寧德市三校2025?2026學(xué)年第一學(xué)期高三1月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，共150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將班級(jí)、姓名、座號(hào)填寫(xiě)清楚。班級(jí)：__________姓名：__________座號(hào)：__________一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。1.復(fù)數(shù)z=|1+3A.1 B.?1C.i D.?2.已知非零向量a，b，則“a與b共線”是“|a?bA.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.若點(diǎn)P(2,?1)不在圓x2+y2A.12,1 C.12,+∞ 4.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A.若m∥α，nB.若m⊥α，αC.若m⊥n，nD.若m⊥β，m5.已知函數(shù)f(x)=sin2xA.?π3,0C.π6,π6.函數(shù)f(x)=AsinA.函數(shù)f(x)圖象可由y=B.函數(shù)f(x)C.函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線D.函數(shù)f(x)在區(qū)間7.數(shù)列{an}滿足a1+2A.161165 B.C.4966 D.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，|AF|=4，圓E為?FAB的外接圓，直線OM與圓A.6325,1 C.[?3,21] D.[3,27]二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.若正數(shù)m，n，a均不為1，則下列不等式中與“m>n”不等價(jià)的是（A.am>aC.ma>n10.已知?ABC的三個(gè)角A，B，C所對(duì)的三邊分別為a，b，c，a=2，c=2b，設(shè)BCA.cos∠AOCB.?AOCC.?ABC面積的最大值為D.?ABC11.已知函數(shù)f(x)=eA.當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)B.當(dāng)a>e時(shí)，函數(shù)C.當(dāng)a=e2D.函數(shù)f(x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.對(duì)于任意不等于1的正數(shù)a，函數(shù)f(x13.光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出，如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)F1、F2的橢圓Γ與雙曲線Ω構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)F1發(fā)出，依次經(jīng)Ω與Γ反射，又回到了點(diǎn)F1，歷時(shí)4秒；若將裝置中的Ω去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)F1發(fā)出，經(jīng)Γ兩次反射后又回到了點(diǎn)F1，歷時(shí)t秒；已知Γ與Ω的離心率之比為14.棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)點(diǎn)P為底面四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15（13分）.在VABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c。已知asinC=（I）求角A的大??；（6分）（II）設(shè)b=6，c=4。求a和16（15分）.已知正方體ABCD?A1（1）證明：直線AD1⊥（2）若點(diǎn)P在平面A1B1C1D117（15分）.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，S4=14，數(shù)列（1）求數(shù)列{an}（2）設(shè)cn={an+1an18（17分）.已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的方程；（4分）（2）過(guò)(1,0)的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)M，N，設(shè)MN的中點(diǎn)為T(mén)，（i）若直線l的斜率為1，求|MN（ii）若點(diǎn)P(2,0)，判斷|TP|19（17分）.若函數(shù)y=f(x)的圖象上至少有兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱該切線為函數(shù)y（1）判斷函數(shù)y=f(（2）若x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為0（3）當(dāng)a=1時(shí)，證明：函數(shù)f(寧德市三校2025?2026學(xué)年第一學(xué)期高三1月聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1~5:BCADB6~8:DAC8.【詳解】由題意，設(shè)A(3,p)，所以|所以拋物線的方程為y2=4x，A(3,23線AF的方程為y=3((x0?1)2∴圓的方程為(x?5)2+y2則k>0，根據(jù)|5k|1+k2=4設(shè)N(4cosθ+5,4因?yàn)?cosθ+4sinθ9、ABD10、AC11、ABD【詳解】因?yàn)閒(x所以f'(x)=2(ex+a)(當(dāng)g'(x)<0時(shí)，x<lna，所以所以g(x)min=g(所以f(x)=e2xf(2)=e4?4e2g(x)min<0，令ex?ax=0，有1g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)<0，g(即g(x)=ex?ax當(dāng)x<x1時(shí)，g當(dāng)x1<x<x當(dāng)x>x2時(shí)，g(x)>0，即f'遞減，在(x2,+∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(對(duì)于CD：當(dāng)函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，f(xe2x1?2a(x(ax1)2?2a故C錯(cuò)誤，D正確.12.(?1,4)13.2014.2【詳解】在正方體ABCD?A1B1C1間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)P(a,b,2)，0≤a≤2PBD的法向量為m→=(x,yy=?2，z=b則點(diǎn)A，C1到平面PBD距離之和為d設(shè)b?a=t=2(4+t)2(4+1t+4∈16,12的二次函數(shù)，在n∈16,1d1+15.（1）由已知及正弦定理可得sinAsinC=因?yàn)镃∈(0,π)，所以sinC>0，故即sinA=整理得sinA=所以tanA=因?yàn)锳∈(0,π)（II）根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2?2因?yàn)閍>0，所以a根據(jù)正弦定理有：asinA=c又因?yàn)閏<a，所以C<可求得：sin2C=2則cos(16.（1）在正方體ABCD?因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1所以CD⊥又因?yàn)锳D1⊥CD，A1D?所以AD1⊥（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、則A(2,0,0)，D1(0,0,2)，B設(shè)點(diǎn)P(x,y,2)平面PBC的一個(gè)法向量為n2得AD1→=(?2,0,2)，AP→=(x由{n取x1=z1=由{n2→?CB→=2即n2又因?yàn)槠矫鍼AD1⊥平面PBC得(y?1)17.（1）對(duì)數(shù)列{an}，因?yàn)閿?shù)列{由題意：S4=4a所以an對(duì)數(shù)列{bn}且b1?1=4?1=3，所以數(shù)列{bn?1}所以bn（2）因?yàn)閍n1b所以T2=1=317.（1）因?yàn)殡x心率e=ca=22即又因?yàn)辄c(diǎn)（1，2）在橢圓上所以1a由①②聯(lián)立解得：a2=9，所以橢圓C的方程為：x2（2）（i）由題意可知直線l的方程為：y=與橢圓方程C：x29+(3x?7)(x+1)=0解得即|MN（ii）結(jié)論是：|TP當(dāng)斜率等于0時(shí)，直線為y=0，此時(shí)|TP|=2，當(dāng)斜率不等于0時(shí)，設(shè)直線l：x=my+1，M{x2+2Δ=(2故y1+yPM→=(=?5故∠MPN>90°，即點(diǎn)P在以MN綜上所述|TP18.（1）不存在；∵y即y'在R上單調(diào)遞增，∴不存在a,b∈R∴y=f(x)+（2）∵f(x)=ax+sinx，x當(dāng)a≥0時(shí)，∵f(π2)=a當(dāng)a≤?1時(shí)，f'(x)=a+cosx≤0當(dāng)?1<a<0時(shí)，f'(0)=a+1>0，?ε∈(0,1)使得在區(qū)間(0,ε)上f'(x綜上所述，a≤?1????????????