階段拔尖專訓(xùn)10正方形中的常見模型榮德基圖示條件結(jié)論四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是對角線

BD上一點(diǎn)，連結(jié)AE,CE△ADE≌△CDE;△ABE≌△CBE類型1

正方形中的“對稱”模型【高分秘籍】榮德基UDoE

陽1.[2024隨州期末]已知正方形ABCD,E為對角線BD

上一點(diǎn).B

C榮德基①①

②【證明】∵四邊形ABCD為正方形，∴

AD=CD,∠ADE=∠CDE=45°∵DE=DE,∴△ADE≌△CDE.(1)如圖①,連結(jié)AE,CE,

求證：△ADE≌△CDE;榮UDoE德

(2)如圖②,F是AE

延長線上的一點(diǎn)，CF⊥CE,EF交CD于點(diǎn)G,判斷△CFG

的形狀并說明理由；DGFC②榮德基①EAB【解】△CFG為等腰三角形，理由如下：∵

CF⊥CE,∴∠FCG+∠ECG=90°.由△ADE≌△CDE

知∠DAG=∠ECD.

∵四邊形ABCD

是正方形，∴∠ADG=90°.∴∠DAG+∠AGD=90°,∴∠FCG=∠AGD.

∵∠AGD=∠CGF,

∴∠FCG=∠CGF,∴FG=CF,榮德基UDoE

陽AEB∴△CFG

為等腰三角形.DGC②榮德基ABDC①E>F(3)在(2)的條件下，若AB=3,CG=2DG,連結(jié)DF,則DF的長為

√

13榮德基UDoE

陽②①【點(diǎn)撥】過F作FH⊥CD

于點(diǎn)H.∴∠FHG=∠ADG=90°∵△CFG

為等腰三角形，∴CH=HG.∵CG=2DG,∴HG=DG.又∵∠AGD=∠HGF,∴△ADG≌△FHG,∴FH=AD.∵AB=3,∴FH=3,HD=2,榮德基UDoE

陽∴DF=√DH2+FH2=√13.AEB①D

EGC

②榮德基ABDCF圖示條件結(jié)論在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊CD,AD上，AE⊥BF△ABF≌△DAE,BF=AEa.過兩個頂點(diǎn)型【高分秘籍】類型2正方形中的“十字架”模型榮德基UDoE

陽新視角

·動點(diǎn)探究題2.

母題

·教材P121習(xí)題T2

如圖，在正方形ABCD

中

，E,F

分別是BC,CD

上的點(diǎn)，AE,BF

相交于點(diǎn)P,

并且AE=BF.(1)如圖①,判斷AE

和BF

的位置關(guān)系并說明理由；榮UDoE德

②①∴Rt△ABE≌Rt△BCF,

∴∠BAE=∠CBF.∵∠BAE+∠BEA=90°,

∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠BPE=90°

,∴AE⊥BF.∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°.在Rt△ABE和Rt△BCF中

，【解】AE⊥BF.

理由如下：∵四邊形ABCD

是正方形，榮UDoE德

①②ANPB

E②(2)若AB=8,BE=6,求BP的長度；DMFCDFCABPE

①榮德基AE=√AB2+BE2=10.∵S∴8×6=10BP,∴BP=4.8.在Rt△ABE中，AB=8,BE=6,

根據(jù)勾股定理得△

·BP,①

②榮UDoE德

(

3

)

如

圖

②

,DN⊥AE,FM⊥DN,當(dāng)

點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動時(點(diǎn)F不與點(diǎn)C,D

重合),四邊形FMNP

能否成為正方

形?請說明理由.DFPE

C

①ANE②DFCAB榮德基

榮UDoE德

四邊形FMNP不能成為正方形.理由如下：由(1)知AE⊥BF,∴∠APF=90°

.∵FM⊥DN,DN⊥AE,∴∠FMN=∠MNP=90°,∴

四邊∵∠BAP+∠NAD=∠NAD+∠ADN=90°

∴∠BAP=∠ADN.在△BAP和△ADN中，

①

②形FMNP是矩形.∴AN=BP.∵AE=BF,∴AE-AN=BF-BP,∴EN=PF.

∵

點(diǎn)F在線段CD

上運(yùn)動(點(diǎn)F不與點(diǎn)C,D

重合

)

,∴

P,E

不重合，∴PN≠PF,∴四邊形FMNP不能成為正方形.∴△BAP≌△ADN,榮德基UDoE

陽圖示條件結(jié)論①在正方形ABCD中，圖①:AE⊥MF,圖②:EF⊥GH圖①:AE=MF,圖②:EF=GHb.過一個頂點(diǎn)或不過頂點(diǎn)型【高分秘籍】榮德基UDoE

陽3.[2024鄭州月考](1)如圖①,正方形ABCD中，點(diǎn)P為線段BC上的一個動點(diǎn)，

若線段MN垂直AP

于點(diǎn)E,

交線段AB

于點(diǎn)M,

交線段CD

于點(diǎn)

N,

求證：AP=MN;①

②榮UDoE德

榮德基UDoE

陽【證明】如圖①,過點(diǎn)B作BH//MN

交CD于點(diǎn)H,

則AP⊥BH.∵四邊形ABCD

為正方形，∴

BM//NH,∴

四

①邊形MBHN為平行四邊形，∴

MN=BH.∵

四邊形ABCD是正方形.

∴

AB=BC,∠ABP=90°=∠C,∴∠CBH+∠ABH=∠BAP+∠ABH=90°,∴∠BAP=∠CBH,

∴△ABP≌△BCH,∴BH=AP,∴AP=MN.(2)如圖②,正方形ABCD中，點(diǎn)P為線段BC上的一個動點(diǎn)，若線段MN

垂直平分線段AP,

分別交AB,AP,BD,DC

于點(diǎn)M,E,F,N.

求證：EF=ME+FN.①②榮UDoE德

∠ABF=∠CBF=45°.又∵

BF=BF,

∴△ABF≌△CBF.∴∠FAB=∠FCP.

∴∠FAB=∠FPC.

∵∠FPB+∠FPC=180°,

∴∠FAB+∠F

PB=180°∴∠ABC+∠AFP=180°

,F為對角線BD

上一點(diǎn)，∴FA=FC.又∵FE

垂直平分線段AP,∴FA=FP,∴FP=FC,∴∠FPC=∠FCP.

∵

四邊形ABCD是正方形.

∴

AB=BC,如圖②,連結(jié)FA,FP,FC.

∵正方形ABCD是軸對稱圖形，榮UDoE德

②∵∠ABC=90°,

∴∠AFP=90°,

∴AP=MN,∴MN=ME+EF+FN=AP=2EF,∴EF=ME+FN.

.

由(1)知，榮德基UDoE

陽圖示條件結(jié)論四邊形ABCD是正方形，∠EAF=45°,

延長CB至點(diǎn)G,使得BG=DE,連結(jié)AG△ABG≌△ADE;△FAG≌△FAE;EF=BF+DE類型3

正方形中的“半角”模型【高分秘籍】榮德基UDoE

陽①②(1)如圖①,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F

分別在邊BC,CD

上

，連結(jié)AE,AF,EF,并延長CB到點(diǎn)G,使BG=DF,連結(jié)AG.若∠EAF=45°,猜想BE,EF,DF之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

2024

·

信陽期末4.

新考法·構(gòu)造全等法榮UDoE德

【解】EF=BE+DF.證明如下：∵

四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB,∠ABG=∠ADF=90°.又∵

DF=BG,

∴△ADF≌△ABG,∴AF=AG,∠DAF=∠BAG.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD=90°

.∵∠EAF=45°

,榮德基UDoE

陽∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠BAG+∠BAE=45°,∴∠GAE=∠EAF=45°.又∵

AG=AF,AE=AE,

∴△AGE≌△AFE,∴GE=EF.∵GE=BE+GB=BE+DF,

∴EF=BE+DF.榮UDoE德

②①(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上，點(diǎn)F在線段CD的延長線上，且∠EAF=45°

時，試探究BE,EF,DF

之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

D德①②EF=BE-DF.

理由如下：如圖，在BC

上截取BG=DF,

連結(jié)AG.∵四邊形ABCD

為正方形，∴AD=AB,∠BAD=∠ABG=∠ADF=90°.

又∵DF=BG,

∴△ADF≌△ABG,∴AF=AG,∠DAF=∠BAG.∵∠EAF=∠DAE+∠DAF=45°,∴∠DAE+∠BAG=45°∵∠BAD=90°,榮UDoE德∴∠GAE=∠EAF=45°.

又∵

AG=AF,AE=AE,

∴△AGE≌△AFE,∴GE=EF.∵GE=BE-BG=BE-DF,∴EF=BE—DF.FADC

E榮德基BG類型4正方形中的“手拉手”模型5.如圖①,正方形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動，以PD

為邊作正方形DPFE,

連結(jié)CE.榮UDoE德

②③①P(1)AP

與CE的數(shù)量關(guān)系是

AP=CE,AP與CE的位置關(guān)系是B榮德基UoEAPlCE③②①(2)當(dāng)點(diǎn)P在對角線AC

的延長線上運(yùn)動時，B榮德基③②①①如圖②,探究線段CP,CD

和CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明

理

由

；【解】CE-CP=

√2CD.理由如下：∵四邊形ABCD

是正方形，∴AD=DC,∠ADC=90°,∴AC=√AD2+CD2=√2CD.

∵

四邊形DPFE

是正方形，∴DP=DE,∠PDE=90°=∠ADC,∴∠ADC+∠CDP=∠PDE+∠CDP,

即∠ADP=∠CDE,∴△ADP≌△CDE,∴AP=CE,∴CE-CP=AP-CP=AC=√2CD.榮德基

②如圖③,連結(jié)AE,PE,若AB=

√2,AE=

√29,求四邊形DCPE的面積.∵

四邊形ABCD為正方形，且AB=√2,∴∠DAC=∠ACD=45°,AD=CD=AB=√2,∴AC=√2+2=2.

由①得△ADP≌△CDE,∴∠DCE=∠DAP=45°,∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°