線BD上；③M可能在AC上，也可能在BD上；④M既不在AC上，也不在BD上.解析由于EF∩HG＝M，且EF?平面ABC，HG?平面ACD，所以點(diǎn)M為平面ABC與平面ACD的一個(gè)公共點(diǎn)，而這兩個(gè)平面的交線為AC，所以點(diǎn)M一定在直線AC上，故①正確.答案①6.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形.∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r(2)，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP＋PA1的最小值為_(kāi)_______.解析連接A1B，將△A1BC1與△CBC1同時(shí)展開(kāi)形成一個(gè)平面四邊形A1BCC1，則此時(shí)對(duì)角線CP＋PA1＝A1C達(dá)到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝eq\r(40)＝2eq\r(10)，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1Ceq\o\al(2,1)＋BCeq\o\al(2,1)＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.對(duì)于展開(kāi)形成的四邊形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝eq\r(2)，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有CP＋PA1＝A1C＝eq\r(2＋36－12\r(2)cos135°)＝eq\r(50)＝5eq\r(2).答案5eq\r(2)7.(2017·全國(guó)Ⅲ卷)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最小值為60°；其中正確的是________(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào))．過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE，交圓C于點(diǎn)F，連接AF，EF，由圓的對(duì)稱性可知BF＝DE＝eq\r(2)，∴△ABF為等邊三角形，∴∠ABF＝60°，即AB與b成60°角，②正確，①錯(cuò)誤，由最小角定理可知③正確；很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，直線AB與a所成的最大角為90°，④錯(cuò)誤，正確的說(shuō)法為②③.答案②③8.(2015·浙江卷)如圖，三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________.解析如圖所示，連接DN，取線段DN的中點(diǎn)K，連接MK，CK.∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴MK∥AN，∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角.∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點(diǎn)，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2eq\r(2)，∴MK＝eq\r(2).在Rt△CKN中，CK＝eq\r(（\r(2)）2＋12)＝eq\r(3).在△CKM中，由余弦定理得cos∠KMC＝eq\f(CM2＋MK2－CK2,2CM×MK)＝eq\f(（\r(2)）2＋（2\r(2)）2－（\r(3)）2,2×\r(2)×2\r(2))＝eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)9.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn).求證：D1、H、O證明連接BD，B1D1，如圖.則BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，H∈平面ACD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三點(diǎn)共線.10.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn).求異面直線BE與CD所成角的余弦值.解如圖所示，取AC的中點(diǎn)F，連接EF，BF，在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點(diǎn)，∴EF∥CD.∴∠BEF或其補(bǔ)角即為異面直線BE與CD所成的角.在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△EAF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r