2026屆山東省青島市黃島區(qū)開發(fā)區(qū)致遠(yuǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)任意，，則的解集為（）A. B.C. D.2．在一次體檢中，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個(gè)單位的職工中體重超過的人員的體重如下（單位：）.若規(guī)定超過為顯著超重，從甲、乙兩個(gè)單位中體重超過的職工中各抽取1人，則這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為（）A. B.C. D.3．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．已知集合A=（）A. B.C.或 D.5．函數(shù)的最小值為（）A. B.1C.2 D.e6．設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則（）A.10 B.C. D.387．如圖給出的是一道典型的數(shù)學(xué)無字證明問題：各矩形塊中填寫的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)無窮數(shù)列，所有數(shù)字之和等于1.按照?qǐng)D示規(guī)律，有同學(xué)提出了以下結(jié)論，其中正確的是（）A.由大到小的第八個(gè)矩形塊中應(yīng)填寫的數(shù)字為B.前七個(gè)矩形塊中所填寫的數(shù)字之和等于C.矩形塊中所填數(shù)字構(gòu)成的是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列D.按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第n-1個(gè)矩形塊中所填數(shù)字是8．從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中不在軸上的點(diǎn)有（）A.36個(gè) B.30個(gè)C.25個(gè) D.20個(gè)9．如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路或運(yùn)送到形狀為四邊形區(qū)域的農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)中去，現(xiàn)要求在農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路運(yùn)送蔬菜較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路運(yùn)送蔬菜較近，則該界線所在曲線為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線10．已知雙曲線的離心率為5，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.11．從某個(gè)角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．已知{}為等比數(shù)列.，則＝（）A.—4 B.4C.—4或4 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線m，n，直線m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線n與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若．則下列方程①；②；③；④．其中可以作為直線AB的方程的是______（寫出所有正確答案的序號(hào)）14．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________．甲組乙組15．已知原命題為“若，則”，則它的逆否命題是__________（填寫”真命題”或”假命題”）16．設(shè)，復(fù)數(shù)，，若是純虛數(shù)，則的虛部為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，短軸長(zhǎng)等于焦距.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.19．（12分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，，且，求a.20．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)（其中A在B的上方），過線段AB的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線OA、OB，l于點(diǎn)P、Q、N（1）試探索PM與NQ長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)P、Q是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，求直線AB的斜率；（3）當(dāng)P、Q不是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，證明：以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長(zhǎng)為半徑的圓Q不可能包圍線段NP21．（12分）已知拋物線：，直線過定點(diǎn).（1）若與僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；（2）若與交于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB（其中О為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，試探究在，，，中，運(yùn)算結(jié)果是否有為定值的？并說明理由.22．（10分）某餐館將推出一種新品特色菜，為更精準(zhǔn)確定最終售價(jià)，這種菜按以下單價(jià)各試吃1天，得到如下數(shù)據(jù)：（1）求銷量關(guān)于的線性回歸方程；（2）預(yù)計(jì)今后的銷售中，銷量與單價(jià)服從（1）中的線性回歸方程，已知每份特色菜的成本是15元，為了獲得最大利潤(rùn)，該特色菜的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（附：，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設(shè)，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以要使，即，只需要，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.2、B【解析】列舉出所有選取的情況，再找出滿足題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】不妨用表示每種抽取情況，其中是指甲單位抽取1人的體重，代表從乙單位抽取人的體重.則所有的可能有16種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿足題意的有6種：，，，，，故抽取的這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為：.故選：.3、C【解析】先把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出即可求解【詳解】由，有，可得，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C4、A【解析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧希?故選：A.5、B【解析】先化簡(jiǎn)為，然后通過換元，再研究外層函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得的最小值【詳解】化簡(jiǎn)可得：令，故的最小值即為的最小值，是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，易知對(duì)求導(dǎo)可得：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增則有：故選：B6、A【解析】寫出點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱性易得線段長(zhǎng)【詳解】點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，的橫標(biāo)和縱標(biāo)與相同，而豎標(biāo)與相反，，，，直線與軸平行，，故選：A7、B【解析】根據(jù)題意可得矩形塊中的數(shù)字從大到小形成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.【詳解】設(shè)每個(gè)矩形塊中的數(shù)字從大到小形成數(shù)列，則可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，所以由大到小的第八個(gè)矩形塊中應(yīng)填寫的數(shù)字為，故A錯(cuò)誤；前七個(gè)矩形塊中所填寫的數(shù)字之和等于，故B正確；矩形塊中所填數(shù)字構(gòu)成的是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第個(gè)矩形塊中所填數(shù)字是，故D錯(cuò)誤.故選：B.8、C【解析】根據(jù)點(diǎn)不在y軸上，分2類根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)不在軸上，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)不能為0，分兩類考慮，第一類含0且為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，共有個(gè)點(diǎn)，第二類坐標(biāo)不含0的點(diǎn)，共有個(gè)點(diǎn)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有個(gè)點(diǎn).故選：C9、C【解析】設(shè)是界限上的一點(diǎn)，則，即，再根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案.【詳解】解：設(shè)是界限上的一點(diǎn)，則，所以，即，在中，，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線，即該界線所在曲線為雙曲線.故選：C.10、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.11、D【解析】設(shè)出雙曲線方程，通過做標(biāo)準(zhǔn)品和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且AB＝BC＝CD，推出點(diǎn)在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，因?yàn)锳B＝BC＝CD，所以，所以，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D12、B【解析】根據(jù)題意先求出公比，進(jìn)而用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得答案.【詳解】由題意，設(shè)公比為q，則，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】①②結(jié)合橢圓方程得到與橢圓參數(shù)的關(guān)系，即可判斷；③④聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求，即可判斷.【詳解】由題設(shè)，且右焦點(diǎn)為，①時(shí)直線，故，則符合題設(shè)；②時(shí)，同①知：符合題設(shè)；③時(shí)直線，聯(lián)立直線AB與橢圓方程并整理得：，則，同理可得，則，不合題設(shè)；④時(shí)，同③分析知：，不合題設(shè)；故答案為：①②.14、【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義，結(jié)合莖葉圖進(jìn)行計(jì)算求解即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知：甲組名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)分別；乙組名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)分別，因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以有，又因?yàn)橐医M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以有，所以，故答案為：15、真命題【解析】先判斷原命題的真假，再由逆否命題與原命題是等價(jià)命題判斷.【詳解】因?yàn)槊}“若，則”是真命題，且逆否命題與原命題是等價(jià)命題,所以它的逆否命題是真命題，故答案為：真命題16、【解析】由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出，又是純虛數(shù)，可求出，從而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及虛部的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以，又是純虛數(shù)，所以，所以，所以所以的虛部為，故答案：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓頂點(diǎn)可知，又短軸長(zhǎng)等于焦距可知，求出，即可寫出橢圓方程（2）根據(jù)“點(diǎn)差法”可求直線的斜率，寫出直線方程，聯(lián)立橢圓方程可得，，代入弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】（1）依題意，解得.故橢圓方程為.（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，，直線的斜率顯然存在，設(shè)斜率為，則，兩式相減得，整理得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，則，，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，“點(diǎn)差法”，弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題.18、（1）；（2）或.【解析】（1）由離心率公式、將點(diǎn)代入橢圓方程得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立橢圓和直線的方程，由判別式得出的范圍，再由韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式得出，求出的值得出直線的方程.【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以.①又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以有.②聯(lián)立①②可得，，，所以橢圓的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.由消去整理得，.因?yàn)橹本€與橢圓交于不同兩點(diǎn)，所以，即，所以設(shè)，，則，.由題意得，面積，即.因?yàn)榈拿娣e為，所以，即.化簡(jiǎn)得，，即，解得或，均滿足，所以或.所以直線的方程為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第二問中，關(guān)鍵是由韋達(dá)定理建立的關(guān)系，結(jié)合三角形面積公式求出斜率，得出直線的方程.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用余弦定理化簡(jiǎn)可求出；（2）由可求出，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即求.【小問1詳解】）∵且，∴，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，，∴.20、（1），證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】（1）根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程及，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，三點(diǎn)共線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件得出，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得出直線的斜率；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論及求根公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合的表達(dá)式，結(jié)合圖形可知,由的范圍和的取值即可證明.【小問1詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)直線的方程為，則，消去，得，，，所以直線的方程為，由因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，同理，，,所以，所以.【小問2詳解】因?yàn)镻、Q是線段MN的三等分點(diǎn)，所以，，，又，，所以，所以，解得或（舍）所以直線AB的斜率為.【小問3詳解】由（1）知，，得，所以，，又,,,,當(dāng)時(shí)，,由圖可知，,而只要，就有,所以當(dāng)P、Q不是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長(zhǎng)為半徑的圓Q不可能包圍線段NP21、（1）或或（2）為定值，而，，均不為定值【解析】（1）過拋物線外一定點(diǎn)的直線恰好與該拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則分兩類分別討論，一是直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，二是直線與拋物線相切；（2）聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，分別表示出，，，為直線斜率的形式，便可得出結(jié)果.【小問1詳解】過點(diǎn)的直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線可能與拋物線的對(duì)稱軸平行，也可能與拋物線相切，下面分兩種情況討論：當(dāng)直線可能與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，則有：當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，由于點(diǎn)在軸上方，且在拋物線外，則存在兩條直線與拋物線相切：易知：是其中一條直線另一條直線與拋物線上方相切時(shí)，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：則有：解得：故此時(shí)的直線的方程為：綜上，直線的方程為：或或【小問2詳解】若與交于A，B兩點(diǎn)，分別設(shè)其坐標(biāo)為，，且由（1）可知直線要與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率存在且不為，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物