4.6兩條平行線間的距離第4章

平面內(nèi)的兩條直線【2024新教材】湘教版數(shù)學(xué)

七年級下冊

授課教師：********班級：********時間：********一）知識與技能?理解實數(shù)的概念，明確實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)關(guān)系。?掌握實數(shù)的分類方法，能互逆命題、互逆定理教案一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)理解互逆命題、互逆定理的概念，能準(zhǔn)確說出一個命題的逆命題。會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標(biāo)通過對命題、逆命題的分析，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和語言表達能力。經(jīng)歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，敢于質(zhì)疑、勇于探索的精神。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。二、教學(xué)重難點重點互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個命題的逆命題。難點判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）展示一些簡單的命題，如“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導(dǎo)學(xué)生分析這些命題的題設(shè)和結(jié)論。提問：能否交換這些命題的題設(shè)和結(jié)論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節(jié)課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”。讓學(xué)生進一步理解互逆命題的概念。組織學(xué)生進行小組討論，每個小組寫出3-5個命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學(xué)生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內(nèi)交流?；ツ娑ɡ斫o出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強調(diào)：并不是所有的定理都有逆定理，只有當(dāng)定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對應(yīng)角相等。（3）等腰三角形的兩個底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因為當(dāng)b=0時，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應(yīng)角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”是真命題。分析：引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習(xí)（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個銳角互余。（3）對頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個命題都有逆命題。（2）每個定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）與學(xué)生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強調(diào)：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業(yè)（5分鐘）課本課后習(xí)題，要求學(xué)生認(rèn)真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。拓展作業(yè)：收集生活中或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學(xué)反思在教學(xué)過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學(xué)生理解抽象的概念。對于學(xué)生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現(xiàn)的錯誤，要及時給予糾正和指導(dǎo)。在今后的教學(xué)中，可以進一步加強練習(xí)，提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.什么是點到直線的距離？2.直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中，哪條最短？畫兩條互相平行的直線，從其中一條直線上任取兩點，比較這兩點到另一條直線的距離.新課探究如圖，l1∥l2，在直線l1上任取兩點A，C，分別作AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分別為點B，D.ACCDl1l2

與兩條平行直線都垂直的直線，叫作這兩條平行直線的________.

連接兩個垂足的線段，叫作這兩條平行直線的____________.公垂線公垂線段如圖，直線

AB

與

CD

都是平行線l1與l2的公垂線.再多取幾個點，結(jié)果會發(fā)生變化嗎？由此你會發(fā)現(xiàn)什么？線段

AB

，

CD

都是平行線l1與l2的公垂線段.比較線段

AB

與

CD

的長度，AB=CD.公垂線段性質(zhì)：兩條平行線的公垂線段的長度叫作兩條平行線間的距離.兩條平行線的所有公垂線段都相等.平行線

l1與l2之間的距離等于l1上任一點到直線l2的距離.由上述結(jié)論可以進一步猜測：證明：如圖，線段AB是兩條平行線l1與l2的公垂線段，從而線段AB的長是直線l1與l2之間的距離.又線段AB的長度是點A到直線l2的距離，因此，平行線l1與l2之間的距離等于直線l1上的點A到直線l2的距離.

兩條平行線間的距離等于其中一條直線上任意一個點到另一條直線的距離.你能證明嗎?如圖，AB∥DC，AB=DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為點E，F(xiàn)，那么線段AE與CF相等嗎？解：因為AB∥DC，DE⊥AB，

所以DE⊥DC.又AB∥DC，BF⊥CD，于是BF⊥AB.

因而DE∥FB.又DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，從而線段DF，EB

都是平行線DE

與FB

的公垂線段.

故DF=EB.又AB=DC，所以AB–EB=DC-DF，即AE=CF.設(shè)a，b，c

是三條互相平行的直線，如圖所示.已知a

與b

的距離為5，b

與c

的距離為2，求a

與c

的距離．解：在a上任取一點A，過點A作AC⊥c，分別與b，c

相交于B，C

兩點．因為a，b，c是三條互相平行的直線，所以∠1=∠2=∠3=90°，即AB⊥b，AC⊥a.因此，線段AB，BC，AC

分別是平行線a

與b，b

與c，a

與c的公垂線段.又AC=AB+BC=5+2=7，因此a

與c

的距離是7.若將例2中的“如圖所示”去掉，a與c

的距離會變化嗎？a與c

的距離為7a與c

的距離為3[選自教材P123練習(xí)]1.利用平移畫一條直線和已知直線l

平行，且要求兩條平行線間的距離為2cm，這樣的直線可以畫幾條？可以畫2條[選自教材P123練習(xí)]2.如圖，MN∥AB，P，Q為直線MN

上的任意兩點，△PAB和△QAB

的面積有什么關(guān)系？為什么？解:相等.理由如下:因為△PAB和△QAB的AB邊上的高相等，都是MN和AB之間的距離，即兩三角形同底等高，所以△PAB和△QAB的面積相等.1.如圖：按要求完成以下作圖：(1)過

P

點作一條直線

CD平行于

AB,像

CD

這樣平行于

AB的直線有且______一條.(2)過

P

點作線段

PQ⊥CD交

AB

于

Q，那么

PQ就叫做平行線

AB、CD間的__________；說一說

PQ與

AB的關(guān)系_________.只有公垂線段PQ⊥AB隨堂演練(3)過

AB上的

E點，作

EF⊥AB

交

CD于

F，說一說

EF

與

CD

的關(guān)系:________.同理，EF也是平行線

AB、CD間的__________；(4)在

AB、CD間，像

PQ

這樣的垂線段有______條.公垂線段EF⊥CD無數(shù)2.如圖，MN//AB，P，Q為直線

MN上的任意兩點，

△PAB

和△

QAB的面積有什么關(guān)系？為什么？解：分別過

P、Q兩點作PC⊥AB，QD⊥AB，垂足為

C、D.因為

MN//AB，PC⊥AB，QD⊥AB，所以

PC=QD.所以△

PAB和△

QAB的面積相等.因為△PAB的面積=(AB·PC)，

3.如圖，DE∥BC，AF⊥DE于

G，DH⊥BC于

H，且

AG=4cm，DH=4cm，試求點

A到

BC

的距離.解：因為AF⊥DE，DE∥BC，所以AF⊥BC.因為DH⊥BC，所以DH∥GF.因為DE∥BC，且DH⊥BC，GF⊥BC，所以DH=GF=4cm.所以AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm.即點

A

到

BC

的距離是8cm.1.

下列說法中，錯誤的是(

)AA.

平行線間的距離就是兩條平行線間的公垂線B.

兩條平行線的所有公垂線段都相等C.

兩條平行線間的距離等于其