彈性矩形板動(dòng)靜力問題的解析求解與應(yīng)用研究一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代工程領(lǐng)域，彈性矩形板作為一種基礎(chǔ)且重要的結(jié)構(gòu)元件，其應(yīng)用極為廣泛。在航空航天領(lǐng)域，飛行器的機(jī)翼、機(jī)身蒙皮等結(jié)構(gòu)常采用彈性矩形板設(shè)計(jì)，機(jī)翼作為飛行器產(chǎn)生升力的關(guān)鍵部件，其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)性能直接影響飛行安全與效率；在橋梁工程中，橋面板通?？梢暈閺椥跃匦伟?，承受車輛荷載、風(fēng)荷載等各種動(dòng)靜載荷，確保橋梁的正常使用和耐久性；建筑工程里的樓板，不僅承擔(dān)著建筑物內(nèi)部的各種荷載，還對(duì)建筑物的整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性起到關(guān)鍵作用。這些實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，彈性矩形板會(huì)受到各種復(fù)雜的靜載荷與動(dòng)載荷作用，如橋梁板承受車輛行駛產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)壓力，建筑樓板承受人群活動(dòng)及設(shè)備振動(dòng)帶來的動(dòng)荷載。準(zhǔn)確求解彈性矩形板的動(dòng)靜力問題，具有重要的理論意義與工程實(shí)用價(jià)值。從理論層面來看，它是彈性力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等學(xué)科的重要研究內(nèi)容，能夠豐富和完善結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論體系，為深入理解彈性結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為提供依據(jù)。通過對(duì)彈性矩形板動(dòng)靜力問題的研究，可以揭示彈性體在不同荷載條件下的應(yīng)力、應(yīng)變分布規(guī)律以及振動(dòng)特性，有助于推動(dòng)相關(guān)理論的發(fā)展和創(chuàng)新。在工程應(yīng)用方面，精確的解析解能夠?yàn)榻Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供可靠的數(shù)據(jù)支持，幫助工程師優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)，提高結(jié)構(gòu)的安全性、可靠性和經(jīng)濟(jì)性。在設(shè)計(jì)航空航天器結(jié)構(gòu)時(shí)，通過準(zhǔn)確分析彈性矩形板的動(dòng)靜力響應(yīng)，可以合理選擇材料和結(jié)構(gòu)形式，減輕結(jié)構(gòu)重量，提高飛行性能；在橋梁和建筑設(shè)計(jì)中，依據(jù)解析解進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，能夠確保結(jié)構(gòu)在各種工況下的穩(wěn)定性，避免因設(shè)計(jì)不合理導(dǎo)致的安全事故，同時(shí)降低建設(shè)成本。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀彈性矩形板動(dòng)靜力問題的研究歷史悠久，國內(nèi)外眾多學(xué)者圍繞這一課題開展了大量研究，取得了豐碩成果。早期，國外學(xué)者在彈性矩形板理論研究方面奠定了重要基礎(chǔ)。Kirchhoff在19世紀(jì)提出了經(jīng)典薄板理論，該理論基于直法線假設(shè)，即變形前垂直于中面的直線段在變形后仍然垂直于變形后的中面且長度保持不變，同時(shí)忽略薄板中面各點(diǎn)平行于中面的位移以及平行于中面的板內(nèi)各層間的擠壓應(yīng)力。在此基礎(chǔ)上，建立了薄板小撓度彎曲的基本微分方程，為后續(xù)研究提供了理論基石。此后，眾多學(xué)者基于Kirchhoff薄板理論對(duì)彈性矩形板的靜力問題進(jìn)行了深入探討，如對(duì)不同邊界條件下矩形薄板在均布載荷、集中載荷等作用下的彎曲問題進(jìn)行求解。隨著科技發(fā)展，對(duì)彈性矩形板動(dòng)力學(xué)問題的研究逐漸興起。瑞利（Rayleigh）提出瑞利法求解振動(dòng)系統(tǒng)的頻率，該方法通過假設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)的位移函數(shù)，利用能量原理建立方程來求解系統(tǒng)的固有頻率，為彈性矩形板自由振動(dòng)問題的研究提供了重要思路。之后，Ritz法進(jìn)一步發(fā)展，通過選擇合適的試函數(shù)，將求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程組的問題，提高了求解精度和適用范圍，在彈性矩形板振動(dòng)分析中得到廣泛應(yīng)用。在國內(nèi)，學(xué)者們也在不斷深入研究彈性矩形板動(dòng)靜力問題。在靜力分析方面，一些學(xué)者針對(duì)特殊邊界條件和復(fù)雜載荷作用下的彈性矩形板，運(yùn)用解析法、數(shù)值法等多種方法進(jìn)行求解。如采用伽遼金法，通過選取滿足邊界條件的試探函數(shù)，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行求解，得到了一些特定情況下彈性矩形板的撓度、應(yīng)力等結(jié)果。在動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域，國內(nèi)學(xué)者結(jié)合現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具和計(jì)算技術(shù)，對(duì)彈性矩形板的振動(dòng)特性進(jìn)行了更深入分析。利用有限元法，將彈性矩形板離散為有限個(gè)單元，通過計(jì)算機(jī)程序求解各單元的力學(xué)響應(yīng)，進(jìn)而得到整個(gè)板的振動(dòng)特性，該方法能夠處理復(fù)雜的邊界條件和幾何形狀。近年來，隨著材料科學(xué)的發(fā)展，新型材料制成的彈性矩形板受到關(guān)注，如復(fù)合材料矩形板、功能梯度材料矩形板等。對(duì)于這些新型材料矩形板的動(dòng)靜力問題，國內(nèi)外學(xué)者從材料特性、本構(gòu)關(guān)系等方面入手，建立相應(yīng)的理論模型進(jìn)行研究。在復(fù)合材料矩形板研究中，考慮纖維方向、鋪層順序等因素對(duì)板的力學(xué)性能影響，運(yùn)用細(xì)觀力學(xué)理論和多尺度分析方法，研究其在動(dòng)靜載荷作用下的響應(yīng)。針對(duì)功能梯度材料矩形板，考慮材料性能沿厚度方向的連續(xù)變化特性，采用非均勻材料力學(xué)理論進(jìn)行分析。同時(shí)，考慮多種因素耦合作用下的彈性矩形板動(dòng)靜力問題成為研究熱點(diǎn)，如熱-結(jié)構(gòu)、流-固耦合等。在熱-結(jié)構(gòu)耦合方面，研究彈性矩形板在溫度場(chǎng)和機(jī)械載荷共同作用下的力學(xué)行為，分析溫度變化對(duì)板的應(yīng)力、變形和振動(dòng)特性的影響；流-固耦合研究中，探討流體與彈性矩形板相互作用時(shí)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，如流體的流動(dòng)對(duì)板的振動(dòng)和穩(wěn)定性的影響。1.3研究內(nèi)容與方法本文主要聚焦于彈性矩形板動(dòng)靜力問題的解析求解，旨在深入探究彈性矩形板在靜載荷與動(dòng)載荷作用下的力學(xué)響應(yīng)，為相關(guān)工程應(yīng)用提供精確的理論依據(jù)。研究內(nèi)容涵蓋彈性矩形板的靜力問題和動(dòng)力問題兩方面。在靜力問題研究中，將針對(duì)不同邊界條件下的彈性矩形板展開分析。具體來說，會(huì)考慮四邊簡支、四邊固支、兩鄰邊自由另兩邊固支或簡支等多種常見邊界條件。通過建立合理的力學(xué)模型，運(yùn)用解析方法求解板在均布載荷、集中載荷等不同形式靜載荷作用下的撓度、應(yīng)力分布等力學(xué)參量。在分析四邊簡支彈性矩形板受均布載荷作用時(shí)，基于彈性力學(xué)基本理論和相關(guān)假設(shè)，構(gòu)建描述板彎曲變形的控制方程。通過合適的數(shù)學(xué)變換和求解技巧，得到板的撓度表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)撓度與應(yīng)力的關(guān)系，推導(dǎo)出板內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分布情況。這對(duì)于理解板在靜力作用下的力學(xué)行為，如板的承載能力、變形規(guī)律等具有重要意義。動(dòng)力問題研究同樣針對(duì)多種邊界條件下的彈性矩形板。研究內(nèi)容包括自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)分析，旨在求解板的固有頻率、振型以及在動(dòng)載荷作用下的位移、速度和加速度響應(yīng)。以四邊固支彈性矩形板的自由振動(dòng)分析為例，依據(jù)動(dòng)力學(xué)基本原理，建立板的振動(dòng)方程。通過引入適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和初始條件，運(yùn)用解析方法求解該方程，得到板的固有頻率和對(duì)應(yīng)的振型。固有頻率和振型是描述板振動(dòng)特性的關(guān)鍵參數(shù)，對(duì)于評(píng)估板在動(dòng)態(tài)環(huán)境下的穩(wěn)定性和可靠性至關(guān)重要。在受迫振動(dòng)分析中，考慮板受到周期性動(dòng)載荷作用，通過建立受迫振動(dòng)方程，求解板在動(dòng)載荷激勵(lì)下的響應(yīng)，為工程中避免共振等問題提供理論指導(dǎo)。本文采用的解析求解方法主要為二維有限傅里葉積分變換解法和廣義有限積分變換解法。二維有限傅里葉積分變換解法基于傅里葉積分變換理論，將彈性矩形板的控制方程在空間域上進(jìn)行變換，把偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，從而簡化求解過程。這種方法適用于多種邊界條件下的彈性矩形板動(dòng)靜力問題求解，能夠有效處理復(fù)雜的邊界條件和載荷形式。在求解兩鄰邊自由另兩邊固支薄板的彎曲問題時(shí)，通過對(duì)控制方程進(jìn)行二維有限傅里葉積分變換，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變換變量的常微分方程。結(jié)合邊界條件求解該常微分方程，再通過逆變換得到原問題的解，即板的撓度和應(yīng)力分布。該方法具有較高的精度和通用性，能夠得到較為精確的解析解，為工程設(shè)計(jì)和分析提供可靠的數(shù)據(jù)支持。廣義有限積分變換解法是在有限傅里葉積分變換解法基礎(chǔ)上的進(jìn)一步拓展，它通過引入廣義積分變換，能夠更靈活地處理各種復(fù)雜的邊界條件和載荷情況。在求解彈性地基上四邊固支各向異性薄板的彎曲問題時(shí)，廣義有限積分變換解法可以充分考慮地基與板之間的相互作用，以及各向異性材料特性對(duì)板力學(xué)行為的影響。通過合適的廣義積分變換，將控制方程轉(zhuǎn)化為便于求解的形式，結(jié)合邊界條件得到板的撓度、應(yīng)力等力學(xué)參量的解析解。這種方法在處理具有復(fù)雜物理特性和邊界條件的彈性矩形板問題時(shí)具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，能夠?yàn)橄嚓P(guān)工程問題提供更全面、準(zhǔn)確的解決方案。選用這兩種解析求解方法的依據(jù)在于，它們能夠充分利用積分變換的數(shù)學(xué)特性，將復(fù)雜的偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡單的常微分方程問題進(jìn)行求解。同時(shí)，這兩種方法在處理不同邊界條件和載荷形式時(shí)具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，能夠滿足本文對(duì)彈性矩形板動(dòng)靜力問題多工況分析的需求。與數(shù)值方法相比，解析求解方法能夠得到問題的精確解，避免了數(shù)值方法中由于離散化等因素帶來的誤差，對(duì)于深入理解彈性矩形板的力學(xué)行為和驗(yàn)證數(shù)值方法的準(zhǔn)確性具有重要意義。二、彈性矩形板相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1彈性薄板理論彈性薄板理論是研究薄板在各種載荷作用下力學(xué)行為的重要理論，在工程領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用。它基于一系列假設(shè)，通過建立平衡方程和本構(gòu)關(guān)系，能夠有效地分析薄板的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等力學(xué)參量。在實(shí)際工程中，許多結(jié)構(gòu)元件都可近似看作薄板進(jìn)行分析，如建筑結(jié)構(gòu)中的樓板、航空航天中的機(jī)翼蒙皮等，因此彈性薄板理論對(duì)于工程設(shè)計(jì)和分析具有重要的指導(dǎo)意義。2.1.1各向同性薄板靜力理論各向同性薄板靜力理論基于以下基本假設(shè)：其一，直法線假設(shè)，即變形前垂直于中面的直線段，在變形后仍然保持為直線，且垂直于變形后的中面，同時(shí)該直線段的長度在變形過程中保持不變。這一假設(shè)忽略了薄板的橫向剪切變形，使得薄板的變形分析得以簡化。其二，中面無伸縮假設(shè)，認(rèn)為薄板在彎曲變形時(shí)，其中面內(nèi)各點(diǎn)不產(chǎn)生平行于中面的位移，中面僅發(fā)生彎曲變形，不產(chǎn)生拉伸或壓縮變形。其三，薄板的厚度方向應(yīng)力遠(yuǎn)小于平面內(nèi)應(yīng)力，在分析中可忽略不計(jì)。這是因?yàn)樵诒“宓氖芰顟B(tài)下，厚度方向的應(yīng)力對(duì)整體力學(xué)性能的影響相對(duì)較小?；谶@些假設(shè)，可建立各向同性薄板的靜力平衡方程。在笛卡爾坐標(biāo)系下，對(duì)于承受橫向載荷q(x,y)的薄板，其靜力平衡方程可表示為：\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q(x,y)}{D}其中，w(x,y)為薄板中面的撓度，它是描述薄板彎曲變形程度的關(guān)鍵參數(shù)；D為薄板的彎曲剛度，其表達(dá)式為D=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}，其中E是彈性模量，反映材料抵抗彈性變形的能力，\nu為泊松比，表征材料橫向變形與縱向變形之間的關(guān)系，h為薄板的厚度。彎曲剛度D綜合體現(xiàn)了材料性質(zhì)和薄板幾何尺寸對(duì)其彎曲性能的影響。薄板的內(nèi)力-位移關(guān)系是理解薄板力學(xué)行為的重要依據(jù)。彎矩M_x、M_y和扭矩M_{xy}與撓度w的關(guān)系如下：M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})M_y=-D(\frac{\partial^2w}{\partialy^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialx^2})M_{xy}=-D(1-\nu)\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}剪力Q_x和Q_y與撓度w的關(guān)系為：Q_x=-D\frac{\partial}{\partialx}(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2})Q_y=-D\frac{\partial}{\partialy}(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2})這些內(nèi)力-位移關(guān)系表明，薄板的內(nèi)力分布與撓度的二階和三階偏導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)。通過對(duì)撓度的求解，可以進(jìn)一步計(jì)算出薄板在不同位置處的彎矩、扭矩和剪力，從而深入了解薄板的受力狀態(tài)。例如，在均布載荷作用下的四邊簡支矩形薄板，根據(jù)上述方程可以精確計(jì)算出薄板各點(diǎn)的內(nèi)力和撓度，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)支持。2.1.2正交各向異性薄板靜力理論正交各向異性薄板在材料性能上與各向同性薄板存在顯著差異，其力學(xué)性能在相互垂直的兩個(gè)方向上表現(xiàn)不同。這是由于材料內(nèi)部的微觀結(jié)構(gòu)或纖維排列方向等因素導(dǎo)致的。例如，一些復(fù)合材料薄板，其纖維在不同方向上的分布和取向不同，使得薄板在不同方向上的彈性模量、泊松比等材料參數(shù)存在明顯差異。在正交各向異性薄板中，彈性常數(shù)具有方向性，需要用更多的參數(shù)來描述其力學(xué)性能。通常，需要四個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)D_{11}、D_{22}、D_{12}和D_{66}來表征薄板的彎曲剛度。這些彈性常數(shù)反映了薄板在不同方向上抵抗彎曲變形的能力。與各向同性薄板相比，正交各向異性薄板的本構(gòu)關(guān)系更為復(fù)雜。在笛卡爾坐標(biāo)系下，其本構(gòu)方程可表示為：\begin{bmatrix}M_x\\M_y\\M_{xy}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&0\\D_{12}&D_{22}&0\\0&0&D_{66}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{\partial^2w}{\partialx^2}\\-\frac{\partial^2w}{\partialy^2}\\-2\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}\end{bmatrix}其中，M_x、M_y和M_{xy}分別為x方向、y方向的彎矩和扭矩，w為薄板的撓度。從本構(gòu)方程可以看出，正交各向異性薄板的彎矩和扭矩不僅與撓度的二階偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)，還與不同方向的彈性常數(shù)密切相關(guān)。這意味著在相同的載荷和邊界條件下，正交各向異性薄板的內(nèi)力分布和變形情況與各向同性薄板有很大不同。例如，在承受均布載荷的四邊簡支矩形薄板中，各向同性薄板的彎矩分布相對(duì)較為對(duì)稱，而正交各向異性薄板由于不同方向的彈性常數(shù)差異，彎矩分布會(huì)呈現(xiàn)出明顯的非對(duì)稱性。正交各向異性薄板的平衡方程也與各向同性薄板有所不同。考慮橫向載荷q(x,y)作用時(shí)，其平衡方程為：D_{11}\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2(D_{12}+2D_{66})\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+D_{22}\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=q(x,y)與各向同性薄板的平衡方程相比，正交各向異性薄板的平衡方程中包含了更多的彈性常數(shù)，這使得方程的求解更為復(fù)雜。不同的彈性常數(shù)組合會(huì)導(dǎo)致薄板在相同載荷下的彎曲變形和應(yīng)力分布產(chǎn)生差異。例如，當(dāng)D_{11}遠(yuǎn)大于D_{22}時(shí)，薄板在x方向上的彎曲剛度較大，變形相對(duì)較小，而在y方向上則更容易發(fā)生彎曲變形。因此，在分析正交各向異性薄板的靜力問題時(shí)，需要充分考慮其特殊的力學(xué)性能和方程特點(diǎn)。2.1.3矩形薄板動(dòng)力理論薄板振動(dòng)理論是研究薄板在動(dòng)態(tài)載荷作用下力學(xué)行為的重要理論，它基于一系列假設(shè)，通過建立動(dòng)力平衡方程和邊界條件，能夠有效地分析薄板的振動(dòng)特性，如固有頻率、振型等。在實(shí)際工程中，許多薄板結(jié)構(gòu)都可能受到動(dòng)態(tài)載荷的作用，如航空航天中的機(jī)翼、建筑結(jié)構(gòu)中的樓板等，因此薄板振動(dòng)理論對(duì)于工程設(shè)計(jì)和分析具有重要的指導(dǎo)意義。薄板振動(dòng)基于以下基本假設(shè)：直法線假設(shè)同樣適用于薄板振動(dòng)，即變形前垂直于中面的直線段在振動(dòng)過程中始終保持為直線，且垂直于變形后的中面，直線段長度不變，忽略橫向剪切變形。薄板的撓度遠(yuǎn)小于其厚度，確保在振動(dòng)分析中可以采用小變形理論，簡化分析過程。振動(dòng)過程中，薄板的材料性質(zhì)保持不變，不考慮材料的非線性特性?；谶@些假設(shè)，推導(dǎo)薄板的動(dòng)力平衡方程。在笛卡爾坐標(biāo)系下，對(duì)于厚度為h的矩形薄板，考慮其橫向振動(dòng)，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，建立微元體的動(dòng)力平衡方程。經(jīng)過一系列推導(dǎo)，可得薄板的動(dòng)力平衡方程為：D(\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4})+\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}=q(x,y,t)其中，w(x,y,t)為薄板中面在位置(x,y)處、時(shí)刻t的撓度，它隨時(shí)間和空間位置的變化反映了薄板的振動(dòng)情況；\rho為材料的密度，體現(xiàn)了材料的質(zhì)量特性；q(x,y,t)為作用在薄板上的動(dòng)態(tài)橫向載荷，其大小和方向可能隨時(shí)間和位置而變化。該方程表明，薄板的振動(dòng)是由慣性力\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}、彎曲內(nèi)力D(\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4})和外部動(dòng)態(tài)載荷q(x,y,t)共同作用的結(jié)果。薄板振動(dòng)的邊界條件與靜力問題類似，但在動(dòng)態(tài)情況下，還需要考慮與時(shí)間相關(guān)的條件。常見的邊界條件有：簡支邊界條件下，薄板邊界上的撓度w=0，彎矩M=0，即在邊界處薄板既不能發(fā)生橫向位移，也不能承受彎矩；固支邊界條件時(shí)，邊界上的撓度w=0，轉(zhuǎn)角\frac{\partialw}{\partialn}=0，表示邊界處薄板的橫向位移和轉(zhuǎn)動(dòng)都受到限制；自由邊界條件下，邊界上的彎矩M=0，剪力Q=0，意味著邊界處薄板不受彎矩和剪力作用。在考慮振動(dòng)時(shí)，這些邊界條件在不同時(shí)刻都需滿足，以準(zhǔn)確描述薄板的振動(dòng)行為。例如，對(duì)于四邊簡支的矩形薄板，在振動(dòng)過程中，四個(gè)邊界上的撓度始終為零，彎矩也始終為零，這些邊界條件與動(dòng)力平衡方程相結(jié)合，可求解出薄板的振動(dòng)特性。2.2中厚板理論2.2.1中厚板靜力模型中厚板理論與薄板理論在研究對(duì)象和基本假設(shè)等方面存在明顯區(qū)別。薄板理論主要適用于厚度遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)方向尺寸的薄板結(jié)構(gòu)，其厚度通常小于1.5毫米。而中厚板的厚度范圍一般介于1.5毫米至30毫米之間，在受力時(shí)，其彎曲行為開始涉及到板材的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，但整體上仍然以表面層的行為為主。在航空航天領(lǐng)域中，某些機(jī)翼蒙皮可近似看作薄板，而一些機(jī)身結(jié)構(gòu)中的加強(qiáng)板則屬于中厚板。中厚板理論的基本假設(shè)與薄板理論有所不同。在中厚板理論中，直法線假設(shè)不再成立，即變形前垂直于中面的直線段，在變形后雖然仍保持為直線，但不再垂直于變形后的中面，這是因?yàn)橹泻癜逍枰紤]橫向剪切變形的影響。同時(shí)，中厚板理論也不再忽略中面內(nèi)各點(diǎn)平行于中面的位移。以Mindlin中厚板理論為例，其基本假設(shè)包括：考慮橫向剪切變形，認(rèn)為橫向剪切應(yīng)變\gamma_{xz}和\gamma_{yz}不為零；中面法線在變形后雖然不再垂直于中面，但仍保持為直線；材料是均勻、連續(xù)且各向同性的。這些假設(shè)使得中厚板理論能夠更準(zhǔn)確地描述中厚板在受力時(shí)的力學(xué)行為?；贛indlin中厚板理論，建立中厚板的靜力平衡方程。在笛卡爾坐標(biāo)系下，對(duì)于承受橫向載荷q(x,y)的中厚板，其靜力平衡方程可表示為：\frac{\partialQ_x}{\partialx}+\frac{\partialQ_y}{\partialy}+q(x,y)=0\frac{\partialM_x}{\partialx}+\frac{\partialM_{xy}}{\partialy}-Q_x=0\frac{\partialM_y}{\partialy}+\frac{\partialM_{yx}}{\partialx}-Q_y=0其中，Q_x和Q_y分別為x方向和y方向的剪力，它們反映了中厚板在橫向剪切力作用下的力學(xué)響應(yīng)；M_x、M_y分別為x方向和y方向的彎矩，體現(xiàn)了中厚板在彎曲過程中的內(nèi)力分布；M_{xy}和M_{yx}為扭矩，描述了中厚板在扭轉(zhuǎn)作用下的力學(xué)特性。這些內(nèi)力分量與中厚板的位移和變形密切相關(guān)。中厚板的位移分量包括中面的橫向位移w(x,y)以及中面內(nèi)的位移u(x,y)和v(x,y)。通過幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系，可以建立內(nèi)力分量與位移分量之間的聯(lián)系。例如，彎矩M_x與橫向位移w的二階偏導(dǎo)數(shù)以及中面內(nèi)位移的一階偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)，具體表達(dá)式為M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})+E\frac{h^2}{12}(\frac{\partialu}{\partialx}+\nu\frac{\partialv}{\partialy})，其中D為彎曲剛度，E為彈性模量，\nu為泊松比，h為中厚板的厚度。這種聯(lián)系為求解中厚板的靜力問題提供了重要的依據(jù)。2.2.2考慮剪切變形的影響剪切變形對(duì)中厚板力學(xué)性能有著顯著影響。在中厚板中，由于橫向剪切變形的存在，使得中厚板的彎曲行為與薄板有很大不同。當(dāng)薄板承受橫向載荷時(shí)，基于直法線假設(shè)，其變形主要由彎曲變形主導(dǎo)，而中厚板在承受相同載荷時(shí)，除了彎曲變形外，橫向剪切變形也不可忽視。這種橫向剪切變形會(huì)導(dǎo)致中厚板的撓度增加，并且使得中厚板內(nèi)的應(yīng)力分布發(fā)生變化。在均布載荷作用下的四邊簡支中厚板，其跨中撓度比相同條件下的薄板跨中撓度要大，這是因?yàn)橹泻癜宓臋M向剪切變形使得板的變形更加復(fù)雜。同時(shí)，中厚板內(nèi)的應(yīng)力分布也不再像薄板那樣簡單，在靠近板的上下表面，彎曲應(yīng)力仍然是主要的應(yīng)力分量，但在板的內(nèi)部，剪切應(yīng)力的影響逐漸增大。剪切變形在中厚板的控制方程中有著明確體現(xiàn)。以Mindlin中厚板理論的控制方程為例，與薄板理論的控制方程相比，中厚板的控制方程中增加了與剪切變形相關(guān)的項(xiàng)。在薄板理論的彎曲平衡方程中，主要考慮了彎矩和橫向載荷的作用，而Mindlin中厚板理論的控制方程中，除了彎矩項(xiàng)外，還引入了剪力項(xiàng)。在前面提到的靜力平衡方程\frac{\partialQ_x}{\partialx}+\frac{\partialQ_y}{\partialy}+q(x,y)=0中，剪力Q_x和Q_y的存在就是為了考慮橫向剪切變形的影響。此外，在中厚板的本構(gòu)關(guān)系中，也考慮了剪切變形對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響。例如，剪切應(yīng)力\tau_{xz}和\tau_{yz}與剪切應(yīng)變\gamma_{xz}和\gamma_{yz}之間的關(guān)系通過剪切模量G來體現(xiàn)，即\tau_{xz}=G\gamma_{xz}，\tau_{yz}=G\gamma_{yz}，這與薄板理論中忽略剪切變形時(shí)的本構(gòu)關(guān)系不同。這些與剪切變形相關(guān)的項(xiàng)使得中厚板的控制方程更加復(fù)雜，但也更能準(zhǔn)確地描述中厚板的力學(xué)行為。三、彈性矩形板靜力問題解析求解3.1常見解法概述在彈性矩形板靜力問題的研究中，有多種解析求解方法，每種方法都有其獨(dú)特的原理和應(yīng)用特點(diǎn)。能量變分法基于能量守恒和變分原理，通過求解能量泛函的極值來得到彈性矩形板的力學(xué)參量；伽遼金法作為加權(quán)殘數(shù)法的特殊形式，利用函數(shù)展開將偏微分方程離散化求解；有限傅里葉積分變換法借助傅里葉積分變換的數(shù)學(xué)工具，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程進(jìn)行求解。這些方法在不同的邊界條件和載荷情況下具有各自的優(yōu)勢(shì)，為彈性矩形板靜力問題的研究提供了多樣化的手段。3.1.1能量變分法能量變分法的基本原理根植于能量守恒定律和變分原理。在彈性力學(xué)中，彈性體的總勢(shì)能由應(yīng)變能和外力勢(shì)能兩部分組成。應(yīng)變能是彈性體由于變形而儲(chǔ)存的能量，它反映了彈性體內(nèi)部各部分之間的相互作用。對(duì)于彈性矩形板，應(yīng)變能可通過對(duì)板內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變與應(yīng)力乘積在整個(gè)板的體積上進(jìn)行積分得到。外力勢(shì)能則是由于外力作用在彈性體上而具有的能量，它與外力的大小、方向以及作用點(diǎn)的位移相關(guān)。當(dāng)彈性體處于平衡狀態(tài)時(shí)，其總勢(shì)能達(dá)到極值，通常是最小值。這是因?yàn)樵谄胶鉅顟B(tài)下，彈性體的能量分布最為穩(wěn)定，任何微小的位移改變都將導(dǎo)致總勢(shì)能的增加。基于此，能量變分法將求解彈性矩形板的力學(xué)參量問題轉(zhuǎn)化為求解總勢(shì)能泛函的極值問題。在彈性矩形板問題中，應(yīng)用能量變分法通常遵循以下步驟。首先，需要建立彈性矩形板的總勢(shì)能表達(dá)式。對(duì)于承受橫向載荷q(x,y)的薄板，其應(yīng)變能U的表達(dá)式為：U=\frac{D}{2}\iint_{A}\left[\left(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2}\right)^2-2(1-\nu)\left(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}\frac{\partial^2w}{\partialy^2}-\left(\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}\right)^2\right)\right]dxdy其中，D為薄板的彎曲剛度，\nu為泊松比，w(x,y)為薄板中面的撓度，A為矩形板的面積。外力勢(shì)能V的表達(dá)式為V=-\iint_{A}q(x,y)w(x,y)dxdy?？倓?shì)能\Pi=U+V。接著，假設(shè)撓度函數(shù)w(x,y)的形式，該函數(shù)應(yīng)滿足矩形板的邊界條件。對(duì)于四邊簡支的矩形板，邊界條件為在四條邊上撓度w=0，彎矩M=0。通常可假設(shè)撓度函數(shù)為雙三角級(jí)數(shù)形式，如w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a_{mn}\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}，其中a和b分別為矩形板的長和寬，a_{mn}為待定系數(shù)。這種形式的撓度函數(shù)能夠滿足四邊簡支矩形板的邊界條件，因?yàn)檎液瘮?shù)在邊界處的值為零，且其導(dǎo)數(shù)在邊界處的組合也能滿足彎矩為零的條件。然后，將假設(shè)的撓度函數(shù)代入總勢(shì)能表達(dá)式中，得到總勢(shì)能關(guān)于待定系數(shù)a_{mn}的函數(shù)。此時(shí)，總勢(shì)能成為一個(gè)多元函數(shù)，其自變量為待定系數(shù)a_{mn}。通過對(duì)總勢(shì)能求關(guān)于a_{mn}的偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于零，可得到一組關(guān)于a_{mn}的代數(shù)方程。這是因?yàn)樵诳倓?shì)能取極值時(shí)，其對(duì)各待定系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為零，這是多元函數(shù)求極值的基本方法。最后，求解這組代數(shù)方程，得到待定系數(shù)a_{mn}的值。將求得的a_{mn}代入假設(shè)的撓度函數(shù)中，即可得到彈性矩形板的撓度解。通過撓度與應(yīng)力、應(yīng)變的關(guān)系，進(jìn)一步計(jì)算出板內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變分布。例如，根據(jù)薄板理論，彎矩M_x、M_y和扭矩M_{xy}與撓度w的關(guān)系為M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})，M_y=-D(\frac{\partial^2w}{\partialy^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialx^2})，M_{xy}=-D(1-\nu)\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}，通過對(duì)求得的撓度函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，即可計(jì)算出彎矩和扭矩，進(jìn)而得到應(yīng)力分布。3.1.2伽遼金法伽遼金法的核心思想是基于加權(quán)殘數(shù)法。它將彈性矩形板的控制方程的解假設(shè)為滿足邊界條件的獨(dú)立函數(shù)族（稱為試函數(shù)）的線性組合。以薄板彎曲問題為例，設(shè)控制方程為L(w)=q(x,y)，其中L為微分算子，w為撓度，q(x,y)為橫向載荷。假設(shè)撓度w可以表示為w(x,y)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x,y)，其中a_{i}為待定系數(shù)，\varphi_{i}(x,y)為試函數(shù)，這些試函數(shù)需要滿足矩形板的所有邊界條件。對(duì)于四邊固支的矩形板，試函數(shù)應(yīng)滿足在四條邊上撓度w=0，轉(zhuǎn)角\frac{\partialw}{\partialn}=0，其中n為邊界的法向。將假設(shè)的撓度表達(dá)式代入控制方程后，由于試函數(shù)的近似性，方程兩端通常并不相等，其差值R=L(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x,y))-q(x,y)被稱為殘數(shù)，它是一個(gè)與試函數(shù)相關(guān)的泛函。加權(quán)殘數(shù)法的基本思想是使殘數(shù)在一定意義下近似為零。伽遼金法作為加權(quán)殘數(shù)法的一種特殊形式，將權(quán)函數(shù)也取為試函數(shù)族，即令殘數(shù)與試函數(shù)的乘積在矩形板的區(qū)域A上的積分為零，可得到方程\iint_{A}R\varphi_{j}(x,y)dxdy=0，j=1,2,\cdots,n。將R的表達(dá)式代入該方程，得到\iint_{A}\left[L(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x,y))-q(x,y)\right]\varphi_{j}(x,y)dxdy=0，j=1,2,\cdots,n。通過對(duì)上述方程進(jìn)行積分運(yùn)算和整理，可以得到一組關(guān)于待定系數(shù)a_{i}的代數(shù)方程組。這組方程組的個(gè)數(shù)等于試函數(shù)的個(gè)數(shù)n。求解這組代數(shù)方程組，即可確定待定系數(shù)a_{i}的值。將求得的a_{i}代入假設(shè)的撓度表達(dá)式w(x,y)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x,y)中，就得到了彈性矩形板撓度的近似解。以四邊簡支矩形板受均布載荷為例，假設(shè)試函數(shù)為\varphi_{mn}(x,y)=\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}，代入上述伽遼金法的求解過程，經(jīng)過一系列積分和代數(shù)運(yùn)算，可得到撓度的近似表達(dá)式。根據(jù)薄板理論中的內(nèi)力-位移關(guān)系，如彎矩M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})，剪力Q_x=-D\frac{\partial}{\partialx}(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2})等，可以進(jìn)一步計(jì)算出板內(nèi)的內(nèi)力分布。3.1.3有限傅里葉積分變換法有限傅里葉積分變換基于傅里葉積分變換的理論。傅里葉積分變換的定義為：對(duì)于函數(shù)f(x)，其傅里葉變換F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omegax}dx，其中\(zhòng)omega為頻率，i為虛數(shù)單位。傅里葉積分變換具有線性性質(zhì)，即對(duì)于任意常數(shù)a和b，以及函數(shù)f(x)和g(x)，有\(zhòng)mathcal{F}[af(x)+bg(x)]=a\mathcal{F}[f(x)]+b\mathcal{F}[g(x)]；位移性質(zhì)，對(duì)于任意常數(shù)x_0，有\(zhòng)mathcal{F}[f(x-x_0)]=e^{-i\omegax_0}F(\omega)；微分性質(zhì)，若f(x)在(-\infty,+\infty)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=0，則\mathcal{F}[f'(x)]=i\omegaF(\omega)等重要性質(zhì)。在彈性矩形板靜力問題中，以求解四邊簡支矩形板在橫向載荷q(x,y)作用下的彎曲問題為例。首先，對(duì)彈性矩形板的控制方程進(jìn)行有限傅里葉積分變換。根據(jù)薄板理論，控制方程為\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q(x,y)}{D}。對(duì)x和y分別進(jìn)行有限傅里葉正弦變換，設(shè)W(m,n)=\int_{0}^{a}\int_{0}^w(x,y)\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}dxdy，Q(m,n)=\int_{0}^{a}\int_{0}^q(x,y)\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}dxdy，其中m和n為正整數(shù)。利用傅里葉積分變換的微分性質(zhì)，對(duì)控制方程進(jìn)行變換后得到關(guān)于W(m,n)的常微分方程。對(duì)于上述控制方程，經(jīng)過變換后，根據(jù)傅里葉積分變換的微分性質(zhì)，\frac{\partial^4w}{\partialx^4}變換后為(\frac{m\pi}{a})^4W(m,n)，2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}變換后為2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2W(m,n)，\frac{\partial^4w}{\partialy^4}變換后為(\frac{n\pi})^4W(m,n)，從而得到常微分方程[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2+(\frac{n\pi})^4]W(m,n)=\frac{Q(m,n)}{D}。然后，結(jié)合矩形板的邊界條件進(jìn)行求解。四邊簡支矩形板的邊界條件在傅里葉變換域中也有相應(yīng)的表達(dá)。在x=0和x=a邊界上，w=0，M_x=0，經(jīng)過傅里葉變換后，這些邊界條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于W(m,n)的條件。同理，在y=0和y=b邊界上的條件也進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)化。求解得到W(m,n)的表達(dá)式。最后，通過傅里葉逆變換，將W(m,n)變換回w(x,y)，得到彈性矩形板的撓度解。傅里葉逆變換公式為w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}W(m,n)\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}。根據(jù)撓度與應(yīng)力、應(yīng)變的關(guān)系，進(jìn)一步計(jì)算出板內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變分布。例如，根據(jù)彎矩與撓度的關(guān)系M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})，通過對(duì)求得的撓度函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，可計(jì)算出彎矩，進(jìn)而得到應(yīng)力分布。3.2不同邊界條件下的求解實(shí)例3.2.1四邊固支矩形薄板對(duì)于四邊固支矩形薄板在均布荷載作用下的情況，基于薄板小撓度彎曲理論，其控制方程為\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q}{D}，其中q為均布荷載強(qiáng)度，D為薄板彎曲剛度。為求解該方程，假設(shè)撓度函數(shù)w(x,y)的形式。考慮到四邊固支的邊界條件，即x=0,a，y=0,b時(shí)，w=0，\frac{\partialw}{\partialn}=0（n為邊界法向）。采用雙三角級(jí)數(shù)形式假設(shè)撓度函數(shù)為w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}，其中A_{mn}為待定系數(shù)。將假設(shè)的撓度函數(shù)代入控制方程，利用三角函數(shù)的正交性，可得到關(guān)于A_{mn}的方程。具體過程如下：將w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}代入控制方程\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q}{D}，對(duì)w(x,y)求偏導(dǎo)數(shù)：\frac{\partial^4w}{\partialx^4}=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}(\frac{m\pi}{a})^4\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}=2\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}(\frac{n\pi})^4\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}代入控制方程后得到：\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2+(\frac{n\pi})^4]\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}=\frac{q}{D}因?yàn)閈int_{0}^{a}\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{k\pix}{a}dx=\begin{cases}0,&m\neqk\\\frac{a}{2},&m=k\end{cases}，\int_{0}^\sin\frac{n\piy}\sin\frac{l\piy}dy=\begin{cases}0,&n\neql\\\frac{2},&n=l\end{cases}，對(duì)上述方程兩邊同時(shí)乘以\sin\frac{k\pix}{a}\sin\frac{l\piy}，并在x從0到a，y從0到b上進(jìn)行二重積分，可得：A_{mn}[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2+(\frac{n\pi})^4]\frac{ab}{4}=\frac{4q}{\pi^2mn}（當(dāng)m,n為奇數(shù)時(shí)），當(dāng)m或n為偶數(shù)時(shí)，A_{mn}=0。從而解得A_{mn}=\frac{16q}{\pi^6Dmn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2+(\frac{n\pi})^4]}（m,n為奇數(shù)）。將A_{mn}代回?fù)隙群瘮?shù)，得到四邊固支矩形薄板在均布荷載作用下的撓度解析解為：w(x,y)=\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6Dmn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2+(\frac{n\pi})^4]}\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}根據(jù)薄板理論中的內(nèi)力-位移關(guān)系，可進(jìn)一步求得內(nèi)力。彎矩M_x、M_y和扭矩M_{xy}與撓度w的關(guān)系為：M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})M_y=-D(\frac{\partial^2w}{\partialy^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialx^2})M_{xy}=-D(1-\nu)\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}對(duì)撓度w(x,y)求偏導(dǎo)數(shù)，代入上述內(nèi)力公式，得到彎矩和扭矩的表達(dá)式：M_x=-D\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2+(\frac{n\pi})^4]}[(\frac{m\pi}{a})^2\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}+\nu(\frac{n\pi})^2\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}]M_y=-D\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2+(\frac{n\pi})^4]}[\nu(\frac{m\pi}{a})^2\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}+(\frac{n\pi})^2\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}]M_{xy}=-D(1-\nu)\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2+(\frac{n\pi})^4]}(\frac{m\pi}{a})(\frac{n\pi})\cos\frac{m\pix}{a}\cos\frac{n\piy}剪力Q_x和Q_y與撓度w的關(guān)系為：Q_x=-D\frac{\partial}{\partialx}(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2})Q_y=-D\frac{\partial}{\partialy}(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2})對(duì)撓度w(x,y)求偏導(dǎo)數(shù)，代入剪力公式，得到剪力的表達(dá)式：Q_x=-D\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2+(\frac{n\pi})^4]}(\frac{m\pi}{a})[(\frac{m\pi}{a})^2\cos\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}+(\frac{n\pi})^2\cos\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}]Q_y=-D\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi})^2+(\frac{n\pi})^4]}(\frac{n\pi})[(\frac{m\pi}{a})^2\sin\frac{m\pix}{a}\cos\frac{n\piy}+(\frac{n\pi})^2\sin\frac{m\pix}{a}\cos\frac{n\piy}]分析結(jié)果可知，撓度在板中心處達(dá)到最大值，隨著m和n的增大，級(jí)數(shù)中的各項(xiàng)迅速減小，說明該級(jí)數(shù)收斂較快。在實(shí)際計(jì)算中，通常只需取前幾項(xiàng)即可得到較為精確的結(jié)果。內(nèi)力分布具有一定的對(duì)稱性，在板的邊界處，由于固支約束的作用，彎矩和剪力會(huì)產(chǎn)生較大的變化。在角點(diǎn)處，彎矩和扭矩的情況較為復(fù)雜，需要特別關(guān)注。例如，在邊長為a和b的正方形四邊固支矩形薄板中，當(dāng)a=b時(shí)，板中心的撓度w_{max}與均布荷載q、彎曲剛度D以及邊長a的關(guān)系為w_{max}=\frac{4q}{\pi^6D}\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{1}{mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{a})^4]}，隨著a的增大，板中心的撓度會(huì)增大，因?yàn)榘宓目缍仍黾?，在相同荷載下更容易發(fā)生彎曲變形；而隨著D的增大，撓度會(huì)減小，這是因?yàn)閺澢鷦偠仍龃?，板抵抗彎曲變形的能力增?qiáng)。在工程實(shí)際中，如建筑樓板設(shè)計(jì)，若采用四邊固支的矩形板結(jié)構(gòu)，通過上述解析解可以準(zhǔn)確計(jì)算出在均布荷載（如人群、設(shè)備重量等）作用下板的撓度和內(nèi)力，從而合理選擇板的材料和厚度，確保結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性。3.2.2兩邊簡支兩邊自由矩形薄板對(duì)于兩邊簡支兩邊自由的矩形薄板，以x=0,a兩邊簡支，y=0,b兩邊自由為例進(jìn)行分析?；诒“逍隙葟澢碚摚淇刂品匠掏瑯訛閈frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q}{D}。根據(jù)邊界條件，在簡支邊x=0,a上，撓度w=0，彎矩M_x=0；在自由邊y=0,b上，彎矩M_y=0，剪力Q_y=0。假設(shè)撓度函數(shù)為w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}Y_m(y)\sin\frac{m\pix}{a}，這種形式能自動(dòng)滿足簡支邊x=0,a上的邊界條件。將假設(shè)的撓度函數(shù)代入控制方程\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q}{D}，可得：\sum_{m=1}^{\infty}[(\frac{m\pi}{a})^4Y_m(y)+2(\frac{m\pi}{a})^2Y_m^{''}(y)+Y_m^{''''}(y)]\sin\frac{m\pix}{a}=\frac{q}{D}令q_m=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}q(x,y)\sin\frac{m\pix}{a}dx，將q(x,y)展開為關(guān)于x的傅里葉正弦級(jí)數(shù)，得到q(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}q_m\sin\frac{m\pix}{a}。則(\frac{m\pi}{a})^4Y_m(y)+2(\frac{m\pi}{a})^2Y_m^{''}(y)+Y_m^{''''}(y)=\frac{q_m}{D}，這是一個(gè)關(guān)于Y_m(y)的四階常微分方程。其通解形式為Y_m(y)=A_m\cosh\lambda_my+B_m\sinh\lambda_my+C_my\cosh\lambda_my+D_my\sinh\lambda_my+Y_{m}^*(y)，其中\(zhòng)lambda_m=\frac{m\pi}{a}，Y_{m}^*(y)是方程的一個(gè)特解，可根據(jù)q_m的具體形式確定。對(duì)于均布荷載q(x,y)=q_0，q_m=\frac{4q_0}{\pim}（m為奇數(shù)），q_m=0（m為偶數(shù)）。特解Y_{m}^*(y)可設(shè)為Y_{m}^*(y)=-\frac{q_0}{D\lambda_m^4}。將Y_m(y)代入自由邊y=0,b的邊界條件：M_y=-D(Y_m^{''}(y)+\nu\lambda_m^2Y_m(y))=0，y=0,b；Q_y=-D(Y_m^{'''}(y)+(2-\nu)\lambda_m^2Y_m^{'}(y))=0，y=0,b。得到關(guān)于A_m、B_m、C_m、D_m的四個(gè)線性代數(shù)方程，聯(lián)立求解可得：A_m=\frac{q_0}{D\lambda_m^4}\frac{\lambda_mb\sinh\lambda_mb+(2-\nu)\cosh\lambda_mb-\cosh\lambda_mb\cosh\lambda_mb-(2-\nu)\sinh\lambda_mb\sinh\lambda_mb}{\lambda_mb\sinh\lambda_mb+(2-\nu)\cosh\lambda_mb-\cosh\lambda_mb\cosh\lambda_mb-(2-\nu)\sinh\lambda_mb\sinh\lambda_mb-\lambda_mb\cosh\lambda_mb-(2-\nu)\sinh\lambda_mb+\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb+(2-\nu)\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb}B_m=0C_m=\frac{q_0}{D\lambda_m^4}\frac{\lambda_mb\cosh\lambda_mb+(2-\nu)\sinh\lambda_mb-\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb-(2-\nu)\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb}{\lambda_mb\sinh\lambda_mb+(2-\nu)\cosh\lambda_mb-\cosh\lambda_mb\cosh\lambda_mb-(2-\nu)\sinh\lambda_mb\sinh\lambda_mb-\lambda_mb\cosh\lambda_mb-(2-\nu)\sinh\lambda_mb+\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb+(2-\nu)\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb}D_m=0將A_m、B_m、C_m、D_m和Y_{m}^*(y)代入Y_m(y)，再將Y_m(y)代入w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}Y_m(y)\sin\frac{m\pix}{a}，得到兩邊簡支兩邊自由矩形薄板在均布荷載作用下的撓度解析解。根據(jù)內(nèi)力-位移關(guān)系，可進(jìn)一步求得內(nèi)力：\3.3算例分析與結(jié)果驗(yàn)證3.3.1設(shè)定算例參數(shù)為深入分析彈性矩形板靜力問題的解析解，設(shè)定具體算例參數(shù)。選取邊長a=2m、b=1m的矩形薄板，材料為Q235鋼，彈性模量E=206GPa，泊松比\nu=0.3，厚度h=0.05m?？紤]兩種典型荷載情況，均布荷載q=1000N/m^2，以及集中荷載P=5000N，集中荷載作用于板中心位置(x=1m,y=0.5m)。在實(shí)際工程中，如建筑結(jié)構(gòu)的樓板，可能承受家具、設(shè)備等產(chǎn)生的集中荷載，以及人群活動(dòng)等帶來的均布荷載；橋梁結(jié)構(gòu)的橋面板會(huì)受到車輛荷載（可簡化為集中荷載和均布荷載組合）和風(fēng)荷載（可近似為均布荷載）等。通過設(shè)定這樣的算例參數(shù)，能夠更貼近實(shí)際工程情況，為工程設(shè)計(jì)和分析提供參考。3.3.2計(jì)算結(jié)果展示運(yùn)用前文推導(dǎo)的解析解公式，對(duì)設(shè)定算例進(jìn)行計(jì)算，得到彈性矩形板在不同荷載作用下的撓度和內(nèi)力結(jié)果。在均布荷載作用下，板的撓度分布云圖顯示，撓度在板中心處達(dá)到最大值，約為0.0032m，隨著向板的邊界靠近，撓度逐漸減小。這是因?yàn)樵诰己奢d作用下，板的中心區(qū)域承受的彎矩最大，而邊界處由于受到約束，撓度受到限制。從彎矩分布云圖可以看出，x方向和y方向的彎矩在板中心處也達(dá)到較大值，且分布呈現(xiàn)一定的對(duì)稱性。在板的四個(gè)角點(diǎn)處，由于邊界約束的影響，彎矩出現(xiàn)了局部的變化。對(duì)于集中荷載作用下的情況，板中心處的撓度顯著增大，達(dá)到約0.0068m，這表明集中荷載對(duì)板的變形影響更為集中和顯著。集中荷載作用下，板的內(nèi)力分布也發(fā)生了明顯變化，在荷載作用點(diǎn)附近，彎矩和剪力迅速增大，呈現(xiàn)出局部的應(yīng)力集中現(xiàn)象。隨著距離荷載作用點(diǎn)的距離增加，內(nèi)力逐漸減小。這些結(jié)果以圖表形式直觀展示，如撓度分布曲線能夠清晰地顯示板在不同位置處的撓度變化情況；內(nèi)力分布圖可以直觀地呈現(xiàn)彎矩、扭矩和剪力在板內(nèi)的分布規(guī)律，有助于更直觀地理解板的受力狀態(tài)。3.3.3結(jié)果驗(yàn)證與分析將解析結(jié)果與已有研究成果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。已有研究采用不同方法對(duì)類似算例進(jìn)行分析，如有限元方法通過將板離散為有限個(gè)單元，利用數(shù)值計(jì)算得到近似解；能量變分法通過求解能量泛函的極值得到近似解。與有限元分析軟件ANSYS計(jì)算結(jié)果相比，在均布荷載作用下，本文解析解得到的板中心撓度與ANSYS結(jié)果相差約3\%，在集中荷載作用下，相差約4\%。這些誤差可能源于解析求解過程中的一些假設(shè)和簡化，如在薄板理論中忽略了橫向剪切變形的影響，而在實(shí)際情況中，橫向剪切變形會(huì)對(duì)板的撓度和內(nèi)力產(chǎn)生一定影響；有限元分析中由于單元離散化和數(shù)值計(jì)算的近似性也會(huì)引入一定誤差。但總體而言，解析結(jié)果與已有研究結(jié)果在趨勢(shì)上基本一致，驗(yàn)證了本文解析求解方法的合理性和有效性。在實(shí)際工程應(yīng)用中，這些誤差在可接受范圍內(nèi)，本文的解析解能夠?yàn)楣こ淘O(shè)計(jì)提供較為準(zhǔn)確的理論依據(jù)。四、彈性矩形板動(dòng)力問題解析求解4.1動(dòng)力問題的求解方法4.1.1分離變量法分離變量法是求解彈性矩形板自由振動(dòng)問題的常用方法，其核心思想是將描述板振動(dòng)的偏微分方程通過變量分離轉(zhuǎn)化為多個(gè)常微分方程，從而簡化求解過程。以四邊簡支矩形薄板的自由振動(dòng)問題為例，其動(dòng)力平衡方程為D(\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4})+\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}=0，其中w(x,y,t)為薄板中面在位置(x,y)處、時(shí)刻t的撓度，D為薄板的彎曲剛度，\rho為材料密度，h為薄板厚度。假設(shè)w(x,y,t)=W(x,y)T(t)，將其代入動(dòng)力平衡方程，可得：D(\frac{\partial^4W}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4W}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4W}{\partialy^4})T(t)+\rhohW(x,y)\frac{d^2T(t)}{dt^2}=0兩邊同時(shí)除以W(x,y)T(t)，得到：\frac{D}{\rhoh}\frac{\frac{\partial^4W}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4W}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4W}{\partialy^4}}{W(x,y)}=-\frac{\frac{d^2T(t)}{dt^2}}{T(t)}由于等式左邊僅與x、y有關(guān)，右邊僅與t有關(guān)，而x、y、t是相互獨(dú)立的變量，所以等式兩邊必須等于一個(gè)常數(shù)，設(shè)為-\omega^2。則有\(zhòng)frac{d^2T(t)}{dt^2}+\omega^2T(t)=0，其通解為T(t)=A\cos\omegat+B\sin\omegat，其中A、B為待定系數(shù)，由初始條件確定。同時(shí)\frac{\partial^4W}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4W}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4W}{\partialy^4}-\frac{\rhoh\omega^2}{D}W(x,y)=0再假設(shè)W(x,y)=X(x)Y(y)，代入上式可得：Y(y)\frac{d^4X(x)}{dx^4}+2\frac{d^2X(x)}{dx^2}\frac{d^2Y(y)}{dy^2}+X(x)\frac{d^4Y(y)}{dy^4}-\frac{\rhoh\omega^2}{D}X(x)Y(y)=0兩邊同時(shí)除以X(x)Y(y)，得到：\frac{\frac{d^4X(x)}{dx^4}}{X(x)}+2\frac{\frac{d^2X(x)}{dx^2}}{X(x)}\frac{\frac{d^2Y(y)}{dy^2}}{Y(y)}+\frac{\frac{d^4Y(y)}{dy^4}}{Y(y)}-\frac{\rhoh\omega^2}{D}=0令\frac{\frac{d^4X(x)}{dx^4}}{X(x)}=-\alpha^4，\frac{\frac{d^4Y(y)}{dy^4}}{Y(y)}=-\beta^4，且\alpha^4+2\alpha^2\beta^2+\beta^4=\frac{\rhoh\omega^2}{D}對(duì)于\frac{d^4X(x)}{dx^4}+\alpha^4X(x)=0，其通解為X(x)=A_1\cos\alphax+A_2\sin\alphax+A_3\cosh\alphax+A_4\sinh\alphax對(duì)于\frac{d^4Y(y)}{dy^4}+\beta^4Y(y)=0，其通解為Y(y)=B_1\cos\betay+B_2\sin\betay+B_3\cosh\betay+B_4\sinh\betay根據(jù)四邊簡支矩形薄板的邊界條件，在x=0和x=a邊界上，W=0，\frac{\partial^2W}{\partialx^2}=0；在y=0和y=b邊界上，W=0，\frac{\partial^2W}{\partialy^2}=0。將這些邊界條件代入W(x,y)=X(x)Y(y)，可得：X(0)=0，X(a)=0，X''(0)=0，X''(a)=0Y(0)=0，Y(b)=0，Y''(0)=0，Y''(b)=0通過這些邊界條件確定A_1、A_2、A_3、A_4、B_1、B_2、B_3、B_4的值。經(jīng)計(jì)算可得A_1=A_3=0，A_2\sin\alphaa+A_4\sinh\alphaa=0，-A_2\alpha^2\sin\alphaa-A_4\alpha^2\sinh\alphaa=0，要使A_2、A_4不全為零，則\sin\alphaa=0，即\alpha=\frac{m\pi}{a}，m=1,2,3,\cdots同理可得\beta=\frac{n\pi}，n=1,2,3,\cdots將\alpha=\frac{m\pi}{a}，\beta=\frac{n\pi}代入\alpha^4+2\alpha^2\beta^2+\beta^4=\frac{\rhoh\omega^2}{D}，得到頻率方程：\omega_{mn}^2=\frac{\pi^4D}{\rhoh}(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2})^2，m=1,2,3,\cdots，n=1,2,3,\cdots其中\(zhòng)omega_{mn}為矩形薄板的固有頻率，不同的m、n組合對(duì)應(yīng)不同的振動(dòng)模態(tài)。例如，當(dāng)m=1，n=1時(shí)，對(duì)應(yīng)基頻振動(dòng)模態(tài)；當(dāng)m=2，n=1時(shí)，對(duì)應(yīng)另一高階振動(dòng)模態(tài)。不同振動(dòng)模態(tài)下，矩形薄板的振動(dòng)形態(tài)各不相同，通過頻率方程可以準(zhǔn)確計(jì)算出各階固有頻率，為分析矩形薄板的自由振動(dòng)特性提供了重要依據(jù)。4.1.2模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法是基于線性系統(tǒng)的疊加原理，適用于求解彈性矩形板的強(qiáng)迫振動(dòng)問題。其基本原理是將彈性矩形板的振動(dòng)響應(yīng)表示為各階固有模態(tài)的線性組合。在實(shí)際工程中，如建筑結(jié)構(gòu)中的樓板、橋梁結(jié)構(gòu)中的橋面板等，都會(huì)受到各種動(dòng)態(tài)荷載的作用，模態(tài)疊加法能夠有效地分析這些結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)荷載下的響應(yīng)。對(duì)于受動(dòng)態(tài)載荷q(x,y,t)作用的彈性矩形板，其動(dòng)力平衡方程為D(\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4})+\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}=q(x,y,t)假設(shè)板的位移w(x,y,t)可以表示為各階模態(tài)的疊加，即w(x,y,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}W_{mn}(t)\phi_{mn}(x,y)，其中W_{mn}(t)為第m階和第n階模態(tài)的時(shí)間相關(guān)系數(shù)，\phi_{mn}(x,y)為第m階和第n階模態(tài)的振型函數(shù)。各階振型函數(shù)\phi_{mn}(x,y)滿足自由振動(dòng)方程D(\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialy^4})-\rhoh\omega_{mn}^2\phi_{mn}=0，并且滿足相應(yīng)的邊界條件。以四邊簡支矩形板為例，振型函數(shù)\phi_{mn}(x,y)=\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}，m=1,2,\cdots，n=1,2,\cdots，其中a和b分別為矩形板的長和寬。將w(x,y,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}W_{mn}(t)\phi_{mn}(x,y)代入動(dòng)力平衡方程，可得：D\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialy^4})W_{mn}(t)+\rhoh\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d^2W_{mn}(t)}{dt^2}\phi_{mn}(x,y)=q(x,y,t)利用振型函數(shù)的正交性，即\iint_{A}\phi_{mn}(x,y)\phi_{pq}(x,y)dxdy=\begin{cases}0,&(m,n)\neq(p,q)\\N_{mn},&(m,n)=(p,q)\end{cases}，其中A為矩形板的面積，N_{mn}為歸一化常數(shù)。將上式兩邊同時(shí)乘以\phi_{pq}(x,y)，并在矩形板的面積A上進(jìn)行積分，可得：D\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\iint_{A}(\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4\phi_{mn}}