第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁山西省2026屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（A卷）一、單選題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，其中是實數(shù)，則（

）A．2 B． C． D．43．某單位100名男員工的體重（單位：）（體重均在內(nèi)）經(jīng)測量整理如下表所示.體重頻數(shù)153532153根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．這100名男員工的體重的中位數(shù)大于B．這100名男員工中體重不低于的員工占比超過20%C．這100名男員工的體重的極差介于至之間D．這100名男員工的體重的平均值介于至之間4．已知曲線，從上任意一點向軸作垂線為垂足，則的中點所在曲線的方程為（

）A． B．C． D．5．已知向量，則（

）A．的最大值為1B．曲線關(guān)于直線對稱C．在上單調(diào)遞增D．在上有個零點6．設(shè)各項為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則取最小值時，等于（

）A． B． C． D．7．定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．8．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，是等腰直角三角形，斜邊長為分別是的中點，，則球的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．甲、乙兩人玩石頭、剪刀、布游戲.在一次游戲中，記事件：甲、乙兩人出的都是剪刀；事件：甲、乙兩人出的相同；事件：甲、乙兩人至少有1人出的是布.則（

）A．與互斥 B．與互為對立事件C． D．10．已知曲線，其中是實數(shù)，且至少有1個大于0，則（

）A．曲線關(guān)于軸對稱B．當(dāng)時，曲線表示橢圓C．當(dāng)時，曲線表示雙曲線D．當(dāng)時，曲線表示兩條平行直線11．設(shè)，函數(shù)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．時，有2個零點B．時，有1個零點C．有3個零點時，D．有4個零點時，三、填空題12．若樣本數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則該樣本的方差為.13．在中，，，其面積為，則.14．設(shè)拋物線的焦點為，準線為.過拋物線上一點作的垂線，垂足為.設(shè)與相交于點.若，且的面積為是拋物線上的一點，則的最小值為.四、解答題15．12月2日是全國交通安全日.為了增強學(xué)生交通安全意識，某中學(xué)有600名學(xué)生參加了交通安全知識測評.根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了200名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖.

（1）從總體的600名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于60的概率；（2）若樣本中有一半男生的分數(shù)不小于60，且樣本中分數(shù)不小于60的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.16．設(shè)數(shù)列的前項和.數(shù)列是等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若是數(shù)列的前項和，求滿足的最小的正整數(shù)的值.17．如圖，在四棱錐中，平面，底面是梯形，，，點是棱上一點，且平面.

（1）求證：；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.18．設(shè)函數(shù).（1）若曲線在點處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若存在正實數(shù)，使得對，都有，求的取值范圍.19．已知點在雙曲線上，是的左?右頂點，是的右焦點，，且是整數(shù).（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點的直線與的右支交于兩點，直線與直線交于點.（i）證明：點在定直線上；（ii）若直線與直線交于點，求面積的最小值.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為，所以.故選D.2．【答案】B【詳解】由，因為，可得，解得，所以，則.故選B.3．【答案】D【詳解】若將體重從低到高排，用表示，則，，當(dāng)時，中位數(shù)是65.5，故A錯誤；100名男員工中，體重不低于的有18人，占比18%，故B錯誤；極差，故C錯誤；每組員工體重都取最低值時，平均值為，每組員工體重都取最高時，平均值低于，故D正確.故選D.4．【答案】A【詳解】設(shè)，則，因為，所以，所以.故選A.5．【答案】C【詳解】對于A：因為，所以的最大值為，故錯誤；對于B：因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，故錯誤；對于C：令，則在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故正確；對于D：令，則()，則()，因為，所以，所以共有個零點，故錯誤.故選C.6．【答案】B【詳解】設(shè)公比為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即3時取等號，此時.故選B.7．【答案】D【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，則，可得，可知4是的一個周期，又因為當(dāng)時，，則，，對，令，可得，令，可得；令，可得；則，，，可得，所以.故選D.8．【答案】A【詳解】如圖所示，因為是等腰直角三角形，且斜邊為，所以，又因為分別是的中點，所以，因為，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，所以為直角三角形，由是等腰直角三角形，且斜邊長為，可得，因為，所以是邊長為2的正三角形，其外接圓半徑為，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，所以，所以球的體積為.故選A.

9．【答案】ACD【詳解】記“石頭”，“剪刀”，“布”，則樣本空間，總數(shù)為，事件包含的樣本點為，事件包含的樣本點為，事件包含的樣本點為，所以與互斥，與不互為對立事件，又事件包含的樣本點為，所以，，，所以，故ACD正確，B錯誤.故選ACD.10．【答案】ACD【詳解】因為曲線，其中是實數(shù)，且至少有1個大于0，對于選項A：將換成可得，所以曲線關(guān)于軸對稱，故A正確；對于選項B：例如滿足，此時曲線表示圓，故B錯誤；對于選項C：若，當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的雙曲線；當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的雙曲線；綜上所述：當(dāng)時，曲線表示雙曲線，故C正確；對于選項D：若，且至少有1個大于0，當(dāng)時，曲線是與軸平行的兩條直線；當(dāng)時，曲線是與軸平行的兩條直線；綜上所述：當(dāng)時，曲線表示兩條平行直線，故D正確；故選ACD.11．【答案】AB【詳解】由題意，，即.A選項，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；且當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)；如圖，作出函數(shù)大致圖象與直線，可知當(dāng)時，的圖象與直線有2個交點，即有2個零點，故A正確；B選項，當(dāng)時，且，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；且；且當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)；如圖，作出函數(shù)大致圖象與直線，可知當(dāng)時，的圖象與直線有個交點，即有1個零點，故B正確；C選項，當(dāng)時，且，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；令，解得；故當(dāng)時，，，且當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)；如圖，作出函數(shù)大致圖象與直線，可知，此時的圖象與直線有3個交點，即有3個零點，但，故C錯誤；D選項，由選項C分析可知，當(dāng)，時，函數(shù)的圖象與直線有個交點，即有4個零點，但，故D錯誤.故選AB.12．【答案】/【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，解得，所以方差.13．【答案】【詳解】因為，則，又，則，即，因為，所以，所以，由余弦定理得到，所以.14．【答案】【詳解】由題意可知：焦點，準線，則，由對稱性不妨設(shè)，則，解得，將點代入，可得，即，由得，可知點縱坐標為，則的面積為，解得，所以拋物線方程為，點坐標為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)點是拋物線的頂點時，取最小值3.15．【答案】（1）0.4（2）【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)小于60的頻率為，所以從總體的600名學(xué)生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于60的概率估計為0.4.（2）由題意可知，樣本中分數(shù)不小于60的學(xué)生人數(shù)為，所以樣本中分數(shù)不小于60的男生人數(shù)為，因為樣本中有一半男生的分數(shù)不小于60，所以樣本中男生為120人，女生為，所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為，所以根據(jù)分層抽樣原理，估計總體中男生和女生人數(shù)的比例為.16．【答案】（1）；（2）11.【詳解】（1）因為，所以由得，所以，所以，時，，又時，，所以的通項公式為；設(shè)的公比為，因為，所以，所以的通項公式為.（2）由（1）知，所以的前項和，所以，所以，所以.由得，令，則，所以，因為，所以，所以滿足的最小的的值為11.17．【答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）證明：過作，交于點，在梯形中，，所以，所以，連接，則平面平面，因為平面平面，所以，因為平面平面，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以，所以.（2）如圖，以為原點，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.

設(shè)，則，由（1）知，所以四邊形是平行四邊形，，即分別是，的中點，所以，設(shè)平面的法向量為，因為，所以，取得.，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成二面角為，則.故.18．【答案】（1）（2）見詳解（3）.【詳解】（1）因為，所以，，所以曲線在點處的切線為，又切線過點，所以，所以.（2）的定義域為，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得；由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，由知時，，當(dāng)時，由（2）知當(dāng)，即時，對成立，所以時，存在正實數(shù)，使得對，從而化為，當(dāng)，即時，由（2）知在上單調(diào)遞減，，化為，即，①時，令，則，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，存在正實數(shù)，使得對，當(dāng)時，由得，由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，要存在正實數(shù)，使得對，則，所以；②當(dāng)時，令，要存在正實數(shù)，使得對，則存在正實數(shù)，使得在上單調(diào)遞減，即對成立，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時，由得，從而，所以.綜合①②知，的取值范圍為