試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2026上海九年級(jí)期終考試數(shù)學(xué)試卷2026年1月（滿分：150分，考試時(shí)間：100分鐘）一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．】1．在比例尺為的地圖中，某廣場(chǎng)的面積約為20平方分米，那么這個(gè)廣場(chǎng)的實(shí)際面積約為（

）A．400平方米 B．4000平方米 C．8000平方米 D．80000平方米2．已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，如果點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，記與軸的夾角為，那么為（

）A．2 B． C． D．3．已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)，，記向量，，如果，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．4．如圖，拋物線經(jīng)過第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是（

）A． B． C． D．5．小明和小麗家在同一幢樓，小明住8樓，小麗住9樓．小明在家里看對(duì)面一幢樓的頂部處的仰角為，看底部處的俯角為；而小麗在家里看對(duì)面這幢樓的頂部處的仰角為，看底部處的俯角為，那么下列結(jié)論中，正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且6．如圖，、是邊、上的兩點(diǎn)，在下列條件中，能夠判定的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，二、填空題：（本大題共10題，每題4分，滿分40分）【各題答案，請(qǐng)?zhí)顚懺诖痤}紙的相應(yīng)題號(hào)位置中．】7．已知：，，那么．8．我們知道拋物線與通過平移是可以重合的，那么要使這兩條拋物線平移后重合，平移的距離至少是．9．如圖，在中，，，，、是邊、上的點(diǎn)，且，將沿翻折至，與交于點(diǎn)．如果的面積是面積的，那么線段的長(zhǎng)是．10．已知一個(gè)斜坡的坡比是，如果某人從坡底沿這個(gè)斜坡走了米到達(dá)坡頂，那么坡底與坡頂間的垂直距離是．（用的代數(shù)式表示）11．如圖，正方形中，、分別為邊、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．設(shè)，，那么．（用向量、表示）12．已知與相似，相似比為，如果的面積是36，那么的面積是．13．已知是銳角，且，那么的值為．14．如果一個(gè)直角三角形的某一邊長(zhǎng)恰好是另兩邊長(zhǎng)之和的一半，那么該三角形較小銳角的正弦值是．15．如圖，在中，，，，那么邊的長(zhǎng)是．16．對(duì)于拋物線及其所在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)垂直于拋物線對(duì)稱軸的直線與該拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)位于點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，我們把點(diǎn)稱為拋物線的內(nèi)點(diǎn)．現(xiàn)有拋物線和，如果點(diǎn)既是拋物線的內(nèi)點(diǎn)，又是拋物線的內(nèi)點(diǎn)，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是．三、解答題：（本大題共7題，滿分86分）17．計(jì)算：．18．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和．(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)指出此拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并說明這條拋物線的變化情況．19．如圖，在梯形中，，，．(1)求證：；(2)求的值．20．如圖，在中，，是的中位線，是線段上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)如果，求證：；(2)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再連接，求證：．21．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、．(1)試用字母的代數(shù)式表示；(2)如果二次函數(shù)圖像上存在點(diǎn)，使得直線垂直平分線段，求此二次函數(shù)的解析式；(3)試問：二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是否可能平分線段？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)二次函數(shù)的解析式；如果不能，請(qǐng)說明理由．22．在鋪設(shè)地板時(shí)，為了使地面轉(zhuǎn)角處的拼接式樣顯得美觀，工人通常會(huì)采用先對(duì)地板進(jìn)行切割后再拼接的方法．現(xiàn)有甲乙兩種規(guī)格的木質(zhì)地板，其寬度之比為（如圖1-1），工人準(zhǔn)備用這兩種地板的組合來鋪設(shè)室內(nèi)某區(qū)域的地板（假設(shè)每塊地板均無正反面之分）．場(chǎng)景1：如圖1-2，當(dāng)遇到轉(zhuǎn)角為直角的地面時(shí)（），可分別對(duì)甲乙兩種地板按圖中方法沿切割后拼接鋪入該轉(zhuǎn)角處；場(chǎng)景2：如圖1-3，當(dāng)遇到轉(zhuǎn)角為60度的地面時(shí)（），可分別對(duì)甲乙兩種地板采用類似方法沿切割后拼接鋪入該轉(zhuǎn)角處．在場(chǎng)景1中，小明觀察到工人采用了以下確定地板切割線的方法：先將甲種地板推至轉(zhuǎn)角并緊貼的兩邊，再將乙種地板的長(zhǎng)邊緊貼的一邊推至緊靠甲種地板（如圖2-1），此時(shí)兩種地板的接觸面即為一條線段，該線段不在邊上的端點(diǎn)即可標(biāo)記為，此時(shí)即為甲種地板的切割線；用類似方法（如圖2-2），也可在乙種地板上確定切割線．(1)在場(chǎng)景1中，寫出乙種地板切割后產(chǎn)生的銳角的正切值，即________；(2)在場(chǎng)景2中（圖1-3），求乙種地板切割后產(chǎn)生的銳角的正切值；(3)小明注意到，工人在場(chǎng)景2中確定甲乙兩種地板的切割線時(shí)，依然沒有采用任何刻度尺、量角器、圓規(guī)等工具，那么工人是如何確定兩種地板的切割線位置的呢？于是小明就將這個(gè)問題帶給了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們，很快小華給出了一種確定乙種地板切割線的方案：步驟示意圖1．將甲種地板的長(zhǎng)邊緊貼墻邊推至其短邊的一個(gè)頂點(diǎn)落在上為止；2．將乙種地板的長(zhǎng)邊緊貼由第一步所固定的甲種地板的長(zhǎng)邊推至其短邊的一個(gè)頂點(diǎn)落在上為止，標(biāo)記此時(shí)該頂點(diǎn)的位置；3．將前兩步中的地板都取走，重新拿一塊乙種地板，將長(zhǎng)邊緊貼墻邊推至其短邊的一個(gè)頂點(diǎn)落在上為止，此時(shí)頂點(diǎn)與前一步標(biāo)記的點(diǎn)的連線即為切割線．請(qǐng)問：此方案所作的乙種地板的切割線是否符合場(chǎng)景2的要求？請(qǐng)說明你的理由．23．如圖，過菱形頂點(diǎn)A分別作邊、的垂線，垂足為E、F，交對(duì)角線于點(diǎn)M、N．(1)求證：；(2)連接，如果，求的值；(3)如果與五邊形的面積均為1，求菱形的面積．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．C【分析】此題考查了比例尺的性質(zhì)．比例尺為長(zhǎng)度比，面積比為長(zhǎng)度比的平方，地圖面積與實(shí)際面積成比例，需進(jìn)行單位換算．【詳解】∵比例尺為，∴長(zhǎng)度比為，面積比為，地圖面積20平方分米，∴實(shí)際面積平方分米，即8000平方米．故選：C．2．C【分析】本題主要考查正切的定義，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上的坐標(biāo)和正切函數(shù)的定義直接計(jì)算．【詳解】解：∵點(diǎn)在拋物線上，且橫坐標(biāo)為，，如圖，過作軸，交軸于點(diǎn)，，故選：C．3．B【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系中向量的線性運(yùn)算，掌握向量坐標(biāo)的加減和數(shù)乘規(guī)則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則，直接計(jì)算的表達(dá)式即可．【詳解】根據(jù)題意，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．4．B【分析】本題主要考查拋物線的圖像與性質(zhì)，根據(jù)圖像確定的符號(hào)即可．【詳解】由圖可知，拋物線開口向上，，故A正確，不符合題意；對(duì)稱軸為，則，故B不正確，符合題意；與軸交于正半軸，則，故C正確，不符合題意；與軸交于不同的兩點(diǎn)，則，故D正確，不符合題意．故選：B．5．B【分析】本題考查了解直角三角形的知識(shí)，通過比較仰角和俯角的正切值來比較角度大小，由于小麗所在樓層比小明高，因此仰角較小而俯角較大．【詳解】解：設(shè)兩樓水平距離為，每層樓高為，對(duì)面樓高為．∵小明住8樓，高度為，∴，．∵小麗住9樓，高度為，∴，．∵，∴，即，且，即．∴且，故選：B．6．D【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．根據(jù)平行線分線段成比例定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A．，，故不能得到，故本選項(xiàng)不合題意；B．，，故不能得到，故本選項(xiàng)不合題意；C．，，故不能得到，故本選項(xiàng)不合題意；D．，能得到，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．7．10【分析】本題主要考查比例關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)比例關(guān)系設(shè)未知數(shù)，求出常數(shù)后計(jì)算表達(dá)式．【詳解】解：設(shè)，，，代入，得，即，解得，則，，，故．故答案為：．8．【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理求出兩點(diǎn)之間的距離，先把一般式化為頂點(diǎn)式，找出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用勾股定理列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意，，即平移的距離至少是．故答案為：，9．【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，由沿翻折至，得，，，證明，由的面積是面積的，即，故有，即，設(shè)，則，由，得，解得：，所以，再證明，得，然后代入即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵將沿翻折至，∴，，，∴，∵∴，∵，∴，∴，∵的面積是面積的，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，∴，由，得，解得：，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．10．##【分析】本題考查了勾股定理以及坡比的定義．根據(jù)坡比定義，垂直高度與水平距離的比為，設(shè)垂直高度為，則水平距離為，利用勾股定理，得，求解得到，即可作答．【詳解】解：依題意，設(shè)垂直高度為米，水平距離為米，∵坡比，∴得，即，根據(jù)勾股定理，，∴，∵，因此，故答案為：11．【分析】本題考查平面向量、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．依題意，設(shè)，得到，再由，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而得到，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)，正方形中，為邊的中點(diǎn)，，，為邊的中點(diǎn)，，、、三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)，，，，解得，．故答案為：．12．81【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】∵與的相似比為，∴面積比為，∵的面積為，∴的面積為．故答案為：81．13．【分析】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，由設(shè)，，再根據(jù)求出的值，最后計(jì)算【詳解】解：依題意，，則，∵，且為銳角，∴設(shè)，，其中∵，∴，即，∴，∴，解得因此，，∴，故答案為：．14．【分析】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，首先，判斷“某一邊”不能是斜邊，因?yàn)闀?huì)導(dǎo)致無解；然后考慮該邊為直角邊，利用勾股定理和條件建立方程，求解得到較短直角邊與斜邊的比值，即為較小銳角的正弦值．【詳解】解：設(shè)直角三角形三邊分別為、、，其中為斜邊，，為最小銳角．①當(dāng)時(shí)，則，∴，∵，∴，整理得，∴，∴原方程無解，即；②當(dāng)時(shí)，則，∴，∵，∴，整理得，解得，∴，∴；③當(dāng)時(shí)，則，∴，∵，∴，整理得，解得，與矛盾，舍去．∴較小銳角的正弦值為．故答案為：．15．【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．作的平分線，交于點(diǎn)，進(jìn)而證得，得到，進(jìn)而可得，再根據(jù)相似比求即可．【詳解】解：作的平分線，交于點(diǎn)，，又，，，，且，，，即，解得，，，，即，解得．故答案為：．16．【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，新定義，一元二次方程的其他應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先理解題意，根據(jù)拋物線和，得出開口方向和對(duì)稱軸，再求出這兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別是，再根據(jù)點(diǎn)既是拋物線的內(nèi)點(diǎn)，又是拋物線的內(nèi)點(diǎn)，進(jìn)行分析，即可作答．【詳解】解：∵的∴開口方向向下，對(duì)稱軸為，把代入，得，即的最大值為；∵的∴開口方向向上，對(duì)稱軸為，拋物線在對(duì)稱軸的右邊，隨著的增大而增大，依題意，得，∴，∴，整理得，解得，∴拋物線和有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)分別是，把代入，得，∵拋物線的對(duì)稱軸為，最大值為，拋物線在對(duì)稱軸的右邊，隨著的增大而增大，且，點(diǎn)既是拋物線的內(nèi)點(diǎn)，又是拋物線的內(nèi)點(diǎn)，∴，故答案為：．17．【分析】本題主要考查特殊銳角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，原式分別代入特殊銳角三角函數(shù)值，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．18．(1)(2)開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是本題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）把解析式化成頂點(diǎn)式，根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求得．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和∴把和代入解析式得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：，∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大．19．(1)見解析(2)【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，梯形的性質(zhì)，勾股定理及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先證，再根據(jù)角的關(guān)系可得，進(jìn)而得到即可證明；（2）由勾股定理得，，再證，得到，進(jìn)而得到，，再利用代入計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：設(shè)相交于點(diǎn)，，則可設(shè)，，，，，，，，，，，即；（2）解：根據(jù)題意，，，，，，，即，，解得，，解得，，由（1）知，即，．20．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查平行線分線段成比例定理、相似三角形判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是相關(guān)性質(zhì)的靈活應(yīng)用．（1）根據(jù)題意，得到，進(jìn)而可得為的中點(diǎn)，再結(jié)合即可得證；（2）連接，由平行線段截線段成比例得到，再證，得到，進(jìn)而得到，再利用“”證明即可求解．【詳解】（1）證明：是的中位線，且，，，，，即，，，即，，即為的中點(diǎn)，，，，，；（2）證明：連接，，，，，，，，，為的中點(diǎn)，，，，在和中，，，．21．(1)(2)(3)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸不能平分線段，理由見解析【分析】（1）把、代入求解即可；（2）利用勾股定理求出，利用等面積法求出，證明求出，得出，從而可求出，然后代入求解即可；（3）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，然后代入直線，判斷所得方程是否有解即可．【詳解】（1）解：把、代入，得，解得；（2）解：如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)D，作于點(diǎn)H，∵、，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵直線垂直平分線段，∴點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，把代入，得，解得，∴；（3）解：∵、，∴線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴對(duì)稱軸是直線．若圖像的對(duì)稱軸能平分線段，則在直線上，∴，∴，此方程無解，∴二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸不能平分線段．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．22．(1)(2)(3)符合場(chǎng)景2的要求，理由見解析【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，（1）先延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，可知，再根據(jù)可得答案；（2