遼寧省沈陽(yáng)市2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.3．函數(shù)極小值為（）A. B.C. D.4．橢圓的焦點(diǎn)為、，上頂點(diǎn)為，若，則（）A B.C. D.5．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.不存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為90°B.存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為45°C.存在點(diǎn)使得二面角的平面角為45°D.當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為6．過拋物線的焦點(diǎn)作互相垂直的弦，則的最小值為（）A.16 B.18C.32 D.647．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣28．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“今有俸糧三百零五石，令五等官（正一品、從一品、正二品、從二品、正三品）依品遞差十三石分之，問，各若干？”其大意是，現(xiàn)有俸糧石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員，依照品級(jí)遞減石分這些俸糧，問，每個(gè)人各分得多少俸糧？在這個(gè)問題中，正三品分得俸糧是（）A.石 B.石C.石 D.石9．若復(fù)數(shù)，則（）A B.C. D.10．在等差數(shù)列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.2411．在空間直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.12．設(shè)雙曲線：（，）的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為雙曲線在第二象限上的點(diǎn)，直線交雙曲線于另一個(gè)點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若直線平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．觀察式子：，，，由此歸納，可猜測(cè)一般性的結(jié)論為______.14．某校開展“讀書月”朗誦比賽，9位評(píng)委為選手A給出的分?jǐn)?shù)如右邊莖葉圖所示.記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計(jì)算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是___________.選手A87899924x1515．命題“”的否定為_____________.16．在1和9之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓（）的離心率是e，定義直線為橢圓的“類準(zhǔn)線”，已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l交橢圓C于E，F(xiàn)兩不同點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)與點(diǎn)A不重合），且滿足，若點(diǎn)P滿足，求直線的斜率的取值范圍.18．（12分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求和；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的方程為（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求與圓相交所得的弦長(zhǎng)；（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，，且為的中點(diǎn)，求直線的方程20．（12分）已知圓（1）若一直線被圓C所截得的弦的中點(diǎn)為，求該直線的方程；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，把的面積S表示為m的函數(shù)，并求S的最大值21．（12分）已知中，分別為角的對(duì)邊，且（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，，求的面積22．（10分）已知，C是圓B：（B是圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)P（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）設(shè)E，F(xiàn)為與x軸的兩交點(diǎn)，Q是直線上動(dòng)點(diǎn)，直線QE，QF分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線MN過定點(diǎn)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到，進(jìn)而得到，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】依題意得：，，，故選：D2、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再對(duì)給定不等式等價(jià)變形，分離參數(shù)借助均值不等式計(jì)算作答.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，，，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“=”，于是得，解得，所以a的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.3、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得該函數(shù)的極小值.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減所以，函數(shù)的極小值為.故選：A.4、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，焦點(diǎn)為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.5、D【解析】由正方體的性質(zhì)可將異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，而當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得，可判斷A；與或重合時(shí)，直線與所成的角最小可判斷B；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，通過計(jì)算可判斷C；過作，交于，交于點(diǎn)，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為90°，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)與或重合時(shí)，直線與所成角最小，為60°，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過作，交于，交于點(diǎn)，因?yàn)椋?、分別是、的中點(diǎn)，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因?yàn)?，且，所以四邊形是等腰梯形，作交于點(diǎn)，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.6、B【解析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，分別設(shè)出，所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的直線方程為，則直線的方程為.，，，.由，得，，同理可得..當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故選：B7、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，所以，解得.故選：A.8、D【解析】令位官員(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)所分得的俸糧數(shù)是公差為數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求，進(jìn)而求出正三品即可.【詳解】正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列，由題意，是以為公差的等差數(shù)列，且，解得.故正三品分得俸糧數(shù)量為（石）.故選：D.9、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】由，故選：A10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式相關(guān)計(jì)算求出公差，進(jìn)而求出首項(xiàng).【詳解】設(shè)公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B11、C【解析】根據(jù)空間坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系求解【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C12、A【解析】由給定條件寫出點(diǎn)A，F(xiàn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出線段FC的中點(diǎn)坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線列式計(jì)算即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，點(diǎn)，設(shè)，由雙曲線對(duì)稱性得，線段FC的中點(diǎn)，因直線平分線段，即點(diǎn)D，A，B共線，于是有，即，即，離心率.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)規(guī)律，不等式的左邊是個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，右邊分母是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)論【詳解】解：觀察可以發(fā)現(xiàn)，第個(gè)不等式左端有項(xiàng)，分子為1，分母依次為，，，，；右端分母為，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第個(gè)不等式（）故答案為：（）14、4【解析】根據(jù)題意分和兩種情況討論，再根據(jù)平均分公式計(jì)算即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則去掉的最低分?jǐn)?shù)為87分，最高分?jǐn)?shù)為95分，則，所以，當(dāng)時(shí)，則去掉的最低分?jǐn)?shù)為87分，最高分?jǐn)?shù)為分，則平均分為，與題意矛盾，綜上.故答案為：4.15、【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可得結(jié)果.【詳解】由特稱命題否定是全稱命題，故條件不變，否定結(jié)論所以“”的否定為“”故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱命題的否定是全稱命題，屬基礎(chǔ)題.16、27【解析】設(shè)公比為，利用已知條件求出，然后根據(jù)通項(xiàng)公式可求得答案【詳解】設(shè)公比為，插入的三個(gè)數(shù)分別為，因?yàn)椋?，得，所以，故答案為?7三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題意列關(guān)于，，的方程，聯(lián)立方程組求得，，，則橢圓方程可求；（2）分直線軸與直線l不垂直于x軸兩種情況討論，當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，，直線l：（，），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元由，得到，再列出韋達(dá)定理，由則，解得，再由，求出的坐標(biāo)，則，再利用基本不等式求出取值范圍；【詳解】解：（1）由題意得：，，又，聯(lián)立以上可得：，，，橢圓C的方程為.（2）由（1）得，當(dāng)直線軸時(shí)，又，聯(lián)立得，解得或，所以，此時(shí)，直線的斜率為0.當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，，直線l：（，），聯(lián)立，整理得，依題意，即（*）且，.又，，，即，且t滿足（*），，，故直線的斜率，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)；綜上，直線的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于難題.18、（1），；（2）.【解析】（1）求出，即得數(shù)列的和；（2）由題得，再利用分組求和求出，得到，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性得解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，，即，整理得，又，，；（2）由題意：，，，令，則，即對(duì)任意的恒成立，是單調(diào)遞增數(shù)列，，只需，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的最值，常用數(shù)列的單調(diào)性求解，求數(shù)列的單調(diào)性，一般利用定義法作差或作商判斷.19、（1）（2）或【解析】（1）、由題意可知直線的方程為，圓的圓心為，半徑為，求出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理即可求出與圓相交所得的弦長(zhǎng)；（2）、設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，均在圓上，將，坐標(biāo)代入圓方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線的方程【小問1詳解】由題意：直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線的斜率為直線的方程為，圓的方程為圓的方程可化為：圓的圓心為，半徑為圓的圓心到直線：的距離為，與圓相交所得的弦長(zhǎng)為【小問2詳解】設(shè)，為的中點(diǎn)，又，均在圓上，或直線方程或20、（1）（2），最大值為.【解析】（1）利用垂徑定理求出斜率，即可求出直線的方程；（2）利用幾何法表示出弦長(zhǎng)與d的關(guān)系，利用基本不等式求出的面積S的最大值【小問1詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.則.設(shè)所求的直線為m.由圓的幾何性質(zhì)可知：，所以，所以所求的直線為：，即.【小問2詳解】設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，且，所以因?yàn)橹本€與圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以,解得：且.而的面積：因?yàn)樗裕ㄆ渲袝r(shí)等號(hào)成立）.所以S的最大值為.21、（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理化邊為角可得，化簡(jiǎn)可得，結(jié)合，即得解；（2）在中，由余弦定理得，可得，利用面積公式即得解【詳解】（1）中由正弦定理及條件，可得，∵，，∴，∵，∴，或，又∵，∴，∴，，∴（2）為邊的中點(diǎn)，，，得，中，由余弦定理得，∴，∴，∵，∴，22、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)，利用橢圓的定義求解；（2）（解法1）設(shè)，得到，的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得M，N的坐標(biāo)，寫出直線的方程求解；（解法2）上同解法1，由對(duì)稱性分析知?jiǎng)又本€MN所過定點(diǎn)一定在x軸上，設(shè)所求定點(diǎn)為，由C，D，T三點(diǎn)共線，然后由求解；（解法3）設(shè)，由，，設(shè)：，：，其中，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，由F，M，N三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為該方程的三個(gè)根，得到：求解.【小問1詳解】解：由題知，則，由橢圓的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，所以軌跡的方程為