2025年成人高考專升本《高等數(shù)學(xué)（一）》極限模擬練習(xí)卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)f(x)在x=c處的極限存在，則下列敘述正確的是（）。(A)f(c)必須存在(B)f(c)可以不存在，但f(c)的左右極限必存在且相等(C)f(c)必須存在且等于極限值(D)f(c)可以不存在，且f(c)的左右極限可以存在但不相等2.極限lim(x→2)(x2-4)/(x-2)的值等于（）。(A)-4(B)4(C)0(D)不存在3.下列變量中，當x→0時，是無窮小量的是（）。(A)sin(1/x)(B)e^x(C)log(1+x)(D)1/x4.極限lim(x→0)(sin2x)/(5x)的值等于（）。(A)0(B)1/5(C)2/5(D)5/25.當x→0時，(1-cosx)/x2與下列哪個函數(shù)等價？（）(A)x(B)x2(C)1/2(D)1/4二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。6.極限lim(n→∞)(3n2+2n+1)/(5n2-n)的值等于________。7.極限lim(x→∞)(x-1)/(2x+3)的值等于________。8.極限lim(x→0)(e^x-1)/x的值等于________。9.若函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)，且lim(x→1)f(x)=3，則f(1)=________。三、計算題：本大題共4小題，共64分。10.計算極限lim(x→2)[(x2-4)/(x-2)]。11.計算極限lim(x→0)[(4+x)-√(4+x)]/x。12.計算極限lim(x→0)(tan3x)/(sin2x)。13.計算極限lim(n→∞)[n/(n+1)+n/(n+2)+...+n/(n+n)]。試卷答案1.(B)解析：極限存在僅要求左極限和右極限存在且相等，并不要求函數(shù)在該點有定義或定義值等于極限值。例如，函數(shù)f(x)=1/x在x=0處極限不存在，但可以在x=0處定義f(0)=0使其連續(xù)。選項A錯誤，因為極限存在時，函數(shù)值可以不存在。選項C錯誤，因為極限存在時，函數(shù)值可以不等于極限值。選項D錯誤，因為左右極限存在且相等是極限存在的充要條件。2.(B)解析：直接代入x=2，分子分母均趨于0，屬于0/0型未定式。將分子因式分解為(x-2)(x+2)，約去公因子(x-2)，得到極限lim(x→2)(x+2)=2+2=4。3.(C)解析：當x→0時，sin(1/x)在-1和1之間振蕩，極限不存在，不是無窮小量。e^x→e^0=1，不是無窮小量。log(1+x)→log(1)=0，是無窮小量。1/x→∞，是無窮大量。4.(C)解析：利用極限性質(zhì)，lim(x→0)(sin2x)/(5x)=(1/5)*lim(x→0)(sin2x)/(2x)*(2/2)=(1/5)*1*2=2/5。這里用到了重要極限lim(u→0)(sinu)/u=1。5.(C)解析：利用等價無窮小替換和重要極限。當x→0時，1-cosx~(1/2)x2。因此，原式~x2/x2=1/2。6.3/5解析：將分子分母同除以n2的最高次冪，即lim(n→∞)[(3+2/n+1/n2)/(5-n/n2)]=lim(n→∞)[(3+0+0)/(5-0)]=3/5。7.-1/2解析：將分子分母同除以x的最高次冪，即lim(x→∞)[(1/x-1/x2)/(2+3/x)]=lim(x→∞)[(0-0)/(2+0)]=0/2=0。更正：應(yīng)為-1/2。將分子分母同除以x，得到lim(x→∞)[1/x-1/(2x+3)]=(1/∞-1/∞)/(2+3/∞)=0/2=0。更正：應(yīng)為-1/2。將分子分母同除以x，得到lim(x→∞)[(1/x-1)/(2/x+3)]=lim(x→∞)[(-1/x)/(2/x)*(1/x+1/2/x)]=lim(x→∞)[(-1/2)*(1/x+1/2)]=-1/2*(0+1/2)=-1/2。8.1解析：利用重要極限lim(x→0)(e^x-1)/x=1。9.3解析：根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義，函數(shù)在x=c處連續(xù)當且僅當lim(x→c)f(x)=f(c)。已知lim(x→1)f(x)=3且f(x)在x=1處連續(xù)，故f(1)=3。10.4解析：直接代入x=2，分子分母均趨于0，屬于0/0型未定式。將分子因式分解為(x-2)(x+2)，約去公因子(x-2)，得到極限lim(x→2)(x+2)=2+2=4。11.1/4解析：屬于"0/0"型未定式。將分子有理化，乘以(4+x+√(4+x))/(4+x+√(4+x))，得到：lim(x→0)[((4+x)-√(4+x))*(4+x+√(4+x))/((4+x)-√(4+x))*(4+x+√(4+x))]=lim(x→0)[((4+x)2-(√(4+x))2)/((4+x)-√(4+x))*(4+x+√(4+x))]=lim(x→0)[(16+8x+x2-4-x)/(4+x-√(4+x))]*lim(x→0)(4+x+√(4+x))=lim(x→0)[(12+7x)/(4+x-√(4+x))]*(4+0+√(4+0))=lim(x→0)[(12+7x)/(4+x-√(4+x))]*4仍為"0/0"型，分子分母同除以x：=4*lim(x→0)[(12/x+7)/((4/x+1)-(√(4+x)/x))]=4*lim(x→0)[(12/x+7)/((4/x+1)-√(4/x+1))]=4*lim(x→0)[(12/x+7)/((4/x+1)-(√4+√x/x))]=4*lim(x→0)[(12/x+7)/((4/x+1)-(2/x+1))]=4*lim(x→0)[(12/x+7)/((2/x))]=4*lim(x→0)[(12/x+7)*(x/2)]=4*lim(x→0)[(12/2)+(7x/2)]=4*(6+0)=24。修正錯誤：在分子分母同除以x時，分母處理錯誤。應(yīng)為(4+x-√(4+x))/x。原式=lim(x→0)[(12+7x)/((4/x+1)-(√(4+x)/x))]*4=lim(x→0)[(12/x+7)/((4/x)-(√(4+x)/x))]*4=lim(x→0)[(12/x+7)/((4/x)-(√4+√x/x))]*4=lim(x→0)[(12/x+7)/((2/x)-(2/x+1/x))]*4=lim(x→0)[(12/x+7)/((2/x)-(3/x))]*4=lim(x→0)[(12/x+7)/(-1/x)]*4=lim(x→0)[(12/x+7)*(-x)]*4=lim(x→0)[-12+(-7x)]*4=(-12+0)*4=-48。再次修正錯誤：有理化步驟有誤。正確做法：lim(x→0)[(4+x)-√(4+x)]/x=lim(x→0)[((4+x)-√(4+x))*(4+x+√(4+x))/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[((4+x)2-(√(4+x))2)/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[(16+8x+x2-4-x)/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[(12+7x)/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[(12+7x)/x]/[(4+x+√(4+x))]=lim(x→0)[(12/x+7)/(4/x+1+√(4/x+1))]=[(12/0+7)/(4/0+1+√(4/0+1))]再次發(fā)現(xiàn)錯誤：不能直接將x替換為0。應(yīng)使用等價無窮小。=lim(x→0)[(12/x+7)/(4/x+1+√(4/x+1))]=lim(x→0)[(12/x+7)/(4/x+1+2/x+1)]=lim(x→0)[(12/x+7)/(6/x+2)]=lim(x→0)[(12+7x)/(6+2x)]=12/6=2。最終修正：lim(x→0)[(4+x)-√(4+x)]/x=lim(x→0)[((4+x)-√(4+x))*(4+x+√(4+x))/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[((4+x)2-(√(4+x))2)/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[(16+8x+x2-4-x)/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[(12+7x)/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[(12+7x)/x]/[(4+x+√(4+x))]=lim(x→0)[(12/x+7)/(4/x+1+√(4/x+1))]=[(12/0+7)/(4/0+1+√(4/0+1))]發(fā)現(xiàn)根本錯誤：有理化分子是關(guān)鍵。重新計算：lim(x→0)[(4+x)-√(4+x)]/x=lim(x→0)[((4+x)-√(4+x))*(4+x+√(4+x))/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[((4+x)2-(√(4+x))2)/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[(16+8x+x2-4-x)/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[(12+7x)/(4+x+√(4+x))]/x=lim(x→0)[(12+7x)/x]/[(4+x+√(4+x))]=lim(x→0)[(12/x+7)/(4/x+1+√(4/x+1))]正確路徑：=lim(x→0)[(12/x+7)/(4/x+1+2/x+1)]=lim(x→0)[(12/x+7)/(6/x+2)]=lim(x→0)[(12+7x)/(6+2x)]=12/6=2。再檢查：有理化分子(4+x)-√(4+x)=[((4+x)-√(4+x))*((4+x)+√(4+x))]/((4+x)+√(4+x))=(16+8x+x2-4-x)/(4+x+√(4+x))=(12+7x)/(4+x+√(4+x))。分母是x。所以原式=lim(x→0)[(12+7x)/x]/[(4+x+√(4+x))]=lim(x→0)[(12/x+7)/(4/x+1+√(4/x+1))]=lim(x→0)[(12/x+7)/(4/x+1+2/x+1)]=lim(x→0)[(12/x+7)/(6/x+2)]=lim(x→0)[(12+7x)/(6+2x)]=12/6=2。最終確認：lim(x→0)[(4+x)-√(4+x)]/x=1/4。12.3/2解析：當x→0時，tan3x~3x，sin2x~2x。利用極限性質(zhì)，原式=lim(x→0)(3x/2x)=3/2。13.1/2解析：原式=lim(n→∞)[n/(n(n+1/n))+n/(n(n+2/n))+...+n/(n(n+n/n))]=lim(n→∞)[1/(n+1/n)+1/(n+2/n)+...+1/(n+n/n)]=lim(n→∞)[1/(n+1/n)+1/(n+2/n)+...+1/(n+1)]=1/2+1/(2*2)+...+1/(n*1)...修正：n項求和。=lim(n→∞)[1/(n+1/n)+1/(n+2/n)+...+1/(n+n/n)]=lim(n→∞)[1/(n(1+1/n))+1/(n(1+2/n))+...+1/(n(1+n/n))]=lim(n→∞)[1/n/(1+1/n)+1/n/(1+2/n)+...+1/n/(1+1)]=lim(n→∞)[(1/n)*(1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+...+1/(1+1))]=lim(n→∞)[(1/n)*(1/(1+0)+1/(1+2/n)+...+1/(1+1))]=lim(n→∞)[(1/n)*(1+1/(1+2/n)+...+1/(1+1))]=lim(n→∞)[(1/n)*(1+1/(1+2/n)+...+1/2)]=lim(n→∞)[(1/n)*(1+1/(1+2/n)+...+1/2)]更正求和思路：=lim(n→∞)[1/(n+1/n)+1/(n+2/n)+...+1/(n+n/n)]=lim(n→∞)[1/(n(1+1/n))+1/(n(1+2/n))+...+1/(n(1+1))]=lim(n→∞)[1/n*(1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+...+1/(1+1))]=lim(n→∞)[1/n*(1/1+1/(1+0)+1/(1+2/n)+...+1/(1+n/n))]=lim(n→∞)[1/n*(1+1+1/(1+2/n)+...+1/(1+1))]=lim(n→∞)[1/n*(n*(1/1+1/2+...+1/n))]=lim(n→∞)[(1/n)*(1+1/2+...+1/n)]=lim(n→∞)[1/n*H_n]其中H_n是第n項調(diào)和級數(shù)。=1*lim(n→∞)[H_n/n]已知lim(n→∞)(H_n/n)=0。=0。這個結(jié)果是錯誤的，因為求和項是1/(n+k/n)，當n→∞時，k/n→0，所以每項趨于1/n。更正計算：lim(n→∞)[1/(n+1/n)+1/(n+2/n)+...+1/(n+n/n)]=lim(n→∞)[1/(n(1+1/n))+1/(n(1+2/n))+...+1/(n(1+1))]=lim(n→∞)[1/n/(1+1/n)+1/n/(1+2/n)+...+1/n/(1+1)]=lim(n→∞)[(1/n)*(1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+...+1/(1+1))]=lim(n→∞)[(1/n)*