榮德基

第13章三角形中的邊角關系、命題與證明13.2

命題與證明第3課時三角形內(nèi)角和定理的推論—直角三角形的性質(zhì)與判定1.直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形的兩銳角互余；(2)直角三角形兩直角邊分別是另一直角邊上的高.2.直角三角形的判定：(1)有一個角是直角的三角形是

直角三角形；(2)有兩個角互余的三角形是直角三角形.榮德基UDoE

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案

呈

現(xiàn)DCCA榮德基681.在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”時，綜合實踐小組的同學作了如圖所示的四種輔助線，其中不能證明“三角形

的內(nèi)角和等于180°”的是(D)基礎提優(yōu)題知識點1

三角形內(nèi)角和定理的證明延長AC到點

F,過

點C

作

CE//AB過AB上一點

D作DE//BC,

DF//AC過點C

作

CD⊥AB于點D

德

過

點C

作EF//ABC.A.D.B.基礎提優(yōu)題知識點2

直角三角形的性質(zhì)2.

[2025淮北第一中學期中]兩個直角三角板如圖放置，則∠BFE與∠CAF的度

數(shù)之和等于(

C

)A.140°B.145°C.150°

D.155°30°C45°

E(第2題)AB榮德基3.如圖，已知∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.則下列結(jié)論中一定正確的是

(C

)A.

∠1=∠A

B.

∠1+∠B=90°C.

∠2=∠AD.

∠A=∠B(第3題)基礎提優(yōu)題榮德基UDoE

陽基礎提優(yōu)題

德基陽4.

[2025蕪湖無為十校聯(lián)考]如圖，AD,AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠B=30°,

∠C=50

,

則∠DAE的度數(shù)為(

A

)

(第4題)A.10°

B.15°

C.20°D.25°△ABC的高，∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°.∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°.∵AD

是基礎提優(yōu)題【點撥】∵∠B=30°,∠C=50°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°.

∵AE是△ABC

的角平分線，(第4題)榮德基UDoE

陽又5.

如圖，在△ABC中，∠A=90°,

點E,F

分別為AB,AC

上一點，將△ABC沿直線EF

翻折至同一平面內(nèi)，點A落在點A'處，EA′,FA'分別交BC

邊于點M,N.若∠BEA′=80°

,則∠CFA'的度數(shù)為

(

A

)A.100°B.110°C.115°(第5題)基礎提優(yōu)題榮德基UDoE

陽D.120°∵∠A=90°,

(第5題)∴∠AFE=90°-∠AEF=40°.∴∠AFA′=2∠AFE=80°

.∴∠CFA′=180°-∠AFA′=100°

.

故選A.基礎提優(yōu)題【點撥】∵∠BEA′=80°

,∴∠AEA'=180°-∠BEA′=100°.

由折

疊得∠AFA′=2∠AFE,榮德基UDoE

陽基礎提優(yōu)題知識點3

直角三角形的判定6.

具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是(AA.∠A=∠B=3∠CB.∠A-∠B=∠CC.

∠A+∠B=∠CD.

∠A:∠B:∠C=1:2:3榮德基UDoE

陽)基礎提優(yōu)題

榮德基【點撥】A.由∠A=∠B=3∠C

及∠A+∠B+∠C=180°

可得

,則△ABC

不是直角三角形，故

符合題意；B.由∠A-∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可

得∠A=90°,

則△ABC是直角三角形，故不符合題意；C.由

∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°,則△ABC是直角三角形，故不符合題意；D.由∠A:∠B:∠C=1:2:3及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°,∠A=30°,∠B=60°

,則△ABC是直角三角形，故不符合題意.故選A.7.如圖，在△ABC中，AD⊥BC

于點D,E為AC

上任意一點，連接BE交AD于點F.AEC基礎提優(yōu)題ED榮德基B基礎提優(yōu)題(1)若∠ABD=40°,∠AFE=70°,求

證

：BE平分∠ABC;【證明】∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.∴∠DBF+∠BFD=90°.又∵∠BFD=∠AFE=70°,∴∠DBF=20°.又∵∠ABD=40°,∴BE平分∠ABC.榮UDoE德

(2)在(1)的條件下，若∠AFE=∠AEF,請直接寫出圖中所有的直角三角形.AEC【解】△ABC,△ABE,△ABD,△ACD,△BDF都是直角三角形.基礎提優(yōu)題FD榮德基B易錯點忽略用分類討論思想確定三角形最大內(nèi)角導致漏解8.新考法

分類討論法

在直角三角形ABC

中

，∠A:∠B:∠C=2:m:4,

則m的值是2或6.【點撥】設∠A,∠B,∠C的度數(shù)分別為2x,mx,4x.

當∠C為直角

時，2x+mx=4x,

解得m=2;當∠B為直角時，2x+4x=mx,

解得m=6.

故答案為2或6.基礎提優(yōu)題

榮德基點易錯在沒有確定三角形最大內(nèi)角的情況下，應分類討論作答，力求不漏解不錯解.基礎提優(yōu)題榮德基UDoE

陽綜合應用題

榮UDoE德

9.將一副學生用三角板(一個銳角為30°

的直角三角形，一個銳角為45°的直角三角形)如圖疊放，則下列4個結(jié)論中正

確的有

(D

)①0E平分∠AOD;

(第9題)②∠AOC=∠BOD;③∠AOC-∠CEA=15°;④∠COB+∠AOD=180°.A.0

個B.1

個C.2

個

D.3個【點撥】∵∠DOC=∠AOB=90°,∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB,∠AOC=∠BOD.

故②正確；∵∠AOB=∠COD=90°

,∴∠COB+

∠AOD=∠AOB+∠COD=180°,

故④正確；綜合應用題(第9題)榮UDoE德

即∵∠CPE=∠APO,∠C=45°,∠A=30°,∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°,∴∠AOC-∠CEA=15°,

故③正確；沒有條件能證明OE

平分∠AOD,

故①錯誤.故選D.B

CD

45°

p30°0A如圖，設AB與OC交于點P,綜合應用題榮德基10.

如圖，四邊形

ABCD

中，AB//CD,∠C=∠DAB,

點E在線段BC上，DF平

分∠EDC,

交BC于點M,

交AE延長線于

點F,

若∠C=90°,∠AED+∠AEC=180°,設∠AED=x,∠FDC=y,則x與y的數(shù)量關系是(

D

)AA.X+y=90°B.x+2y=90°C.x=4y

D.x-y=45°(第10題)綜合應用題榮德基UDoE

陽【點撥】∵∠

AED+∠AEC=180°,∠AEC+∠FEC=180°

.∴∠AED=∠FEC=x,∴∠DEC=180°-2x.∵∠FDC=y,DF

平分∠

EDC,∴∠EDC=2y,∴∠DEC=90°-2y.∴180°-2x=90°-2y,

即x-y=45°

.綜合應用題(第10題)榮UDoE德

D綜合應用題11.如圖，在△

ABC中，∠C=∠ABC=2∠BAC,

AD⊥BC于點D,BE平分∠ABC.(1)求證：∠BAD=∠CAD;【證明】∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°.又∵∠

ABC=∠C,∴90°

-∠ABC=90°-∠C.∴∠BAD=∠CAD.B榮UDoE德

ADEC(2)求∠CBE的度數(shù).B綜合應用題榮德基【解】∵

BE平分∠ABC,

∴∠CBE=∠ABE.設∠CBE=∠ABE=x,則∠C=∠ABC=2x.

又∵∠C=2∠BAC,

∴∠BAC=x.∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°

.解得x=36°.故∠CBE=36°.AEBC

D綜合應用題榮德基12

.新考法

動點位置探究法(1)如圖①,在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB圖中有與∠A相等的角嗎?為什么?創(chuàng)新拓展題于點D,榮德基①【解】有

.理由：∵

CD⊥AB,∴∠BDC=90°

.∴∠B+∠BCD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°

.∴

∠BCD=

∠A.創(chuàng)新拓展題榮德基UDoE

陽①(2)如圖②,把圖①中的D點向右移動，作ED⊥AB交BC于點E,

圖中還有與∠A

相等的角嗎?為什么?【解】有.理由：∵ED⊥AB,∴∠EDB=90