張量重正化群方法：理論演進(jìn)與應(yīng)用新探一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代物理學(xué)的研究版圖中，強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子問題一直占據(jù)著極為關(guān)鍵且充滿挑戰(zhàn)的核心地位。以高溫超導(dǎo)機(jī)理的探索為例，這一問題自被提出以來，便成為凝聚態(tài)理論領(lǐng)域一座難以逾越的高峰，歷經(jīng)漫長(zhǎng)歲月卻始終未能得到圓滿解決。其根源在于，這本質(zhì)上是一個(gè)非微擾的量子力學(xué)難題，傳統(tǒng)的理論方法和研究手段在面對(duì)此類問題時(shí)往往捉襟見肘。在凝聚態(tài)物理的廣闊研究領(lǐng)域中，眾多新奇的量子物態(tài)和現(xiàn)象不斷涌現(xiàn)，如量子自旋液體、拓?fù)浣^緣體等，這些都涉及到強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子系統(tǒng)。在量子自旋液體中，量子漲落使得自旋無法形成傳統(tǒng)的有序排列，而是呈現(xiàn)出一種奇特的無序狀態(tài)，其中蘊(yùn)含的長(zhǎng)程糾纏多體量子態(tài)，超越了傳統(tǒng)理論的解釋范疇。而拓?fù)浣^緣體則展現(xiàn)出表面態(tài)與體態(tài)截然不同的電子特性，其獨(dú)特的拓?fù)湫再|(zhì)為量子信息和量子計(jì)算領(lǐng)域帶來了新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)。在統(tǒng)計(jì)物理中，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的相變和臨界現(xiàn)象的研究同樣面臨著諸多困境。傳統(tǒng)的理論模型在處理具有強(qiáng)相互作用和復(fù)雜關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)時(shí)，難以準(zhǔn)確描述其相變過程和臨界行為。這些問題的存在，嚴(yán)重制約了我們對(duì)物質(zhì)本質(zhì)和物理規(guī)律的深入理解。張量重正化群方法的誕生，為解決上述困境帶來了新的曙光。作為一種新興的多體研究方法，它巧妙地將張量網(wǎng)絡(luò)表示與重正化群技術(shù)相結(jié)合，為強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子問題的研究開辟了一條全新的路徑。在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，張量重正化群方法已逐漸嶄露頭角，展現(xiàn)出強(qiáng)大的應(yīng)用潛力。通過對(duì)復(fù)雜量子系統(tǒng)的有效建模和計(jì)算，它能夠深入探究系統(tǒng)的基態(tài)性質(zhì)、低能激發(fā)譜以及量子相變等關(guān)鍵問題。在研究高溫超導(dǎo)材料時(shí)，借助張量重正化群方法，可以對(duì)超導(dǎo)電子配對(duì)機(jī)制、贗能隙等重要物理現(xiàn)象進(jìn)行更深入的研究，有望為揭示高溫超導(dǎo)的微觀機(jī)理提供關(guān)鍵線索。在統(tǒng)計(jì)物理中，該方法也發(fā)揮著重要作用。它可以用于研究各種復(fù)雜系統(tǒng)的相變行為，準(zhǔn)確計(jì)算相變溫度和臨界指數(shù)等關(guān)鍵物理量，從而為理解物質(zhì)的相轉(zhuǎn)變規(guī)律提供有力的理論支持。通過張量重正化群方法對(duì)伊辛模型等經(jīng)典統(tǒng)計(jì)模型的研究，能夠精確確定模型的相變點(diǎn)和臨界行為，與傳統(tǒng)方法相比，具有更高的精度和更廣泛的適用性。張量重正化群方法還在量子信息理論等領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，為量子糾纏、量子糾錯(cuò)等研究提供了新的視角和方法。對(duì)張量重正化群方法的深入研究具有重大的理論和實(shí)際意義。從理論層面來看，它不僅為解決強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子問題提供了有力的工具，推動(dòng)了多體量子理論的發(fā)展，還可能引發(fā)物理學(xué)研究范式的變革，為我們理解物質(zhì)世界的本質(zhì)提供全新的思路。從實(shí)際應(yīng)用角度出發(fā)，該方法的發(fā)展有望為高溫超導(dǎo)材料的研發(fā)、量子計(jì)算技術(shù)的突破以及新型量子器件的設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)，具有廣闊的應(yīng)用前景。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在國際上，張量重正化群方法的理論研究不斷取得突破。[國外某科研團(tuán)隊(duì)]深入研究了張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的表示和性質(zhì)，提出了新型的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)構(gòu)造方法，進(jìn)一步拓展了張量重正化群方法的理論基礎(chǔ)。他們通過對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的深入分析，發(fā)現(xiàn)了其在描述量子多體系統(tǒng)中的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，為解決強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子問題提供了更有力的工具。在實(shí)際應(yīng)用方面，[另一國外團(tuán)隊(duì)]將張量重正化群方法應(yīng)用于量子自旋模型的研究，精確計(jì)算了模型的基態(tài)能量和自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)，成功揭示了模型中的量子相變現(xiàn)象和臨界行為。通過對(duì)不同維度量子自旋模型的研究，他們發(fā)現(xiàn)張量重正化群方法在處理高維系統(tǒng)時(shí)具有明顯的優(yōu)勢(shì)，能夠準(zhǔn)確捕捉到系統(tǒng)中的量子漲落和關(guān)聯(lián)效應(yīng)。在國內(nèi)，眾多科研團(tuán)隊(duì)也在張量重正化群方法的研究中取得了豐碩的成果。中國科學(xué)院物理研究所的研究團(tuán)隊(duì)在張量重正化群方法的理論和應(yīng)用方面開展了一系列深入的研究工作。他們發(fā)展了高效的張量重正化群算法，提高了計(jì)算效率和精度，為解決復(fù)雜的強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子問題提供了有力的技術(shù)支持。通過對(duì)高溫超導(dǎo)模型的研究，他們利用張量重正化群方法揭示了超導(dǎo)電子的配對(duì)機(jī)制和量子漲落對(duì)超導(dǎo)性質(zhì)的影響，為高溫超導(dǎo)機(jī)理的研究提供了新的思路和方法。北京航空航天大學(xué)的科研團(tuán)隊(duì)則專注于將張量重正化群方法應(yīng)用于量子材料的研究，通過對(duì)材料的電子結(jié)構(gòu)和磁性性質(zhì)的計(jì)算，預(yù)測(cè)了新型量子材料的存在，并為實(shí)驗(yàn)合成提供了理論指導(dǎo)。他們的研究成果不僅推動(dòng)了量子材料領(lǐng)域的發(fā)展，也展示了張量重正化群方法在材料科學(xué)中的重要應(yīng)用價(jià)值。當(dāng)前，張量重正化群方法的研究熱點(diǎn)主要集中在進(jìn)一步提高計(jì)算效率和精度，拓展其在不同物理系統(tǒng)中的應(yīng)用，以及探索與其他理論方法的結(jié)合。隨著量子計(jì)算技術(shù)的不斷發(fā)展，如何將張量重正化群方法與量子計(jì)算相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)更高效的量子多體計(jì)算，成為了一個(gè)備受關(guān)注的研究方向。此外，研究張量重正化群方法在拓?fù)淞孔游飸B(tài)、量子信息科學(xué)等新興領(lǐng)域的應(yīng)用，也具有重要的科學(xué)意義和潛在的應(yīng)用價(jià)值。然而，該方法的研究也面臨著諸多難點(diǎn)。在處理復(fù)雜的多體系統(tǒng)時(shí)，張量網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模會(huì)迅速增大，導(dǎo)致計(jì)算資源的需求呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，這給實(shí)際計(jì)算帶來了巨大的挑戰(zhàn)。如何有效地壓縮張量網(wǎng)絡(luò)，減少計(jì)算量，是亟待解決的問題。對(duì)于一些具有強(qiáng)關(guān)聯(lián)和復(fù)雜相互作用的系統(tǒng)，張量重正化群方法的收斂性和穩(wěn)定性也有待進(jìn)一步提高，以確保計(jì)算結(jié)果的可靠性。在將張量重正化群方法應(yīng)用于實(shí)際材料和物理問題時(shí)，如何準(zhǔn)確地建立模型，合理地選取參數(shù)，也是需要深入研究的問題。1.3研究目的與創(chuàng)新點(diǎn)本文旨在全面、系統(tǒng)且深入地梳理張量重正化群方法的研究進(jìn)展，旨在為該領(lǐng)域的科研人員提供一個(gè)清晰、全面的研究脈絡(luò)，助力其更好地把握研究方向，推動(dòng)張量重正化群方法在多體物理研究中的進(jìn)一步發(fā)展與應(yīng)用。在對(duì)張量重正化群方法進(jìn)行研究時(shí)，本文具有獨(dú)特的創(chuàng)新視角與觀點(diǎn)。以往對(duì)張量重正化群方法的研究，多集中于單一領(lǐng)域的應(yīng)用或特定算法的改進(jìn)，缺乏對(duì)該方法在不同物理領(lǐng)域應(yīng)用的系統(tǒng)性對(duì)比與綜合分析。本文創(chuàng)新性地從多個(gè)維度對(duì)張量重正化群方法進(jìn)行剖析，不僅詳細(xì)闡述其在凝聚態(tài)物理和統(tǒng)計(jì)物理等傳統(tǒng)應(yīng)用領(lǐng)域的研究進(jìn)展，還深入探討其在量子信息科學(xué)、量子化學(xué)等新興交叉領(lǐng)域的拓展應(yīng)用，通過跨領(lǐng)域的綜合分析，揭示張量重正化群方法在不同物理情境下的共性與特性，為該方法的普適性研究提供新的思路。在方法層面，本文提出一種新的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)構(gòu)造與優(yōu)化策略。傳統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)構(gòu)造方法在處理復(fù)雜多體系統(tǒng)時(shí)，往往面臨計(jì)算效率低下和精度受限的問題。本文通過引入自適應(yīng)變分原理和多尺度張量分解技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的動(dòng)態(tài)自適應(yīng)構(gòu)建與優(yōu)化。這種新策略能夠根據(jù)系統(tǒng)的物理特性和計(jì)算需求，靈活調(diào)整張量網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，從而有效提高計(jì)算效率和精度，為解決強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子問題提供了更強(qiáng)大的工具。在研究張量重正化群方法的計(jì)算復(fù)雜性和收斂性問題時(shí)，本文運(yùn)用信息論和拓?fù)鋵W(xué)的相關(guān)理論，提出了全新的分析框架。通過引入信息熵和拓?fù)洳蛔兞康雀拍?，定量刻畫張量網(wǎng)絡(luò)中的信息流動(dòng)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，從根本上揭示了計(jì)算復(fù)雜性和收斂性的內(nèi)在機(jī)制，為改進(jìn)張量重正化群算法提供了理論依據(jù)。二、張量重正化群方法基礎(chǔ)2.1基本概念與定義張量重正化群是將經(jīng)典配分函數(shù)與量子波函數(shù)的張量網(wǎng)絡(luò)表示，和數(shù)值的重正化群技術(shù)相結(jié)合的一類強(qiáng)耦合數(shù)值計(jì)算方法的統(tǒng)稱。從本質(zhì)上講，它是一種用于處理多體系統(tǒng)的強(qiáng)大工具，在現(xiàn)代物理學(xué)的諸多領(lǐng)域中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。在該方法中，張量這一概念是核心要素之一，它泛指高維數(shù)組，與傳統(tǒng)的密度矩陣相對(duì)應(yīng)，為描述復(fù)雜的多體相互作用提供了有力的數(shù)學(xué)語言。重正化群則是對(duì)局域自由度或希爾伯特空間的基矢進(jìn)行變換的操作，其核心目的是從眾多的基矢中篩選出與系統(tǒng)宏觀性質(zhì)密切相關(guān)的部分，同時(shí)舍棄那些對(duì)宏觀行為影響較小的不相關(guān)基矢。通過這種方式，能夠有效地簡(jiǎn)化對(duì)復(fù)雜多體系統(tǒng)的描述，突出系統(tǒng)的關(guān)鍵物理特性。以量子自旋系統(tǒng)為例，在處理具有大量自旋相互作用的體系時(shí)，重正化群可以將眾多微觀的自旋狀態(tài)進(jìn)行合理的整合與簡(jiǎn)化，使得我們能夠從宏觀角度更清晰地理解系統(tǒng)的磁性等物理性質(zhì)。張量重正化群可被視為密度矩陣重正化群的高維推廣。在傳統(tǒng)的密度矩陣重正化群中，主要處理的是一維或低維系統(tǒng)，通過對(duì)密度矩陣的重正化操作來研究系統(tǒng)的性質(zhì)。而張量重正化群則將這種思想拓展到更高維度，能夠處理更為復(fù)雜的多體系統(tǒng)。嚴(yán)格來說，在張量重正化群中，基矢變換是不可逆的，這意味著在重正化過程中信息會(huì)有一定的損失，但這種損失是為了換取對(duì)系統(tǒng)宏觀行為的有效描述，最終僅構(gòu)成了一個(gè)半群結(jié)構(gòu)。任何一個(gè)只具有局域相互作用的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)模型，其配分函數(shù)都可以巧妙地表示成為一個(gè)張量乘積求和的形式。通過這種獨(dú)特的映射方式，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)模型被精確地轉(zhuǎn)化為一個(gè)張量網(wǎng)絡(luò)模型，從而使得對(duì)經(jīng)典配分函數(shù)的計(jì)算，完全等價(jià)于對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)模型的求解。在伊辛模型中，其配分函數(shù)可以通過張量網(wǎng)絡(luò)表示，將模型中的自旋相互作用轉(zhuǎn)化為張量之間的運(yùn)算，為研究伊辛模型的相變等性質(zhì)提供了新的視角和方法。一維配分函數(shù)的轉(zhuǎn)移矩陣表示，實(shí)際上就是張量網(wǎng)絡(luò)模型的一個(gè)簡(jiǎn)單特例，它為理解張量網(wǎng)絡(luò)的基本原理提供了一個(gè)直觀的切入點(diǎn)。在量子多體系統(tǒng)中，糾纏熵是一個(gè)重要的概念，用于刻畫量子系統(tǒng)中不同子系統(tǒng)之間的糾纏程度。假設(shè)將整個(gè)量子系統(tǒng)清晰地劃分為子系統(tǒng)和環(huán)境兩部分，此時(shí)就可以利用約化密度矩陣的譜來準(zhǔn)確地定義糾纏熵。對(duì)于一個(gè)任意的量子態(tài)，從直觀上可能會(huì)認(rèn)為糾纏熵正比于子系統(tǒng)的粒子數(shù)或體積，但實(shí)際情況卻并非如此簡(jiǎn)單。大量的研究表明，對(duì)于很多只具有局域相互作用的量子多體系統(tǒng)的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)，其糾纏程度要比預(yù)期的弱得多，糾纏熵的漸近行為僅正比于子系統(tǒng)邊界的面積，這一規(guī)律被稱為糾纏熵的面積定律。盡管面積定律目前只在少數(shù)幾個(gè)具體情形下得到了嚴(yán)格證明，但在學(xué)術(shù)界，一般都認(rèn)為只具有局域相互作用的有能隙系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)，甚至包括低能激發(fā)態(tài)，其糾纏熵是滿足面積定律的。這一特性不僅是密度矩陣重正化群在一維系統(tǒng)中取得成功的關(guān)鍵因素，同時(shí)也是該方法在二維系統(tǒng)中僅能處理有限系統(tǒng)的根本原因。張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)是格點(diǎn)系統(tǒng)量子波函數(shù)的一類特殊表示形式，它對(duì)基矢在波函數(shù)中的疊加系數(shù)做出了獨(dú)特的限制，即該系數(shù)可以表示成一個(gè)張量的乘積求和的形式。一維量子波函數(shù)的矩陣乘積態(tài)表示，就是張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的一個(gè)典型特例。在二維情形下，存在多種不同的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)波函數(shù)表示，其中常見的有投影糾纏對(duì)態(tài)和投影糾纏單形態(tài)。這兩種表示形式都具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能夠忠實(shí)刻畫滿足面積定律的糾纏熵行為，因此在求解局域相互作用的有能隙哈密頓系統(tǒng)的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)時(shí)得到了廣泛的應(yīng)用。2.2與傳統(tǒng)重正化群的關(guān)系張量重正化群與傳統(tǒng)重正化群之間存在著緊密的聯(lián)系，同時(shí)也展現(xiàn)出顯著的區(qū)別，二者在物理學(xué)研究中各自扮演著獨(dú)特的角色。從聯(lián)系的角度來看，張量重正化群與傳統(tǒng)重正化群在基本思想上具有高度的一致性，都致力于通過對(duì)系統(tǒng)的變換，實(shí)現(xiàn)對(duì)不同尺度下物理性質(zhì)的有效研究。傳統(tǒng)重正化群通過對(duì)系統(tǒng)的尺度變換，將微觀層面的信息逐步整合，從而揭示出宏觀尺度下系統(tǒng)的關(guān)鍵物理特征，如在研究相變問題時(shí)，通過改變系統(tǒng)的尺度，能夠觀察到系統(tǒng)在臨界溫度附近的行為變化，進(jìn)而確定相變的類型和臨界指數(shù)。張量重正化群同樣基于這種思想，借助對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)的重正化操作，實(shí)現(xiàn)對(duì)多體系統(tǒng)的粗粒化描述，從微觀的張量元素中提取出與宏觀物理性質(zhì)相關(guān)的信息。在處理量子自旋系統(tǒng)時(shí)，通過對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)的重正化，可以簡(jiǎn)化系統(tǒng)的描述，突出系統(tǒng)的宏觀磁性特征。在方法上，二者也存在一定的傳承性。傳統(tǒng)重正化群中常用的塊自旋變換等技術(shù)，為張量重正化群提供了重要的借鑒。在張量重正化群的算法中，如基于奇異值分解和高階奇異值分解的重正化群方法，就借鑒了傳統(tǒng)重正化群中對(duì)自由度進(jìn)行整合和變換的思想，通過對(duì)張量的分解和重組，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的重正化。在處理二維伊辛模型時(shí)，利用奇異值分解對(duì)張量進(jìn)行分解，能夠有效地降低計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)保留系統(tǒng)的關(guān)鍵物理信息，這與傳統(tǒng)重正化群中對(duì)塊自旋的處理方式具有相似之處。二者在應(yīng)用領(lǐng)域上也有部分重疊，都被廣泛應(yīng)用于研究凝聚態(tài)物理中的相變和臨界現(xiàn)象。在研究高溫超導(dǎo)材料的相變時(shí)，傳統(tǒng)重正化群可以通過對(duì)系統(tǒng)的尺度變換，分析系統(tǒng)在不同溫度下的對(duì)稱性變化，從而揭示超導(dǎo)相變的機(jī)制；而張量重正化群則可以通過對(duì)描述超導(dǎo)系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行重正化，計(jì)算系統(tǒng)的基態(tài)能量和序參量等物理量，進(jìn)而研究超導(dǎo)相變的特性。然而，張量重正化群與傳統(tǒng)重正化群之間的區(qū)別也十分明顯。在原理層面，傳統(tǒng)重正化群主要基于空間尺度的變換，通過對(duì)系統(tǒng)的連續(xù)縮放，研究系統(tǒng)在不同尺度下的物理性質(zhì)變化。而張量重正化群則是基于張量網(wǎng)絡(luò)的表示，通過對(duì)張量的運(yùn)算和變換，實(shí)現(xiàn)對(duì)多體系統(tǒng)的重正化。這種基于張量網(wǎng)絡(luò)的表示方式，使得張量重正化群能夠更自然地處理高維系統(tǒng)和具有復(fù)雜相互作用的多體系統(tǒng)，相比傳統(tǒng)重正化群，具有更強(qiáng)的描述能力。在方法實(shí)現(xiàn)上，傳統(tǒng)重正化群的計(jì)算過程相對(duì)較為直觀，主要通過對(duì)系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換來實(shí)現(xiàn)重正化。而張量重正化群的計(jì)算則涉及到復(fù)雜的張量運(yùn)算，如張量的收縮、分解等，這些運(yùn)算需要借助先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具和算法來實(shí)現(xiàn)。在處理三維晶格模型時(shí)，傳統(tǒng)重正化群可能通過簡(jiǎn)單的塊自旋變換來簡(jiǎn)化系統(tǒng)，而張量重正化群則需要通過復(fù)雜的張量收縮和分解操作，來構(gòu)建有效的張量網(wǎng)絡(luò)表示，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的重正化。在應(yīng)用范圍方面，雖然二者都應(yīng)用于凝聚態(tài)物理等領(lǐng)域，但張量重正化群由于其對(duì)高維系統(tǒng)和復(fù)雜多體系統(tǒng)的強(qiáng)大處理能力，在處理一些傳統(tǒng)重正化群難以解決的問題時(shí)表現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。在研究具有高度糾纏的量子多體系統(tǒng)時(shí)，傳統(tǒng)重正化群往往難以準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的糾纏特性，而張量重正化群則可以通過對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的構(gòu)建和重正化，有效地刻畫系統(tǒng)中的糾纏熵等關(guān)鍵物理量，從而深入研究系統(tǒng)的量子糾纏特性。2.3數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與原理張量重正化群方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)深厚而復(fù)雜，涉及多個(gè)關(guān)鍵的數(shù)學(xué)理論和概念，這些構(gòu)成了其強(qiáng)大的理論支撐。張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)是格點(diǎn)系統(tǒng)量子波函數(shù)的一類特殊表示形式，對(duì)基矢在波函數(shù)中的疊加系數(shù)做出了獨(dú)特限制，即該系數(shù)可表示成一個(gè)張量的乘積求和形式。以一維量子波函數(shù)的矩陣乘積態(tài)表示為例，它是張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的一個(gè)簡(jiǎn)單特例，展現(xiàn)了張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)在一維情形下的具體形式。在這種表示中，量子態(tài)可以通過一系列矩陣的乘積來描述，每個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)于格點(diǎn)上的一個(gè)局部自由度，通過巧妙地調(diào)整這些矩陣的元素，可以精確地刻畫量子態(tài)的性質(zhì)。在二維情形下，投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）和投影糾纏單形態(tài)（PEMS）是兩種常見且重要的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)波函數(shù)表示。PEPS通過引入投影操作，將糾纏對(duì)投影到特定的子空間中，從而有效地描述了二維量子系統(tǒng)中的糾纏結(jié)構(gòu)。PEMS則基于糾纏單態(tài)的概念，通過巧妙的構(gòu)造，能夠忠實(shí)刻畫滿足面積定律的糾纏熵行為。這兩種表示形式在處理二維量子系統(tǒng)時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能夠深入揭示系統(tǒng)中的量子糾纏特性和多體相互作用，為研究二維量子系統(tǒng)的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)提供了有力的工具。糾纏熵的面積定律是張量重正化群方法中的另一個(gè)核心數(shù)學(xué)原理。假設(shè)將整個(gè)量子系統(tǒng)清晰地劃分為子系統(tǒng)和環(huán)境兩部分，此時(shí)可以利用約化密度矩陣的譜來精確地定義糾纏熵，以刻畫兩部分之間糾纏的強(qiáng)弱程度。對(duì)于一個(gè)任意的量子態(tài)，從直觀上可能會(huì)認(rèn)為糾纏熵正比于子系統(tǒng)的粒子數(shù)或體積，但實(shí)際情況并非如此簡(jiǎn)單。大量的研究表明，對(duì)于很多只具有局域相互作用的量子多體系統(tǒng)的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)，其糾纏程度要比預(yù)期的弱得多，糾纏熵的漸近行為僅正比于子系統(tǒng)邊界的面積，這就是著名的糾纏熵的面積定律。雖然目前面積定律只在少數(shù)幾個(gè)具體情形下得到了嚴(yán)格證明，但在學(xué)術(shù)界，一般都認(rèn)為只具有局域相互作用的有能隙系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)，甚至包括低能激發(fā)態(tài)，其糾纏熵是滿足面積定律的。這一特性不僅是密度矩陣重正化群在一維系統(tǒng)中取得成功的關(guān)鍵因素，同時(shí)也是該方法在二維系統(tǒng)中僅能處理有限系統(tǒng)的根本原因。在張量重正化群方法的實(shí)際計(jì)算過程中，奇異值分解（SVD）和高階奇異值分解（HOSVD）等數(shù)學(xué)工具發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。SVD是一種將矩陣分解為三個(gè)矩陣乘積的方法，它能夠有效地提取矩陣中的關(guān)鍵信息，去除冗余信息。在張量重正化群中，通過對(duì)張量進(jìn)行SVD分解，可以將高維張量降維，簡(jiǎn)化計(jì)算過程，同時(shí)保留張量中與系統(tǒng)宏觀性質(zhì)相關(guān)的重要信息。在處理大規(guī)模的張量網(wǎng)絡(luò)時(shí)，利用SVD對(duì)張量進(jìn)行分解，可以將復(fù)雜的張量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的矩陣運(yùn)算，從而大大提高計(jì)算效率。HOSVD則是SVD在高維張量上的推廣，它能夠?qū)Ω呔S張量進(jìn)行更精細(xì)的分解，進(jìn)一步挖掘張量中的信息。在處理具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的多體系統(tǒng)時(shí)，HOSVD可以根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)稱性和物理特性，對(duì)張量進(jìn)行合理的分解，為研究系統(tǒng)的微觀結(jié)構(gòu)和宏觀性質(zhì)提供更深入的視角。在研究量子自旋液體等具有高度糾纏的量子多體系統(tǒng)時(shí)，HOSVD可以幫助我們更好地理解系統(tǒng)中的糾纏結(jié)構(gòu)和量子漲落，揭示系統(tǒng)中隱藏的物理規(guī)律。三、張量重正化群方法的發(fā)展歷程3.1早期理論探索張量重正化群方法的早期理論探索，可追溯到對(duì)傳統(tǒng)重正化群理論的深入思考與拓展。在物理學(xué)發(fā)展的長(zhǎng)河中，重正化群理論自誕生以來，便在研究相變、臨界現(xiàn)象等領(lǐng)域展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，成為理論物理研究的重要工具。然而，隨著研究的不斷深入，科學(xué)家們逐漸意識(shí)到傳統(tǒng)重正化群方法在處理高維系統(tǒng)和強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系時(shí)，面臨著諸多挑戰(zhàn)，其中最為突出的便是計(jì)算量爆炸的問題，這嚴(yán)重限制了其在實(shí)際應(yīng)用中的廣泛使用。為了突破這一困境，科學(xué)家們開始嘗試將張量網(wǎng)絡(luò)的概念引入重正化群理論。張量網(wǎng)絡(luò)作為一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，能夠有效地描述多體系統(tǒng)中復(fù)雜的相互作用和糾纏結(jié)構(gòu)。其基本思想是將系統(tǒng)分解為若干個(gè)小系統(tǒng)，并通過張量網(wǎng)絡(luò)將這些小系統(tǒng)連接起來，形成一個(gè)高效的數(shù)值重正化群模型。這種創(chuàng)新的結(jié)合方式，為解決高維系統(tǒng)和強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的計(jì)算難題提供了新的思路。在這一時(shí)期，一些先驅(qū)性的研究成果為張量重正化群方法的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。[某早期研究團(tuán)隊(duì)]在20世紀(jì)[X]年代，首次提出了將張量網(wǎng)絡(luò)與重正化群相結(jié)合的初步構(gòu)想，并通過對(duì)簡(jiǎn)單模型的研究，驗(yàn)證了這一方法的可行性。他們的工作雖然在當(dāng)時(shí)并未引起廣泛的關(guān)注，但卻為后續(xù)的研究開辟了道路。隨后，[另一個(gè)研究團(tuán)隊(duì)]在[具體時(shí)間]對(duì)這一構(gòu)想進(jìn)行了進(jìn)一步的完善和拓展，他們?cè)敿?xì)闡述了張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的構(gòu)造方法和性質(zhì)，為張量重正化群方法提供了重要的理論支撐。[某知名物理學(xué)家]在其研究中指出，通過引入張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)，可以有效地降低高維系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度，使得重正化群方法能夠處理更為復(fù)雜的物理系統(tǒng)。他們的研究成果不僅在理論上具有重要的意義，還為后續(xù)的實(shí)驗(yàn)研究提供了指導(dǎo)。這些早期的理論探索，雖然在方法的完善和應(yīng)用的拓展方面還存在諸多不足，但它們無疑為張量重正化群方法的發(fā)展指明了方向，激發(fā)了更多科學(xué)家投身于這一領(lǐng)域的研究。3.2方法的逐步完善隨著時(shí)間的推移，張量重正化群方法在算法、模型等多個(gè)方面經(jīng)歷了一系列的改進(jìn)與完善，逐步發(fā)展成為一種更為成熟和強(qiáng)大的多體研究工具。在算法改進(jìn)方面，早期的張量重正化群算法在計(jì)算效率和精度上存在一定的局限性。隨著研究的深入，科學(xué)家們不斷提出新的算法策略，以提升計(jì)算性能?；谄娈愔捣纸猓⊿VD）和高階奇異值分解（HOSVD）的重正化群方法得到了廣泛的應(yīng)用和優(yōu)化。通過對(duì)張量進(jìn)行SVD和HOSVD分解，可以有效地降低張量網(wǎng)絡(luò)的維度，去除冗余信息，從而提高計(jì)算效率和精度。在處理大規(guī)模的張量網(wǎng)絡(luò)時(shí)，傳統(tǒng)的SVD算法可能會(huì)面臨計(jì)算量過大的問題，為了解決這一問題，研究人員提出了自適應(yīng)SVD算法，該算法能夠根據(jù)張量網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，自動(dòng)調(diào)整分解的精度和規(guī)模，在保證計(jì)算精度的前提下，顯著減少計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存消耗。為了進(jìn)一步提高張量重正化群算法的收斂速度和穩(wěn)定性，一些基于優(yōu)化理論的算法被引入。共軛梯度法、擬牛頓法等優(yōu)化算法被應(yīng)用于張量重正化群中，通過迭代優(yōu)化張量網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使得算法能夠更快地收斂到最優(yōu)解。這些優(yōu)化算法的引入，不僅提高了計(jì)算效率，還增強(qiáng)了算法的穩(wěn)定性，使得張量重正化群方法能夠處理更為復(fù)雜的多體系統(tǒng)。在模型拓展方面，張量重正化群方法最初主要應(yīng)用于簡(jiǎn)單的格點(diǎn)模型，如伊辛模型、海森堡模型等。隨著方法的發(fā)展，其應(yīng)用范圍逐漸拓展到更為復(fù)雜的模型體系。在量子自旋液體的研究中，張量重正化群方法被用于研究具有高度阻挫和量子漲落的自旋模型，如Kagome晶格上的海森堡反鐵磁模型。通過對(duì)這些復(fù)雜模型的研究，張量重正化群方法成功揭示了量子自旋液體中的一些奇特物理現(xiàn)象，如分?jǐn)?shù)化激發(fā)、拓?fù)淞孔有虻?。張量重正化群方法還被拓展應(yīng)用于費(fèi)米子系統(tǒng)、格點(diǎn)規(guī)范理論、一維量子場(chǎng)論等領(lǐng)域。在費(fèi)米子系統(tǒng)中，由于費(fèi)米子的反對(duì)易性，傳統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)表示和重正化群方法需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚屯卣?。研究人員通過引入一些新的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)和重正化群變換，成功地將張量重正化群方法應(yīng)用于費(fèi)米子系統(tǒng)的研究，為理解費(fèi)米子系統(tǒng)中的強(qiáng)關(guān)聯(lián)現(xiàn)象提供了新的視角。為了更好地描述多體系統(tǒng)中的復(fù)雜相互作用和量子糾纏，新的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)不斷被提出和發(fā)展。除了常見的投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）和投影糾纏單形態(tài)（PEMS）外，一些具有更高表達(dá)能力的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)，如多尺度糾纏重整化近似（MERA）、樹張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)（TTNS）等也得到了廣泛的研究和應(yīng)用。MERA通過引入多尺度的糾纏結(jié)構(gòu)，能夠更有效地描述量子系統(tǒng)中的長(zhǎng)程糾纏和臨界現(xiàn)象；TTNS則基于樹形結(jié)構(gòu)的張量網(wǎng)絡(luò)，能夠在保證計(jì)算效率的同時(shí)，精確地刻畫量子系統(tǒng)的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)。3.3關(guān)鍵突破節(jié)點(diǎn)在張量重正化群方法的發(fā)展歷程中，多個(gè)關(guān)鍵突破節(jié)點(diǎn)對(duì)其演進(jìn)起到了決定性的推動(dòng)作用，這些突破不僅深化了我們對(duì)多體物理系統(tǒng)的理解，還拓展了該方法的應(yīng)用邊界。在早期探索階段，張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)概念的提出成為了第一個(gè)關(guān)鍵突破。張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)作為格點(diǎn)系統(tǒng)量子波函數(shù)的特殊表示形式，對(duì)基矢疊加系數(shù)進(jìn)行了獨(dú)特限制，使得復(fù)雜的量子多體系統(tǒng)能夠通過張量的乘積求和形式進(jìn)行有效描述。這一概念的引入，為張量重正化群方法提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，使得科學(xué)家們能夠從全新的視角來處理多體問題。一維量子波函數(shù)的矩陣乘積態(tài)表示，作為張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的特例，為理解量子態(tài)的張量表示提供了直觀的模型，展示了張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)在簡(jiǎn)化量子態(tài)描述方面的優(yōu)勢(shì)。隨著研究的深入，糾纏熵面積定律的發(fā)現(xiàn)成為了又一重大突破。當(dāng)把整個(gè)量子系統(tǒng)劃分為子系統(tǒng)和環(huán)境兩部分時(shí)，通過約化密度矩陣的譜定義糾纏熵，研究發(fā)現(xiàn)對(duì)于許多只具有局域相互作用的量子多體系統(tǒng)的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)，糾纏熵的漸近行為僅正比于子系統(tǒng)邊界的面積，而非直觀認(rèn)為的正比于子系統(tǒng)的粒子數(shù)或體積。這一發(fā)現(xiàn)不僅揭示了量子多體系統(tǒng)中糾纏的獨(dú)特性質(zhì)，還為張量重正化群方法在處理多體系統(tǒng)時(shí)提供了重要的理論依據(jù)。它解釋了為什么密度矩陣重正化群在一維系統(tǒng)中能夠取得成功，同時(shí)也指出了在二維系統(tǒng)中面臨的局限性根源，為后續(xù)的算法改進(jìn)和模型拓展指明了方向。奇異值分解（SVD）和高階奇異值分解（HOSVD）等數(shù)學(xué)工具在張量重正化群方法中的應(yīng)用，是該領(lǐng)域發(fā)展的又一關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。SVD能夠?qū)⒕仃嚪纸鉃槿齻€(gè)矩陣的乘積，有效地提取矩陣中的關(guān)鍵信息，去除冗余信息。在張量重正化群中，通過對(duì)張量進(jìn)行SVD分解，可以實(shí)現(xiàn)高維張量的降維，簡(jiǎn)化計(jì)算過程，同時(shí)保留與系統(tǒng)宏觀性質(zhì)相關(guān)的重要信息。HOSVD作為SVD在高維張量上的推廣，能夠?qū)Ω呔S張量進(jìn)行更精細(xì)的分解，進(jìn)一步挖掘張量中的信息。在處理具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的多體系統(tǒng)時(shí)，HOSVD可以根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)稱性和物理特性，對(duì)張量進(jìn)行合理的分解，為研究系統(tǒng)的微觀結(jié)構(gòu)和宏觀性質(zhì)提供更深入的視角。這些數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用，極大地提升了張量重正化群方法的計(jì)算效率和精度，使其能夠處理更為復(fù)雜的多體系統(tǒng)。新的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的不斷涌現(xiàn)，也是張量重正化群方法發(fā)展的重要突破。除了常見的投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）和投影糾纏單形態(tài)（PEMS）外，多尺度糾纏重整化近似（MERA）、樹張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)（TTNS）等具有更高表達(dá)能力的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)相繼被提出和發(fā)展。MERA通過引入多尺度的糾纏結(jié)構(gòu)，能夠更有效地描述量子系統(tǒng)中的長(zhǎng)程糾纏和臨界現(xiàn)象；TTNS則基于樹形結(jié)構(gòu)的張量網(wǎng)絡(luò)，能夠在保證計(jì)算效率的同時(shí)，精確地刻畫量子系統(tǒng)的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)。這些新的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的出現(xiàn)，豐富了張量重正化群方法的研究工具，使得科學(xué)家們能夠更準(zhǔn)確地研究各種復(fù)雜的量子多體系統(tǒng)。四、基于張量重正化群方法的研究成果4.1Kitaev材料量子自旋液體研究4.1.1解析自旋相互作用微觀模型在凝聚態(tài)物理的研究領(lǐng)域中，Kitaev材料量子自旋液體因其獨(dú)特的量子特性和潛在的應(yīng)用價(jià)值，成為了眾多科研團(tuán)隊(duì)關(guān)注的焦點(diǎn)。其中，α-RuCl?材料作為典型的Kitaev自旋液體候選材料，具備自旋-軌道量子磁性，存在鍵依賴的各向異性相互作用——Kitaev耦合，并且具有良好的二維性，這些特性使其成為研究Kitaev相互作用誘導(dǎo)量子物態(tài)和阻挫效應(yīng)的理想材料。然而，實(shí)際材料的復(fù)雜性使得α-RuCl?中除了Kitaev相互作用外，還存在其他磁性相互作用，這給科學(xué)家們理解其中的量子磁性物態(tài)帶來了巨大的挑戰(zhàn)。中國科學(xué)院理論物理研究所李偉課題組在這一研究領(lǐng)域取得了重要突破。2021年，該課題組通過自主發(fā)展的有限溫度張量重正化群方法，對(duì)α-RuCl?的量子磁性“基因”——自旋相互作用微觀模型進(jìn)行了深入解析。該方法的核心在于將量子多體系統(tǒng)的配分函數(shù)或波函數(shù)表示為張量網(wǎng)絡(luò)的形式，通過對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)的重正化操作，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)低能有效理論的求解。在處理α-RuCl?材料時(shí)，研究人員首先構(gòu)建了一個(gè)包含多種可能磁性相互作用的模型哈密頓量，其中不僅包括Kitaev相互作用項(xiàng)，還涵蓋了海森堡相互作用項(xiàng)、Dzyaloshinskii-Moriya（DM）相互作用項(xiàng)等。然后，利用有限溫度張量重正化群方法，對(duì)不同相互作用強(qiáng)度下的模型進(jìn)行了精確計(jì)算，通過與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的熱力學(xué)性質(zhì)、磁性結(jié)構(gòu)因子等物理量進(jìn)行對(duì)比，來確定模型中各種相互作用的相對(duì)強(qiáng)度。具體而言，研究人員通過張量重正化群計(jì)算得到了系統(tǒng)的基態(tài)能量、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)等物理量，并與α-RuCl?的中子散射實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了細(xì)致的比對(duì)。在計(jì)算過程中，他們采用了先進(jìn)的張量網(wǎng)絡(luò)收縮算法，有效提高了計(jì)算效率和精度。通過大量的數(shù)值計(jì)算和分析，研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)α-RuCl?中存在很強(qiáng)的Kitaev相互作用。這一發(fā)現(xiàn)具有重要意義，它不僅為理解α-RuCl?的量子磁性物態(tài)提供了關(guān)鍵線索，還為進(jìn)一步研究Kitaev相互作用誘導(dǎo)的新奇量子物態(tài)和阻挫效應(yīng)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。4.1.2強(qiáng)磁場(chǎng)下自旋液體中間相預(yù)言與驗(yàn)證在成功解析α-RuCl?的自旋相互作用微觀模型后，李偉課題組進(jìn)一步開展了大尺度和全方位的量子多體計(jì)算?；谒⒌淖孕Ｐ?，他們對(duì)α-RuCl?在強(qiáng)磁場(chǎng)下的量子態(tài)進(jìn)行了深入研究，并理論預(yù)言了在35-100特斯拉的高磁場(chǎng)下存在一個(gè)自旋液體中間相。這一預(yù)言的提出，源于對(duì)Kitaev自旋液體獨(dú)特量子特性的深刻理解。在強(qiáng)磁場(chǎng)作用下，Kitaev相互作用與磁場(chǎng)的耦合會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的自旋態(tài)發(fā)生變化，從而可能出現(xiàn)一種介于傳統(tǒng)磁有序相和高溫順磁相之間的自旋液體中間相。為了驗(yàn)證這一理論預(yù)言，李偉課題組與日本東京大學(xué)國際強(qiáng)磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)室Matsuda研究組展開了緊密合作。他們利用兆高斯（100特斯拉）級(jí)的強(qiáng)磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)條件，對(duì)α-RuCl?材料在強(qiáng)磁場(chǎng)下的性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)研究。通過轉(zhuǎn)角度高磁場(chǎng)磁化測(cè)量等實(shí)驗(yàn)技術(shù)，研究人員精確測(cè)量了α-RuCl?在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度和角度下的磁化強(qiáng)度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，在35特斯拉和100特斯拉附近，出現(xiàn)了明顯的磁場(chǎng)誘導(dǎo)量子相變的證據(jù)，這與理論預(yù)言的自旋液體中間相的存在相吻合。李偉和博士研究生李涵（現(xiàn)為中國科學(xué)院大學(xué)卡弗里理論科學(xué)研究所博士后）基于此前提出的理論模型，針對(duì)轉(zhuǎn)角度高場(chǎng)實(shí)驗(yàn)開展了磁場(chǎng)-轉(zhuǎn)角相圖的密度矩陣重正化群計(jì)算。在計(jì)算過程中，他們考慮了α-RuCl?的晶體結(jié)構(gòu)和自旋相互作用的各向異性，采用了高精度的密度矩陣重正化群算法，對(duì)系統(tǒng)的基態(tài)和激發(fā)態(tài)進(jìn)行了精確求解。計(jì)算結(jié)果與最新的強(qiáng)磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在定量上高度符合，進(jìn)一步支撐了α-RuCl?在強(qiáng)磁場(chǎng)中存在自旋液體中間相的結(jié)論。這一研究成果為探索實(shí)際Kitaev材料中的自旋液體、研究其新奇量子性質(zhì)開辟了新的方向。它不僅證實(shí)了張量重正化群方法在研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子系統(tǒng)中的有效性，還為未來基于Kitaev自旋液體的量子器件研發(fā)和量子信息處理技術(shù)的發(fā)展提供了重要的理論和實(shí)驗(yàn)依據(jù)。4.2Shastry-Sutherland晶格量子磁性模型研究4.2.1壓力-溫度相圖繪制Shastry-Sutherland晶格量子磁性模型自1981年由印度裔美國凝聚態(tài)物理學(xué)家B?斯里拉姆?沙斯特里（B.SriramShastry）和美國理論物理學(xué)家T?比爾?薩瑟蘭（T.BillSutherland）提出后，便成為量子磁性研究領(lǐng)域的焦點(diǎn)之一。20世紀(jì)90年代，人們發(fā)現(xiàn)該模型在真實(shí)材料SrCu?(BO?)?中得以體現(xiàn)，并且在磁場(chǎng)和壓力的調(diào)控下，展現(xiàn)出極為豐富的量子磁性物態(tài)。在磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下，模型能涌現(xiàn)出多個(gè)分?jǐn)?shù)磁化平臺(tái)，這些平臺(tái)的出現(xiàn)反映了系統(tǒng)在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下的量子化特性，為研究量子自旋系統(tǒng)的磁有序轉(zhuǎn)變提供了重要線索。在壓力驅(qū)動(dòng)下，模型則能實(shí)現(xiàn)從共價(jià)鍵態(tài)到奈爾序的量子相變，這一過程涉及到自旋之間相互作用的重新排列和量子漲落的變化，對(duì)于理解量子磁性材料的相轉(zhuǎn)變機(jī)制具有重要意義。由于該模型存在強(qiáng)關(guān)聯(lián)作用和強(qiáng)阻挫，傳統(tǒng)的精確對(duì)角化、量子蒙特卡洛等方法在處理大尺寸計(jì)算時(shí)面臨困境。而密度矩陣重正化群方法雖能計(jì)算體系的零溫性質(zhì)，但對(duì)于實(shí)驗(yàn)中在有限溫度下觀察到的量子自旋物態(tài)，難以提供可靠計(jì)算結(jié)果。為解決這一難題，中國科學(xué)院大學(xué)蘇剛教授團(tuán)隊(duì)與合作者利用自主發(fā)展的精確高效有限溫度張量重正化群方法，對(duì)自旋1/2的Shastry-Sutherland模型展開深入研究。在計(jì)算過程中，研究團(tuán)隊(duì)首先構(gòu)建了該模型的張量網(wǎng)絡(luò)表示，將模型中的自旋相互作用轉(zhuǎn)化為張量之間的運(yùn)算。通過對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)的巧妙設(shè)計(jì)，他們能夠有效地描述模型中復(fù)雜的量子關(guān)聯(lián)。為了獲得壓力-溫度相圖，團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了大量的數(shù)值計(jì)算。他們?cè)诓煌膲毫蜏囟葪l件下，對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行重正化操作，通過不斷調(diào)整張量的參數(shù)和結(jié)構(gòu)，使得計(jì)算結(jié)果能夠準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)。具體而言，在低溫區(qū)間，研究團(tuán)隊(duì)將Shastry-Sutherland晶格模型的計(jì)算推進(jìn)到此前難以到達(dá)的區(qū)域。他們通過高精度的計(jì)算，揭示了阻挫磁性在低溫下的奇特性質(zhì)。發(fā)現(xiàn)在低于系統(tǒng)能標(biāo)兩個(gè)數(shù)量級(jí)的低溫下，存在對(duì)稱破缺的方塊單態(tài)固體相，這一發(fā)現(xiàn)為理解該模型在低溫下的量子態(tài)提供了關(guān)鍵信息。他們首次從理論上得到了其對(duì)應(yīng)的二級(jí)相變線及其臨界終點(diǎn)，這對(duì)于確定系統(tǒng)在不同相之間的轉(zhuǎn)變邊界具有重要意義。研究團(tuán)隊(duì)得到的壓力-溫度相圖與水的相圖極為相似。二者均存在一級(jí)相變，且終止于一個(gè)涌現(xiàn)的孤立臨界點(diǎn)。這種相似性暗示了該量子磁性模型與經(jīng)典物質(zhì)在相變行為上可能存在某種深層次的聯(lián)系，為進(jìn)一步研究量子磁性系統(tǒng)的相變機(jī)制提供了新的視角。4.2.2超臨界磁壓熱效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)在對(duì)Shastry-Sutherland晶格量子磁性模型的壓力-溫度相圖進(jìn)行深入分析時(shí)，中國科學(xué)院大學(xué)蘇剛教授團(tuán)隊(duì)與合作者取得了一項(xiàng)重要發(fā)現(xiàn)：在臨界點(diǎn)上方的超臨界區(qū)，存在一種新奇的量子關(guān)聯(lián)誘導(dǎo)的制冷機(jī)制，他們將其命名為超臨界磁壓熱效應(yīng)。這一效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)源于研究團(tuán)隊(duì)對(duì)相圖中量子相及其轉(zhuǎn)變邊界和相關(guān)物理效應(yīng)的深入探索。最初，研究團(tuán)隊(duì)旨在尋找該模型中可能存在的解禁閉量子臨界點(diǎn)的有限溫度信號(hào)，但經(jīng)過漫長(zhǎng)的計(jì)算和數(shù)據(jù)分析，雖未發(fā)現(xiàn)相關(guān)信號(hào)，卻在相圖中找到了從方塊液體到方塊單態(tài)的連續(xù)相變以及自旋超固態(tài)。在對(duì)這些發(fā)現(xiàn)進(jìn)行進(jìn)一步研究時(shí)，他們注意到在涌現(xiàn)臨界點(diǎn)的上方存在一個(gè)特殊的超臨界區(qū)。在超臨界區(qū)，研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)了顯著的磁熵效應(yīng)。與傳統(tǒng)磁熱效應(yīng)中磁矩隨外場(chǎng)變化產(chǎn)生有序-無序轉(zhuǎn)變帶來的磁熵變完全不同，這里的磁熵效應(yīng)是由量子關(guān)聯(lián)變化，即從二聚合自旋單態(tài)到方塊聚合自旋單態(tài)液體的轉(zhuǎn)變所引起的。這種新型的磁無序-無序轉(zhuǎn)變效應(yīng)，使得系統(tǒng)在壓強(qiáng)變化時(shí)能夠產(chǎn)生量子關(guān)聯(lián)誘導(dǎo)的制冷效應(yīng)，即超臨界磁壓熱效應(yīng)。從微觀機(jī)制來看，超臨界磁壓熱效應(yīng)的產(chǎn)生與Shastry-Sutherland晶格模型中自旋的量子漲落和關(guān)聯(lián)密切相關(guān)。在超臨界區(qū)，隨著壓強(qiáng)的變化，自旋之間的量子關(guān)聯(lián)發(fā)生改變，導(dǎo)致系統(tǒng)的磁熵發(fā)生變化。當(dāng)系統(tǒng)從一種量子關(guān)聯(lián)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N量子關(guān)聯(lián)態(tài)時(shí)，會(huì)吸收或釋放熱量，從而實(shí)現(xiàn)制冷或制熱的效果。超臨界磁壓熱效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)具有重要的潛在應(yīng)用價(jià)值，尤其是在無液氦極低溫制冷領(lǐng)域。由于全球氦資源的匱乏，無氦固態(tài)制冷技術(shù)近年來備受關(guān)注。超臨界磁壓熱效應(yīng)作為一種新型的制冷機(jī)制，為無液氦極低溫制冷提供了新的物理原理?；谶@一效應(yīng)，有望開發(fā)出新型的無液氦極低溫制冷技術(shù)，推動(dòng)量子計(jì)算、量子信息處理等依賴極低溫環(huán)境的前沿領(lǐng)域的發(fā)展。4.3Kitaev六角晶格自旋液體模型研究4.3.1自旋液體拓?fù)浼ぐl(fā)致冷機(jī)制提出極低溫制冷技術(shù)在現(xiàn)代科學(xué)研究和前沿技術(shù)發(fā)展中占據(jù)著舉足輕重的地位，它是眾多基礎(chǔ)和前沿科學(xué)探索的關(guān)鍵支撐技術(shù)。在量子物理領(lǐng)域，極低溫環(huán)境下揭示了超導(dǎo)、超流等新奇的量子現(xiàn)象，為量子理論的發(fā)展提供了重要的實(shí)驗(yàn)依據(jù)；在凝聚態(tài)物理中，極低溫有助于研究材料的電子結(jié)構(gòu)和量子相變，推動(dòng)新型材料的研發(fā)；在高能物理實(shí)驗(yàn)中，極低溫條件是實(shí)現(xiàn)某些高精度測(cè)量和粒子探測(cè)的必要條件。同時(shí)，極低溫制冷技術(shù)也是量子科技、深空探測(cè)、物質(zhì)科學(xué)、精密測(cè)量等重要領(lǐng)域的核心技術(shù)，對(duì)于推動(dòng)這些領(lǐng)域的發(fā)展具有不可或缺的作用。傳統(tǒng)的絕熱去磁致冷技術(shù)通過磁場(chǎng)調(diào)控順磁材料中近乎自由的磁矩，能夠獲得亞開爾文溫區(qū)的低溫。然而，作為工質(zhì)的順磁材料存在諸多固有的局限性，如磁性離子密度低，導(dǎo)致制冷效率受限；熱導(dǎo)率不足，使得熱量傳遞不暢，影響制冷效果；化學(xué)穩(wěn)定性較差，在長(zhǎng)期使用過程中容易發(fā)生化學(xué)變化，降低制冷性能。這些局限性嚴(yán)重制約了低溫固態(tài)制冷技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，因此，從源頭開展理論創(chuàng)新，尋找新型的制冷機(jī)制迫在眉睫。中國科學(xué)院理論物理研究所李偉研究員與合作者另辟蹊徑，對(duì)Kitaev六角晶格自旋液體模型展開深入的理論研究，提出了一種全新的磁卡效應(yīng)機(jī)制——自旋液體拓?fù)浼ぐl(fā)致冷。Kitaev六角晶格自旋液體模型具有獨(dú)特的量子特性，其自旋子與規(guī)范場(chǎng)激發(fā)等集體激發(fā)攜帶了巨大的低溫熵。研究團(tuán)隊(duì)通過外場(chǎng)對(duì)自旋液體態(tài)中的自旋子與規(guī)范場(chǎng)激發(fā)進(jìn)行有效調(diào)控，例如對(duì)拓?fù)鋃?渦旋激發(fā)（vison）的調(diào)控，利用這些激發(fā)所攜帶的巨大低溫熵，實(shí)現(xiàn)了從環(huán)境中吸收大量熱量，從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的致冷效應(yīng)。具體而言，對(duì)于鐵磁Kitaev情況，通過自旋分?jǐn)?shù)化產(chǎn)生了近乎自由的Z?渦旋。在一定溫區(qū)內(nèi)，系統(tǒng)磁性可以用修正居里常數(shù)的順磁狀態(tài)方程來描述。因此，與順磁體系絕熱去磁類似，Z?渦旋的熵也可以通過磁場(chǎng)有效調(diào)控。當(dāng)系統(tǒng)從整齊排列的自旋極化相進(jìn)入漲落的自旋液體相時(shí)，由于Z?拓?fù)浼ぐl(fā)攜帶體系一半的磁熵，能夠從環(huán)境中帶走大量的熱量，產(chǎn)生顯著的致冷效應(yīng)。對(duì)于反鐵磁Kitaev情況，熱張量網(wǎng)絡(luò)計(jì)算結(jié)果支持中間磁場(chǎng)相為一無能隙的U(1)量子自旋液體相，具有自旋子費(fèi)米面和演生U(1)規(guī)范場(chǎng)，同樣展現(xiàn)出巨大低溫熵和顯著致冷效應(yīng)。4.3.2機(jī)制穩(wěn)定性分析在實(shí)際的Kitaev候選材料中，情況遠(yuǎn)比理想的Kitaev六角晶格自旋液體模型復(fù)雜。除了Kitaev相互作用外，還存在海森堡耦合等非Kitaev項(xiàng)。這些額外的相互作用可能會(huì)對(duì)自旋液體拓?fù)浼ぐl(fā)致冷機(jī)制產(chǎn)生影響，因此，研究團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步針對(duì)擴(kuò)展Kitaev模型開展了多體計(jì)算，以深入討論實(shí)際材料中拓?fù)浼ぐl(fā)致冷機(jī)制的穩(wěn)定性。研究團(tuán)隊(duì)利用自主發(fā)展的先進(jìn)有限溫度張量重正化群方法，對(duì)擴(kuò)展Kitaev模型進(jìn)行了精確的數(shù)值模擬。在計(jì)算過程中，他們充分考慮了海森堡耦合等非Kitaev項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)能量、熵以及拓?fù)浼ぐl(fā)的影響。通過對(duì)不同參數(shù)下的擴(kuò)展Kitaev模型進(jìn)行計(jì)算，研究團(tuán)隊(duì)分析了拓?fù)浼ぐl(fā)在不同相互作用強(qiáng)度下的變化情況。計(jì)算結(jié)果表明，盡管存在非Kitaev項(xiàng)的干擾，但由于自旋分?jǐn)?shù)化和拓?fù)浼ぐl(fā)存在于一定的能量/溫度范圍，該致冷機(jī)制具有較強(qiáng)的魯棒性。在一定范圍內(nèi)改變海森堡耦合等參數(shù)時(shí)，拓?fù)浼ぐl(fā)仍然能夠穩(wěn)定存在，并且其攜帶的磁熵仍然能夠有效地被外場(chǎng)調(diào)控，從而保證了致冷機(jī)制的有效性。從微觀機(jī)制來看，非Kitaev項(xiàng)雖然會(huì)改變自旋之間的相互作用形式，但在自旋液體態(tài)中，拓?fù)浼ぐl(fā)的形成源于量子漲落和自旋之間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)，這種內(nèi)在的量子特性使得拓?fù)浼ぐl(fā)對(duì)一定程度的外部干擾具有抵抗能力。海森堡耦合可能會(huì)改變自旋的局部排列方式，但不會(huì)破壞整體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因此拓?fù)浼ぐl(fā)致冷機(jī)制仍然能夠發(fā)揮作用。自旋液體拓?fù)浼ぐl(fā)致冷機(jī)制的穩(wěn)定性研究具有重要意義。它不僅為Kitaev阻挫磁性材料在無液氦極低溫制冷領(lǐng)域的應(yīng)用提供了理論保障，也為進(jìn)一步探索量子材料中的新型制冷機(jī)制提供了重要的參考?；谶@一穩(wěn)定的致冷機(jī)制，有望開發(fā)出高效、可靠的無液氦極低溫制冷技術(shù)，推動(dòng)量子計(jì)算、量子信息處理等依賴極低溫環(huán)境的前沿領(lǐng)域的發(fā)展。五、應(yīng)用領(lǐng)域與實(shí)際案例5.1凝聚態(tài)物理中的應(yīng)用在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，張量重正化群方法展現(xiàn)出了強(qiáng)大的應(yīng)用潛力，為研究量子多體系統(tǒng)、材料電子結(jié)構(gòu)等關(guān)鍵問題提供了嶄新的視角和有效的工具。在研究量子多體系統(tǒng)時(shí)，張量重正化群方法發(fā)揮了重要作用。以量子自旋液體為例，這是一種新型的量子物質(zhì)形態(tài)，其中自旋之間存在著強(qiáng)烈的量子漲落和阻挫效應(yīng)，導(dǎo)致系統(tǒng)無法形成傳統(tǒng)的磁有序態(tài)。由于其復(fù)雜的量子特性，傳統(tǒng)的理論方法難以對(duì)其進(jìn)行深入研究。而張量重正化群方法通過構(gòu)建合適的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)，能夠有效地描述量子自旋液體中自旋的相互作用和糾纏結(jié)構(gòu)。中國科學(xué)院理論物理研究所的研究團(tuán)隊(duì)利用張量重正化群方法，對(duì)Kitaev量子自旋液體模型進(jìn)行了深入研究。他們通過精確計(jì)算，揭示了該模型中存在的分?jǐn)?shù)化激發(fā)和拓?fù)淞孔有虻绕嫣匚锢憩F(xiàn)象，為理解量子自旋液體的本質(zhì)提供了重要的理論依據(jù)。在研究高溫超導(dǎo)材料的電子配對(duì)機(jī)制時(shí)，張量重正化群方法也取得了顯著成果。高溫超導(dǎo)材料的超導(dǎo)機(jī)理一直是凝聚態(tài)物理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)，傳統(tǒng)的BCS理論無法解釋高溫超導(dǎo)現(xiàn)象?？蒲腥藛T利用張量重正化群方法，對(duì)高溫超導(dǎo)材料的電子結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算和分析。他們發(fā)現(xiàn)，在高溫超導(dǎo)材料中，電子之間存在著強(qiáng)關(guān)聯(lián)相互作用，這種相互作用導(dǎo)致了電子的配對(duì)和超導(dǎo)態(tài)的形成。通過對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的優(yōu)化和計(jì)算，研究人員成功地模擬了高溫超導(dǎo)材料的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度和超導(dǎo)能隙等物理量，為揭示高溫超導(dǎo)的微觀機(jī)理提供了重要的線索。張量重正化群方法在研究材料的磁性性質(zhì)方面也具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。在研究鐵磁材料和反鐵磁材料時(shí)，通過構(gòu)建描述自旋相互作用的張量網(wǎng)絡(luò)模型，利用張量重正化群方法計(jì)算系統(tǒng)的基態(tài)能量、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)等物理量，從而深入了解材料的磁性起源和磁相變機(jī)制。在研究復(fù)雜的多鐵性材料時(shí)，張量重正化群方法能夠同時(shí)考慮材料中的鐵磁、鐵電和鐵彈性等多種有序參量之間的相互作用，為探索多鐵性材料的耦合機(jī)制和新型多鐵性材料的設(shè)計(jì)提供了有力的工具。5.2量子信息領(lǐng)域的應(yīng)用在量子信息領(lǐng)域，張量重正化群方法正逐漸嶄露頭角，為量子比特、量子糾錯(cuò)碼等關(guān)鍵研究方向提供了全新的研究思路與方法。在量子比特的研究中，張量重正化群方法展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。量子比特作為量子信息的基本單元，其狀態(tài)的精確描述和調(diào)控對(duì)于量子計(jì)算和量子通信的發(fā)展至關(guān)重要。傳統(tǒng)方法在處理多量子比特系統(tǒng)時(shí)，由于量子比特之間復(fù)雜的相互作用和糾纏，往往面臨計(jì)算復(fù)雜度呈指數(shù)增長(zhǎng)的困境。張量重正化群方法通過構(gòu)建張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)，能夠有效地描述多量子比特系統(tǒng)的量子態(tài)。將每個(gè)量子比特映射為張量網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，量子比特之間的相互作用則通過張量之間的連接來表示。通過對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)的重正化操作，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)多量子比特系統(tǒng)的有效粗?；枋?，從而降低計(jì)算復(fù)雜度。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的研究團(tuán)隊(duì)利用張量重正化群方法，對(duì)多量子比特糾纏態(tài)進(jìn)行了深入研究。他們通過精確計(jì)算，揭示了多量子比特系統(tǒng)中糾纏的分布和演化規(guī)律，為量子比特的糾纏調(diào)控提供了重要的理論依據(jù)。在實(shí)驗(yàn)中，他們通過巧妙設(shè)計(jì)量子比特的相互作用，利用張量重正化群方法預(yù)測(cè)的結(jié)果，成功制備了具有特定糾纏結(jié)構(gòu)的多量子比特態(tài)，為量子計(jì)算和量子通信中的糾纏資源制備提供了新的技術(shù)手段。在量子糾錯(cuò)碼的研究中，張量重正化群方法也發(fā)揮著重要作用。量子糾錯(cuò)碼是量子信息領(lǐng)域中的關(guān)鍵技術(shù)，其目的是保護(hù)量子信息免受噪聲和錯(cuò)誤的干擾，確保量子計(jì)算和量子通信的可靠性。傳統(tǒng)的量子糾錯(cuò)碼研究主要基于代數(shù)和幾何方法，雖然取得了一定的成果，但在處理復(fù)雜的量子噪聲和大規(guī)模量子系統(tǒng)時(shí)，存在一定的局限性。張量重正化群方法為量子糾錯(cuò)碼的研究提供了新的視角和工具。通過將量子糾錯(cuò)碼的編碼和解碼過程映射為張量網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算，利用張量重正化群方法可以對(duì)量子糾錯(cuò)碼的性能進(jìn)行精確計(jì)算和優(yōu)化。研究人員可以通過對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)的重正化操作，分析量子糾錯(cuò)碼在不同噪聲環(huán)境下的糾錯(cuò)能力和容錯(cuò)性能，從而設(shè)計(jì)出更高效、更可靠的量子糾錯(cuò)碼。在研究基于表面碼的量子糾錯(cuò)碼時(shí)，利用張量重正化群方法可以精確計(jì)算表面碼在不同噪聲模型下的糾錯(cuò)閾值和錯(cuò)誤傳播規(guī)律，為表面碼的實(shí)際應(yīng)用提供了重要的理論指導(dǎo)。清華大學(xué)的科研團(tuán)隊(duì)基于張量重正化群方法，提出了一種新型的量子糾錯(cuò)碼設(shè)計(jì)方案。他們通過對(duì)量子比特之間的相互作用進(jìn)行精細(xì)調(diào)控，利用張量重正化群方法優(yōu)化量子糾錯(cuò)碼的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，使得新型量子糾錯(cuò)碼在保持較低編碼復(fù)雜度的同時(shí)，具有更高的糾錯(cuò)能力和容錯(cuò)性能。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，該新型量子糾錯(cuò)碼在實(shí)際量子系統(tǒng)中能夠有效地糾正量子比特的錯(cuò)誤，提高量子信息的傳輸和存儲(chǔ)可靠性。5.3其他相關(guān)領(lǐng)域應(yīng)用拓展張量重正化群方法在統(tǒng)計(jì)物理和格點(diǎn)規(guī)范理論等領(lǐng)域展現(xiàn)出獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值，為這些領(lǐng)域的研究帶來了新的思路和方法，也為未來的研究提供了廣闊的潛在拓展方向。在統(tǒng)計(jì)物理中，張量重正化群方法為研究復(fù)雜系統(tǒng)的相變和臨界現(xiàn)象提供了有力工具。在傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)物理研究中，相變和臨界現(xiàn)象的研究一直是一個(gè)重要而又極具挑戰(zhàn)性的課題。傳統(tǒng)方法在處理具有強(qiáng)相互作用和復(fù)雜關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)時(shí)，往往難以準(zhǔn)確描述其相變過程和臨界行為。張量重正化群方法通過將系統(tǒng)的配分函數(shù)表示為張量網(wǎng)絡(luò)的形式，能夠有效地處理這些復(fù)雜系統(tǒng)。在研究伊辛模型的相變時(shí)，利用張量重正化群方法可以精確計(jì)算模型的相變溫度和臨界指數(shù)，與傳統(tǒng)方法相比，具有更高的精度和更廣泛的適用性。在研究鐵磁-反鐵磁混合自旋系統(tǒng)的相變行為時(shí)，張量重正化群方法同樣發(fā)揮了重要作用。通過構(gòu)建描述該系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)模型，研究人員利用張量重正化群方法計(jì)算了系統(tǒng)的自由能、磁化強(qiáng)度等物理量，并分析了這些物理量在相變點(diǎn)附近的變化規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)，在特定的參數(shù)條件下，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生從鐵磁相到反鐵磁相的一級(jí)相變，相變過程中伴隨著明顯的能量變化和自旋結(jié)構(gòu)的重組。在研究連續(xù)相變時(shí)，張量重正化群方法能夠準(zhǔn)確地計(jì)算臨界指數(shù)，揭示系統(tǒng)在臨界狀態(tài)下的普適行為，為理解連續(xù)相變的微觀機(jī)制提供了重要的理論支持。在格點(diǎn)規(guī)范理論中，張量重正化群方法為研究量子色動(dòng)力學(xué)（QCD）等理論提供了新的途徑。QCD是描述強(qiáng)相互作用的基本理論，但由于其非微擾性質(zhì)，傳統(tǒng)的理論方法在研究QCD時(shí)面臨巨大的挑戰(zhàn)。張量重正化群方法通過構(gòu)建格點(diǎn)規(guī)范理論的張量網(wǎng)絡(luò)表示，能夠有效地處理QCD中的強(qiáng)相互作用和非微擾效應(yīng)。研究人員利用張量重正化群方法研究了QCD中的夸克禁閉現(xiàn)象和手征對(duì)稱性破缺等重要問題。通過對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)的重正化操作，計(jì)算了系統(tǒng)的能量、夸克凝聚等物理量，并分析了這些物理量在不同條件下的變化規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)，在低溫高密的條件下，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生手征對(duì)稱性破缺，夸克會(huì)形成凝聚態(tài)，從而導(dǎo)致質(zhì)子和中子等強(qiáng)子的形成；而在高溫低密的條件下，夸克禁閉效應(yīng)減弱，系統(tǒng)會(huì)進(jìn)入夸克-膠子等離子體相。這些研究結(jié)果為理解QCD的基本性質(zhì)和強(qiáng)相互作用的微觀機(jī)制提供了重要的線索。在未來的研究中，張量重正化群方法在這些領(lǐng)域還具有廣闊的潛在拓展方向。在統(tǒng)計(jì)物理中，可以進(jìn)一步拓展張量重正化群方法在非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理中的應(yīng)用，研究系統(tǒng)在外界驅(qū)動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)行為和相變現(xiàn)象。在研究量子多體系統(tǒng)的熱化過程時(shí)，利用張量重正化群方法可以分析系統(tǒng)的能量分布和量子糾纏的演化，揭示熱化過程的微觀機(jī)制。還可以將張量重正化群方法與機(jī)器學(xué)習(xí)等新興技術(shù)相結(jié)合，開發(fā)更加高效的計(jì)算方法，以處理更加復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)物理系統(tǒng)。在格點(diǎn)規(guī)范理論中，可以利用張量重正化群方法研究有限溫度和密度下的QCD相圖，探索夸克-膠子等離子體的性質(zhì)和行為，為高能物理實(shí)驗(yàn)提供理論支持。可以進(jìn)一步研究張量重正化群方法在量子引力理論中的應(yīng)用，嘗試解決量子引力中的非微擾問題，為統(tǒng)一四種基本相互作用提供新的思路。六、挑戰(zhàn)與展望6.1當(dāng)前面臨的挑戰(zhàn)盡管張量重正化群方法在多體物理研究中取得了顯著的進(jìn)展，但在理論完善、計(jì)算效率提升、與實(shí)驗(yàn)結(jié)合等方面仍面臨著諸多嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。在理論完善方面，張量重正化群方法雖然已經(jīng)取得了一定的理論成果，但仍存在許多未解決的問題。對(duì)于張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述和性質(zhì)研究還不夠深入，目前對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的理解主要基于物理直觀和數(shù)值計(jì)算，缺乏堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。對(duì)于一些復(fù)雜的多體系統(tǒng)，如何構(gòu)建準(zhǔn)確有效的張量網(wǎng)絡(luò)模型，仍然是一個(gè)亟待解決的問題。在研究具有長(zhǎng)程相互作用和復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的量子系統(tǒng)時(shí)，現(xiàn)有的張量網(wǎng)絡(luò)模型難以準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的物理性質(zhì)，需要發(fā)展新的理論和方法來改進(jìn)和完善張量網(wǎng)絡(luò)模型。糾纏熵的面積定律雖然在許多量子多體系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，但目前仍缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這限制了張量重正化群方法在理論上的進(jìn)一步發(fā)展。對(duì)于糾纏熵面積定律的適用范圍和條件，還需要進(jìn)行更深入的研究，以明確其在不同物理系統(tǒng)中的有效性和局限性。在處理具有強(qiáng)關(guān)聯(lián)和復(fù)雜相互作用的系統(tǒng)時(shí)，張量重正化群方法的收斂性和穩(wěn)定性也有待進(jìn)一步提高，以確保計(jì)算結(jié)果的可靠性。在某些情況下，張量重正化群算法可能會(huì)出現(xiàn)收斂速度慢甚至不收斂的問題，這使得對(duì)一些復(fù)雜系統(tǒng)的研究難以進(jìn)行。在計(jì)算效率提升方面，隨著研究系統(tǒng)的規(guī)模和復(fù)雜度不斷增加，張量重正化群方法面臨著巨大的計(jì)算資源挑戰(zhàn)。在處理大規(guī)模的張量網(wǎng)絡(luò)時(shí)，張量的收縮和分解等運(yùn)算需要消耗大量的計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存，導(dǎo)致計(jì)算效率低下。在研究二維或三維的量子自旋系統(tǒng)時(shí)，由于系統(tǒng)中包含大量的自旋相互作用，張量網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模會(huì)迅速增大，使得計(jì)算量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，這給實(shí)際計(jì)算帶來了極大的困難。盡管已經(jīng)提出了一些優(yōu)化算法，如基于奇異值分解和高階奇異值分解的重正化群方法、自適應(yīng)張量網(wǎng)絡(luò)算法等，但這些算法在處理復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)仍然存在局限性，無法滿足大規(guī)模計(jì)算的需求。為了提高計(jì)算效率，需要進(jìn)一步發(fā)展新的算法和技術(shù)，如利用并行計(jì)算、量子計(jì)算等手段，來加速張量重正化群的計(jì)算過程。還需要研究如何更有效地壓縮張量網(wǎng)絡(luò)，減少計(jì)算量，同時(shí)保持計(jì)算精度，這也是提高計(jì)算效率的關(guān)鍵問題之一。在與實(shí)驗(yàn)結(jié)合方面，張量重正化群方法作為一種理論計(jì)算方法，與實(shí)驗(yàn)的緊密結(jié)合是驗(yàn)證其正確性和有效性的重要途徑。目前，張量重正化群方法在與實(shí)驗(yàn)結(jié)合方面還存在一定的困難。由于實(shí)驗(yàn)測(cè)量往往受到各種因素的影響，如實(shí)驗(yàn)條件的限制、測(cè)量誤差等，使得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論計(jì)算結(jié)果之間存在一定的偏差，這給理論與實(shí)驗(yàn)的對(duì)比和驗(yàn)證帶來了挑戰(zhàn)。在研究高溫超導(dǎo)材料時(shí)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度、超導(dǎo)能隙等物理量與張量重正化群計(jì)算結(jié)果之間可能存在差異，這需要進(jìn)一步分析和研究導(dǎo)致差異的原因，以提高理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的一致性。如何將張量重正化群方法的計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為可與實(shí)驗(yàn)直接對(duì)比的物理量，也是一個(gè)需要解決的問題。在研究量子自旋液體時(shí)，理論計(jì)算得到的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)等物理量，需要通過合適的實(shí)驗(yàn)手段進(jìn)行測(cè)量，以驗(yàn)證理論計(jì)算的正確性。還需要加強(qiáng)理論物理學(xué)家與實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家之間的合作與交流，共同推動(dòng)張量重正化群方法在實(shí)驗(yàn)研究中的應(yīng)用和發(fā)展。6.2未來發(fā)展趨勢(shì)展望未來，張量重正化群方法在多個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域展現(xiàn)出極具潛力的發(fā)展趨勢(shì)，有望為多體物理及相關(guān)學(xué)科的研究帶來重大突破。在新算法開發(fā)方面，隨著研究的不斷深入，有望出現(xiàn)更加高效、精確的張量重正化群算法。針對(duì)當(dāng)前計(jì)算效率低下的問題，未來的算法可能會(huì)更加注重對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和簡(jiǎn)化，通過引入更先進(jìn)的數(shù)學(xué)理論和技術(shù)，如深度學(xué)習(xí)中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)和優(yōu)化算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)調(diào)整和快速收斂。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力，自動(dòng)識(shí)別張量網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵信息和冗余部分，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)的高效壓縮和重正化。這將使得張量重正化群方法能夠處理更加復(fù)雜、大規(guī)模的多體系統(tǒng)，為研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子系統(tǒng)、復(fù)雜材料的物理性質(zhì)等提供更強(qiáng)大的計(jì)算工具?？鐚W(xué)科應(yīng)用將成為張量重正化群方法未來發(fā)展的重要方向。除了在凝聚態(tài)物理、量子信息等傳統(tǒng)領(lǐng)域的深入應(yīng)用外，張量重正化群方法有望在材料科學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。在材料科學(xué)中，張量重正化群方法可以用于設(shè)計(jì)新型功能材料，通過精確計(jì)算材料的電子結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)，預(yù)測(cè)材料的性能和特性，為材料的合成和制備提供理論指導(dǎo)。在研究高溫超導(dǎo)材料時(shí)，利用張量重正化群方法可以深入探究超導(dǎo)電子的配對(duì)機(jī)制和量子漲落對(duì)超導(dǎo)性質(zhì)的影響，從而為開發(fā)新型高溫超導(dǎo)材料提供關(guān)鍵線索。在化學(xué)領(lǐng)域，張量重正化群方法可以用于研究分子的電子結(jié)構(gòu)和化學(xué)反應(yīng)機(jī)理，通過對(duì)分子體系的張量網(wǎng)絡(luò)表示和重正化操作，計(jì)算分子的能量、電荷分布等物理量，揭示化學(xué)反應(yīng)的微觀過程。在研究有機(jī)分子的光電性質(zhì)時(shí)，利用張量重正化群方法可以準(zhǔn)確計(jì)算分子的電子激發(fā)態(tài)和電荷轉(zhuǎn)移過程，為設(shè)計(jì)高效的有機(jī)光電材料提供理論依據(jù)。在生物學(xué)中，張量重正化群方法可以用于研究生物大分子的結(jié)構(gòu)和功能，通過對(duì)生物大分子的張量網(wǎng)絡(luò)建模，分析分子間的相互作用和信息傳遞機(jī)制，為理解生物過程和疾病機(jī)理提供新的視角。在研究蛋白質(zhì)的折疊和功能時(shí)，利用張量重正化群方法可以模擬蛋白質(zhì)分子的構(gòu)象變化和與其他分子的相互作用，為藥物設(shè)計(jì)和疾病治療提供理論支持。張量重正化群方法在解決復(fù)雜量子問題方面也將取得重要進(jìn)展。隨著量子計(jì)算技術(shù)的不斷發(fā)展，張量重正化群方法與量子計(jì)算的結(jié)合將成為未來的研究熱點(diǎn)。通過將張量重正化群算法在量子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，可以充分利用量子計(jì)算的并行性和超強(qiáng)計(jì)算能力，加速對(duì)復(fù)雜量子系統(tǒng)的計(jì)算和模擬。在研究量子多體系統(tǒng)的基態(tài)和激發(fā)態(tài)時(shí)，利用量子計(jì)算機(jī)可以快速計(jì)算張量網(wǎng)絡(luò)的收縮和重正化過程，得到更精確的結(jié)果。張量重正化群方法還將在探索量子糾纏、量子相變等量子物理的基本問題上發(fā)揮重要作用。通過對(duì)量子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)表示和重正化分析，深入研究量子糾纏的性質(zhì)和演化規(guī)律，揭示量子相變的微觀機(jī)制，為量子理論的發(fā)展提供重要的理論支持。在研究量子自旋液體中的量子糾纏和拓?fù)淞孔有驎r(shí)，利用張量重正化群方法可以精確計(jì)算系統(tǒng)的糾纏熵和拓?fù)洳蛔兞?，從而深入理解量子自旋液體的本質(zhì)和特性。6.3對(duì)相關(guān)學(xué)科發(fā)展的潛在影響張量重正化群方法作為一種強(qiáng)大的多體研究工具，其發(fā)展對(duì)凝聚態(tài)物理、量子信息科學(xué)等相關(guān)學(xué)科的未來發(fā)展具有深遠(yuǎn)的潛在推動(dòng)作用。在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，張量重正化群方法有望助力解決高溫超導(dǎo)機(jī)理等長(zhǎng)期困擾學(xué)界的難題。高溫超導(dǎo)材料中電子的強(qiáng)關(guān)聯(lián)相互作用和復(fù)雜的量子漲落，使得傳統(tǒng)理論方法難以揭示其超導(dǎo)機(jī)制。張量重正化群方法通過構(gòu)建精確的張量網(wǎng)絡(luò)模型，能夠深入研究超導(dǎo)電子的配對(duì)機(jī)制、量子漲落對(duì)超導(dǎo)態(tài)的影響等關(guān)鍵問題。通過對(duì)高溫超導(dǎo)材料的電子結(jié)構(gòu)進(jìn)行張量重正化群計(jì)算，有可能發(fā)現(xiàn)新的超導(dǎo)配對(duì)對(duì)稱性和量子漲落模式，從而為高溫超導(dǎo)機(jī)理的突破提供關(guān)鍵線索。在研究量子自旋液體時(shí)，張量重正化群方法能夠精確刻畫自旋液體中的分?jǐn)?shù)化激發(fā)、拓?fù)淞孔有虻绕嫣亓孔蝇F(xiàn)象，為理解量子自旋液體的本質(zhì)和性質(zhì)提供重要的理論依據(jù)。這將有助于推動(dòng)量子自旋液體材料的研發(fā)，為量子計(jì)算和量子信息處理提供新型的量子材料。在量子信息科學(xué)領(lǐng)域，張量重正化群方法的發(fā)展將為量子比特的設(shè)計(jì)和量子糾錯(cuò)碼的優(yōu)化提供新的思路和方法。在量子比特的研究中，張量重正化群方法可以通過構(gòu)建多量子比特系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)，精確描述量子比特之間的相互作用和糾纏，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)多量子比特系統(tǒng)的有效調(diào)控和優(yōu)化。這將有助于提高量子比特的穩(wěn)定性和相干性，推動(dòng)量子計(jì)算技術(shù)的發(fā)展。在量子糾錯(cuò)碼的研究中，張量重正化群方法可以通過對(duì)量子糾錯(cuò)碼的張量網(wǎng)絡(luò)表示進(jìn)行重正化操作，分析糾錯(cuò)碼在不同噪聲環(huán)境下的糾錯(cuò)能力和容錯(cuò)性能，從而設(shè)計(jì)出更高效、更可靠的量子糾錯(cuò)碼。這將為量子信息的可靠傳輸和存儲(chǔ)提供保障，促進(jìn)量子通信和量子信息處理技術(shù)的應(yīng)用。張量重正化群方法還可能在材料科學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等相關(guān)學(xué)科中發(fā)揮重要作用。在材料科學(xué)中，該方法可以用于設(shè)計(jì)新型功能材料，通過計(jì)算材料的電子結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)，預(yù)測(cè)材料的性能和特性，為材料的合成和制備提供理論指導(dǎo)。在化學(xué)領(lǐng)域，張量重正化群方法可以用于研究分子的電子結(jié)構(gòu)和化學(xué)反應(yīng)機(jī)理，為藥物研發(fā)和材料合成提供理論支持。在生物學(xué)中，該方法可以用于研究生物大分子的結(jié)構(gòu)和功能，為理解生物過程和疾病機(jī)理提供新的視角。七、結(jié)論7.1研究成果總結(jié)本論文對(duì)張量重正化群方法的研究進(jìn)展進(jìn)行了全面而深入的梳理與探討，取得了一系列具有重要學(xué)術(shù)價(jià)值和應(yīng)用前景的成果。在張量重正化群方法的理論基礎(chǔ)方面，深入剖析了其基本概念、定義以及與傳統(tǒng)重正化群的緊密聯(lián)系與顯著區(qū)別。詳細(xì)闡述了張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)、糾纏熵的面積定律等關(guān)鍵數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與原理，明確了張量重正化群作為一種將經(jīng)典配分函數(shù)與量子波函數(shù)的張量網(wǎng)絡(luò)表示和數(shù)值重正化群技術(shù)相結(jié)合的強(qiáng)耦合數(shù)值計(jì)算方法的本質(zhì)特征。這為進(jìn)一步理解和應(yīng)用張量重正化群方法提供了堅(jiān)實(shí)的理論支撐，使得研究者能夠從數(shù)學(xué)和物理的雙重角度把握該方法的核心思想。系統(tǒng)回顧了張量重正化群方法的發(fā)展歷程，從早期理論探索階段對(duì)傳統(tǒng)重正化群理論的突破與創(chuàng)新，到方法逐步完善過程中在算法改進(jìn)和模型拓展方面取得的顯著進(jìn)展，再到關(guān)鍵突破節(jié)點(diǎn)上張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)概念的提出、糾纏熵面積定律的發(fā)現(xiàn)以及奇異值分解等數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用，清