第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年甘肅省慶陽市鎮(zhèn)原縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列事件中，是隨機(jī)事件的是（）A.守株待兔 B.只手遮天 C.旭日東升 D.水中撈月2.已知⊙O的半徑為5cm,PO=3cm,則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)P在圓外 B.點(diǎn)P在圓上 C.點(diǎn)P在圓內(nèi) D.無法確定3.已知關(guān)于x的方程x2-2x+k=0的一個根為x=-2，則另一個根為（）A.x=-1 B.x=0 C.x=2 D.x=44.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.5.如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成四個扇形，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在紅色區(qū)域的概率為（）A.

B.

C.

D.16.如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠B=110°，則∠AOC的度數(shù)為（）

?A.110°

B.120°

C.140°

D.160°7.已知二次函數(shù)y=-3（x-1）2-7，下列說法正確的是（）A.對稱軸為直線x=-1 B.函數(shù)的最大值是7

C.拋物線開口向上 D.頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-7）8.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，PA.若∠P=44°，PA與⊙O相切，則∠B的度數(shù)為（）A.20°

B.23°

C.26°

D.30°9.《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，凱凱在讀完《九章算術(shù)》卷九勾股定理篇記載的“圓材埋壁”問題后，突發(fā)靈感，設(shè)計(jì)了一個數(shù)學(xué)題.如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，ED=4，AB=16，則OE的長是（）

A.6 B.8 C.10 D.1210.如圖，△ABC與正方形BCDE的一條邊BC重合，∠ACB=90°，AC=BC=2，將正方形BCDE沿CA向右平移，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時，停止平移，設(shè)點(diǎn)C平移的距離為x,正方形BCDE與△ABC重合部分的面積為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）

A. B.

C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.一元二次方程x（2x-1）=3x+4化成一般形式為

.12.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a,6）與點(diǎn)B（-4，b）關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，則a+b的值為

.13.將拋物線y=-（x-1）2+1繞頂點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的表達(dá)式為

.14.如圖，在△ABC中，AB=AC，AB邊經(jīng)過原點(diǎn)O，BC∥x軸，雙曲線經(jīng)過A，B兩點(diǎn).若S△ABC=4，則k的值為

.

15.“萊洛三角形”（圖1）是一種特殊的三角形，它是分別以等邊三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段弧組成的曲邊三角形.如圖2是小明畫出的一個“萊洛三角形”.若該等邊△ABC的邊長為6，則這個“菜洛三角形”的面積是

.（結(jié)果保留根號和π）16.如圖是某公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標(biāo)系，得到函數(shù)，在正常水位時水面寬AB=30米，當(dāng)水位上升5米時，則水面寬CD=

米.三、解答題：本題共11小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題5分)

解方程：x（3x+2）=3x+2.18.(本小題5分)

張師傅要將一張殘缺的圓形輪片恢復(fù)原貌（如圖），他在該輪片上畫了三個點(diǎn)A，B，C.請你幫張師傅找出此殘片所在圓的圓心O.（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）19.(本小題5分)

如圖，在等腰三角形ABC中，CB=CA，∠ACB=α，BD⊥AC于點(diǎn)D，將線段CD繞C順時針旋轉(zhuǎn)角α后得到線段CE，連接AE.求∠E的度數(shù).20.(本小題5分)

二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，求該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及△ABC的面積.21.(本小題5分)

隨著《初見慶陽》宣傳片在各媒體的播放，優(yōu)美的生態(tài)風(fēng)光，極具特色的農(nóng)村文旅產(chǎn)業(yè)備受大眾青睞.2024年8月份華池縣某民宿的營業(yè)額為4萬元，隨著大批游客的到來，營業(yè)額穩(wěn)步提升，10月份的營業(yè)額達(dá)到5.76萬元，求該民宿8月份9月份營業(yè)額的月平均增長率.22.(本小題7分)

如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：

作法：如圖2.

1.作直徑AF.

2.以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N.

3.連接AM，MN，NA.

（1）△AMN是正三角形嗎？請說明理由.

（2）從點(diǎn)A開始，以DN的長為邊長，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值.23.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2.

（1）求k的取值范圍；

（2）若，求k的值.24.(本小題8分)

甘肅歷史跨越八千余年，是中華民族和華夏文明的重要發(fā)祥地之一，也是中醫(yī)藥學(xué)的發(fā)祥地之一，被譽(yù)為“河岳根源、羲軒桑梓”.李老師為了讓學(xué)生深入地了解甘肅文化，將正面印有“黃河文化”“邊塞文化”“根祖文化”“紅色文化”的4張卡片背面朝上放在桌面上（這4張卡片除正面外，其他完全相同），邀請小甘上講臺隨機(jī)抽取1張卡片，并向大家介紹卡片上相對應(yīng)的文化內(nèi)容.

（1）求小甘從中隨機(jī)抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率；

（2）若小甘先上講臺，從4張卡片中隨機(jī)抽取1張（放回重新排列），小肅后上講臺，也從4張卡片中隨機(jī)抽取1張，請用畫樹狀圖或列表的方法，求小甘、小肅兩人至少有一人抽中“黃河文化”的概率.25.(本小題8分)

如圖，直線y=kx+b與雙曲線交于A（-2，6），B（-6，a）兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)C.

（1）求m,k,b的值；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出關(guān)于x的不等式的解集；

（3）求△ABO的面積.26.(本小題8分)

在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交邊AC于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E，AD=BE，過點(diǎn)B作⊙O的切線PB，過點(diǎn)A作AP∥BC，交BP于點(diǎn)P.

（1）如圖1，若M為AP的中點(diǎn)，連接BM.求證：四邊形ACBM是菱形；

（2）如圖2，若AD=2，BC=3，求AB的長.27.(本小題8分)

如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)P是拋物線上一個動點(diǎn)，連接PB，PC，BC.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方運(yùn)動時，連接AC，求四邊形ABPC面積的最大值，并寫出此時P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M是x軸上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3.試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B、M、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】B

11.【答案】x2-2x-2=0或2x2-4x-4=0

12.【答案】-2

13.【答案】y=（x-1）2+1

14.【答案】1

15.【答案】

16.【答案】20

17.【答案】解：移項(xiàng)，得

x（3x+2）-（3x+2）=0，

因是分解，得

（3x+2）（x-1）=0，

于是，得

3x+2=0或x-1=0，

解得x1=-，x2=1．

18.【答案】解：圓心O的位置如圖．

由作圖可知：EF垂直平分AB，MN垂直平分BC，

∴直線EF必過弧ACB所在圓的圓心，直線MN必過弧ACB所在圓的圓心，

∵EF與MN交于O，

∴點(diǎn)O是弧ACB所在圓的圓心．

19.【答案】90°．

20.【答案】頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），面積為6．

21.【答案】20%．

22.【答案】是，△AMN是正三角形．

理由如下：如圖，連接ON，NF，

由題意可得FN=OF=ON，

∴△FON是等邊三角形，

∴∠NFA=60°，

∴∠NMA=60°，

同理可得∠ANM=60°，

∴∠MAN=60°，

∴△AMN是正三角形

15

23.【答案】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有兩個實(shí)數(shù)根，

∴Δ=（-4）2-4×1×（-2k+8）≥0，

解得：k≥2，

∴k的取值范圍為k≥2；

（2）∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0的兩個實(shí)數(shù)根，

∴x1+x2=4，x1x2=-2k+8，

∵x2+x1=x1x2（x1+x2）=4（-2k+8）=-24，

∴k=7，

∴k的值為7．

24.【答案】（1）小甘從“黃河文化”“邊塞文化”“根祖文化”“紅色文化”的4張卡片中，隨機(jī)抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率為；

（2）將印有“黃河文化”“邊塞文化”“根祖文化”“紅色文化”的卡片分別記作A，B，C，D，列表如下：小肅小甘ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）由上表可知，一共有16種等可能的情況，其中小甘、小肅兩人至少有一人抽中“黃河文化”的情況有7種，

∴小甘、小肅兩人至少有一人抽中“黃河文化”的概率為．

25.【答案】k=1，b=8

x＜-6或-2＜x＜0

16

26.【答案】∵PB是⊙O的切線，

∴∠ABP=90°．

∴△ABP是直角三角形，

∵M(jìn)為AP的中點(diǎn)，

∴，

∴∠ABM=∠BAM．

∵AD=BE，

∴，

∴，

∴∠ABC=∠CAB．

∵AP∥BC，

∴∠ABC=∠BAM，

∴∠ABM=∠BAC，

∴AC∥BM，

∴四邊形ACBM是平行四邊形．

又∵BM=AM，

∴四邊形ACBM是菱形．

AB的長為

27.【答案】解：（1）將點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）、C（0，8）代入y=ax2+bx+c,

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+8；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+8，

∴4k+8=0，

解得k=-2，

∴直線BC的解析式為y=-2x+8，

過點(diǎn)P作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q，

設(shè)P（t,-t2+2t+8），則Q（t,-2t+8），

∴PQ=-t2+2t+8+2t-8=-t2+4t,

∵AO=2，CO=8，

∴四邊形ABPC面積=×2×8+×4×（-t2+4t）=-2（t-2）2+16，

∵點(diǎn)P在直線BC上方，

∴0＜t＜4，

∴當(dāng)t=2時，四邊形ABPC面積有最大值16，此時P（2，8）；

（3）存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B、M、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，理由如下：

當(dāng)x=3時，y=5，