2025年專題6特殊平行四邊形測試題及參考答案一、選擇題（每小題3分，共18分）1.下列關(guān)于特殊平行四邊形的說法中，正確的是（）A.對角線相等的四邊形是矩形B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形C.對角線互相平分且垂直的四邊形是正方形D.鄰邊相等的平行四邊形是矩形2.已知菱形ABCD的邊長為5，對角線AC=6，則菱形的面積為（）A.12B.24C.30D.483.如圖1，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，∠AOB=60°，AB=2，則AD的長為（）A.2√3B.4C.√3D.24.正方形ABCD中，E是邊BC上一點，BE=2，EC=1，連接AE，過點D作DF⊥AE于F，則DF的長為（）A.√5B.3√5/5C.2√5/5D.√5/55.如圖2，在?ABCD中，添加下列條件仍不能判定其為菱形的是（）A.AB=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠ABD=∠CBD6.如圖3，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，且△PAB為等邊三角形，則∠CPD的度數(shù)為（）A.100°B.120°C.135°D.150°二、填空題（每小題4分，共24分）7.矩形的兩條對角線的夾角為60°，一條對角線長為8，則矩形的較短邊長為______。8.菱形的周長為20，一條對角線長為8，則另一條對角線的長為______。9.如圖4，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點C'處，BC'交AD于點E，若AB=3，AD=5，則DE的長為______。10.正方形ABCD的邊長為4，點E在邊BC上，點F在邊CD上，且∠EAF=45°，若BE=1，則DF=______。11.如圖5，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，點M是AD的中點，點N在對角線BD上，連接MN、CN，則MN+CN的最小值為______。12.已知正方形ABCD的頂點坐標(biāo)為A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)，點P在邊CD上，且△ABP為等腰三角形，則點P的坐標(biāo)為______。三、解答題（共58分）13.（8分）如圖6，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，過點A作AE∥BC，過點C作CE∥AD，AE與CE交于點E。求證：四邊形ADCE是矩形。14.（10分）如圖7，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點D作DE∥AC，過點C作CE∥BD，DE與CE交于點E。（1）求證：四邊形OCED是矩形；（2）若AC=6，BD=8，求DE的長。15.（12分）如圖8，在正方形ABCD中，點E在邊AB上，點F在邊AD的延長線上，且BE=DF，連接CE、CF、EF。（1）求證：CE=CF；（2）若AB=4，BE=1，求EF的長；（3）判斷△CEF的形狀，并說明理由。16.（14分）如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，OA=8，OC=6，點D是邊AB的中點，點P從點O出發(fā)，沿O→A→D→B的路徑勻速運動，速度為每秒2個單位長度，設(shè)運動時間為t秒（0≤t≤6）。（1）當(dāng)t=2時，求點P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)t為何值時，△OPC是等腰三角形？（3）在運動過程中，是否存在點P，使得四邊形OPBC為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由。17.（14分）如圖10，在菱形ABCD中，AB=5，∠ABC=60°，點E是邊BC上的動點（不與B、C重合），連接AE，將△ABE沿AE折疊，得到△AB'E，B'落在菱形內(nèi)部或邊上。（1）當(dāng)B'落在對角線AC上時，求BE的長；（2）當(dāng)B'落在邊CD上時，判斷四邊形AB'CE的形狀，并說明理由；（3）連接B'D，直接寫出B'D的最小值。參考答案一、選擇題1.B2.B3.A4.B5.C6.D二、填空題7.48.69.34/510.211.2√312.(1,2)或(2,2)或(0,2)（注：需驗證，正確坐標(biāo)為(1,2)、(2,2)、(0,2)中符合條件的點，實際應(yīng)為(1,2)、(2,2)、(0,2)中的部分，經(jīng)計算正確答案為(1,2)、(2,2)、(0,2)中滿足AP=AB或BP=AB或AP=BP的點，最終正確坐標(biāo)為(1,2)、(2,2)、(0,2)中的(1,2)、(2,2)、(0,2)，但需修正為具體坐標(biāo)：(1,2)、(2,2)、(0,2)中，AP=AB時P(0,2)；BP=AB時P(2,2)；AP=BP時P(1,2)，故答案為(0,2)、(2,2)、(1,2)）三、解答題13.證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC（等腰三角形三線合一），∠ADC=90°?！逜E∥BC，CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形（兩組對邊分別平行）。又∠ADC=90°，∴平行四邊形ADCE是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）。14.（1）證明：∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠COD=90°?！逥E∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形（兩組對邊分別平行）。又∠COD=90°，∴平行四邊形OCED是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）。（2）解：菱形ABCD中，AC=6，BD=8，∴OC=AC/2=3，OD=BD/2=4。由（1）知四邊形OCED是矩形，∴DE=OC=3。15.（1）證明：正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°?！連E=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE=CF。（2）解：AB=4，BE=1，∴AE=AB-BE=3，DF=BE=1，AF=AD+DF=4+1=5。在Rt△AEF中，EF=√(AE2+AF2)=√(32+52)=√34。（3）解：△CEF是等腰直角三角形。理由：由（1）知CE=CF，∠BCE=∠DCF。正方形中∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD-∠BCE+∠DCF=90°，∴△CEF是等腰直角三角形。16.（1）解：t=2時，點P運動路程為2×2=4，沿O→A方向運動，OA=8，故P(4,0)。（2）解：分三種情況：①OP=OC=6：點P在OA上時，OP=2t=6，t=3；點P在AD上時，AP=2t-8，P(8,2t-8)，OP=√(82+(2t-8)2)=6，解得t=8±√(36-64)（舍去）；②CP=OC=6：點P在OA上時，P(x,0)，CP=√(x2+62)=6，x=0（t=0）；點P在AD上時，P(8,y)，CP=√(82+(y-6)2)=6，無解；③OP=CP：點P在OA上時，x=2t，CP=√(x2+62)，OP=x，解得x=√(x2+36)（無解）；點P在AD上時，P(8,y)，OP=√(82+y2)，CP=√(82+(y-6)2)，解得y=3，此時AP=3，t=(8+3)/2=11/2=5.5；綜上，t=0,3,5.5。（3）解：存在。菱形OPBC需滿足OP=PB=BC=8，BC=OA=8。點P在BD上時，B(8,6)，D(8,3)，設(shè)P(8,6-k)（0≤k≤3），OP=√(82+(6-k)2)=8，解得k=6（舍去）；點P在AD上時，P(8,y)，OP=√(82+y2)=8，y=0（與O重合，舍去）；點P在OA上時，OP=8，t=4，此時P(8,0)，PB=√(02+62)=6≠8，不成立；故不存在。17.（1）解：菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=5，∴△ABC為等邊三角形，AC=5。折疊后AB'=AB=5，B'在AC上，∴AB'=5=AC，故B'與C重合（舍去），或B'在AC上且AB'=5，AC=5，矛盾，說明B'在AC延長線上？修正：菱形中AC=2×AB×cos30°=5√3，折疊后AB'=AB=5，∠B'AE=∠BAE，設(shè)BE=x，則B'E=BE=x，EC=5-x，在△AB'C中，AB'=5，AC=5√3，∠B'AC=∠BAC-2∠BAE=30°-2∠BAE，由余弦定理得B'C2=AB'2+AC2-2×AB'×AC×cos∠B'AC，但更簡單方法：B'在AC上時，AE為∠BAC的角平分線，∠BAC=60°，故∠BAE=30°，在△ABE中，BE=AB×tan30°=5×(√3/3)=5√