山西省太原市山西大學附中2026屆高二數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知，則條件“”是條件“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.3．三棱柱中，，，，若，則（）A. B.C. D.4．拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的右焦點為，以為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若(為坐標原點)，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.6．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.7．已知圓上有三個點到直線的距離等于1，則的值為（）A. B.C. D.18．直線的斜率為（）A.135° B.45°C.1 D.-19．過點且斜率為的直線方程為（）A. B.C D.10．知點分別為圓上的動.點，為軸上一點，則的最小值（）A. B.C. D.11．2020年北京時間11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰(zhàn)，經(jīng)歷發(fā)射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動、環(huán)月飛行、著陸下降、月面工作、月面上升、交會對接與樣品轉(zhuǎn)移、環(huán)月等待、月地轉(zhuǎn)移、再入回收等11個關(guān)鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉(zhuǎn)移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.8212．將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為增強廣大師生生態(tài)文明意識，大力推進國家森林城市建設(shè)創(chuàng)建進程，某班26名同學在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵（各自挖坑種植），相鄰兩棵樹相距均為10米，在同學們挖坑期間，運到的樹苗集中放置在了某一樹坑旁邊，然后每位同學挖好自己的樹坑后，均從各自樹坑出發(fā)去領(lǐng)取樹苗．記26位同學領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和為，則的最小值為______米14．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為_________15．若拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是___________.16．如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，已知庫底與水壩斜面所成的二面角為，測得從，到庫底與水壩斜面的交線的距離分別為，，若，則甲，乙兩人相距________________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和，且（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項和為，若，對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍18．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長度；若不存在，請說明理由19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點，點在線段上.（1）當直線與平面所成角最大時，求線段的長度；（2）是否存在這樣的點，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點的位置，若不存在，說明理由.20．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程恰有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍21．（12分）已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.22．（10分）設(shè)拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，橢圓右焦點也為，離心率為（1）求拋物線方程和橢圓方程；（2）若不經(jīng)過的直線與拋物線交于、兩點，且（為坐標原點），直線與橢圓交于、兩點，求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先分析充分性：假設(shè)特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析充分性，由條件得恒成立，再對和進行分類討論即可判斷.【詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設(shè)，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當，時，成立，當，時，不成立，當，時，不成立，當，時，不成立，當，時，成立，當，時，不成立，當，時，不恒成立，當，時，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時成立，所以必要性成立.故選：B.2、A【解析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【詳解】因為，所以，所以.故選：A3、A【解析】利用空間向量線性運算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解：由，，，若，得.故選：A.4、B【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得選項.【詳解】由得，所以，所以拋物線的焦點到準線的距離為1，故選：B.5、A【解析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由，可知為的三等分點，用兩種方式表示，可得關(guān)于的方程組，結(jié)合即可得到雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由到漸近線的距離為，所以，又，所以，因為，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.6、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱.所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項A,C.當時，，排除選項D，故選：B7、A【解析】求出圓心和半徑，由題意可得圓心到直線的距離，列方程即可求得的值.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因為圓上有三個點到直線的距離等于1，所以圓心到直線的距離，可得：，故選：A.8、D【解析】由斜截式直接看出直線斜率.【詳解】由題意得：直線斜率為-1，故選：D9、B【解析】利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.10、B【解析】求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為1，∴若與關(guān)于x軸對稱，則，即，當三點不共線時，當三點共線時，所以同理(當且僅當時取得等號)所以當三點共線時，當三點不共線時，所以∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，∴.故選：B.11、C【解析】由題意可知，求出的值，從而可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，解得，所以離心率，故選：C12、B【解析】由題意知直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，則故新直線的斜率是.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)對稱性易知：當樹苗放在第13或14個坑，26位同學領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，再應用等差數(shù)列前n項和的求法求26位同學領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和.【詳解】將26個同學對應的26個坑分左右各13個坑，∴根據(jù)對稱性：樹苗放在左邊13個坑，與放在對稱右邊的13個坑，26個同學所走的總路程對應相等，∴當樹苗放在第13個坑，26位同學領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，此時，左邊13位同學所走的路程分別為，右邊13位同學所走的路程分別為，∴最小值為米.故答案為：.14、##【解析】根據(jù)給定條件探求出橢圓長軸長與其焦距的關(guān)系即可計算作答.【詳解】設(shè)橢圓長軸長為，焦距為，即，依題意，，而直線是圓的切線，即，則有，又點在橢圓上，即，因此，，從而有，所以橢圓的離心率為.故答案為：15、5【解析】根據(jù)拋物線的定義知點P到焦點距離等于到準線的距離即可求解.【詳解】因為拋物線方程為，所以準線方程，所以點到準線的距離為，故點到該拋物線焦點的距離.故答案為：16、【解析】首先構(gòu)造二面角的平面角，如圖，再分別在和中求解.【詳解】作，且，連結(jié)，，，，平面且，四邊形時平行四邊形，，平面，平面，中，,中，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用可得答案；（2）利用錯位相減可得，轉(zhuǎn)化為對任意，恒成立，求出的最大值可得答案小問1詳解】當時，由，得或（舍去），由，得，①當時，，②由①－②，得，整理得，因為，所以所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列【小問2詳解】由（1）可得，所以，③，④由③－④，得，即，由得，所以，即，該式對任意恒成立，因此，所以的取值范圍是18、（1）證明見解析（2）存在，的長為或，理由見解析.【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）設(shè)，求出，根據(jù)與平面所成角的正弦值列方程，由此求得，進而求得的長.小問1詳解】依題意，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，設(shè)平面法向量為，則，故可設(shè)，由于，所以平面.【小問2詳解】存在，理由如下：設(shè)，，，，依題意與平面所成角的正弦值為，即，，解得或.，即的長為或，使與平面所成角的正弦值為.19、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因為對邊為定值，所以鄰邊最小時線面角最大；（2）建立空間直角坐標系，由向量法求二面角列方程可得.【小問1詳解】直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過P作,即PN與面ABC所成的角，因為PH為定值，所以當NH最小時線面角最大，因為當P為中點時，,此時NH最小，即PN與平面ABC所成角最大，此時.【小問2詳解】以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立空間坐標系，則：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)設(shè)=，，，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，解得，平面AC1C的法向量為,.所以P點為A1B1的四等分點，且A1P=.20、（1）；（2）【解析】（1）求出導數(shù)，令，得出變化情況表，即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)討論單調(diào)性，根據(jù)與恰有兩個不同交點即可得出.【詳解】（1）當時，函數(shù)，則令，得，，當x變化時，的變化情況如下表:1+00+↗極大值↘極小值↗∴在上單調(diào)遞減（2）依題意，即．則令，則當時，，故單調(diào)遞增，且；當時，，故單調(diào)遞減，且∴函數(shù)在處取得最大值故要使與恰有兩個不同的交點，只需∴實數(shù)a的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)方程根的個數(shù)求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)討論單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)交點個數(shù)判斷.21、（1）；（2）.【解析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題中條件，列出方程求出首項和公差，即可得出通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解