/北京市西城區(qū)德勝中學(xué)2025?2026學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．他強(qiáng)調(diào)：“推動(dòng)中國(guó)制造向中國(guó)創(chuàng)造轉(zhuǎn)變、中國(guó)速度向中國(guó)質(zhì)量轉(zhuǎn)變、中國(guó)產(chǎn)品向中國(guó)品牌轉(zhuǎn)變．”當(dāng)前，越來(lái)越多的國(guó)貨品牌獲得了市場(chǎng)的認(rèn)可．下列國(guó)貨品牌標(biāo)志圖案中是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的注疏中，數(shù)學(xué)家劉徽曾提及一種用于測(cè)量微小長(zhǎng)度的單位“忽”，經(jīng)現(xiàn)代換算，1忽約等于米．則用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．如圖，為估計(jì)池塘岸邊，兩點(diǎn)的距離，小德同學(xué)在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)，測(cè)得，，則點(diǎn)，間的距離不可能是（

）A． B． C． D．4．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．5．下列分式變形正確的是（

）A． B．C． D．6．在課堂上，李老師發(fā)給每人一張印有（如圖1）的卡片，然后要求同學(xué)們畫一個(gè)，使得．小宏同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過(guò)程如圖所示．這種畫圖方法的依據(jù)是（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，，，是的中線，是的角平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A．4.5 B．5 C．5.5 D．68．如圖，有正方形，，現(xiàn)將放在的內(nèi)部得圖，將，并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖，若圖，圖中陰影部分的面積分別為，．下列說(shuō)法正確的有（

）個(gè)．正方形和的面積和是；圖中新的正方形的面積是；正方形和的面積差是；正方形的邊長(zhǎng)是．

A． B． C． D．二、填空題9．若分式有意義，則的取值范圍是．10．港珠澳大橋全長(zhǎng)約55公里，集橋、島、隧于一體，是連接香港、珠海和澳門的超大型跨海通道，是迄今世界最長(zhǎng)的跨海大橋．下圖是港珠澳大橋中的斜拉索橋，索塔、斜拉索、橋面構(gòu)成了三角形，這樣使其更穩(wěn)定，其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是．11．下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是．（填序號(hào)）①；②；③；④．12．如圖所示，，點(diǎn)P為內(nèi)的一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接交于M，交于N，則．13．如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接和，則的大小為°．14．計(jì)算．15．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分線交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，連接DE，DF⊥BC于F，則∠EDC=°．16．如圖，在等邊中，點(diǎn)、在邊上，并且滿足，連接、，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接、．若，則在點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，最短時(shí)，．三、解答題17．因式分解：（1）；（2）．18．（1）計(jì)算：；（2）解分式方程：．19．如圖，在中．．求作線段的中點(diǎn)．小明發(fā)現(xiàn)作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，依小明的思路作出點(diǎn)（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．∵垂直平分，∴________（________）（填推理依據(jù)）．∴．∵，∴，．∴________．∴．∴．∴點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．20．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．21．如圖，與是等邊三角形．（1）求證：；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，判斷的大小并證明．22．列分式方程解應(yīng)用題：2024年7月27日，北京中軸線申遺成功．中軸線南起永定門，北至鐘鼓樓．某班級(jí)兩個(gè)小組分別在永定門和鐘鼓樓參觀之后，他們同時(shí)出發(fā)到故宮集合．第一小組從永定門騎行至故宮，行程約，第二小組從鐘鼓樓步行至故宮，行程約．已知騎行的速度是步行速度的2倍，第一小組比第二小組提前6分鐘到達(dá)，求第二小組步行的速度是每小時(shí)多少千米．23．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和線段，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，對(duì)于給定的一個(gè)正數(shù)，若點(diǎn)使得是以為底邊的等腰三角形，且，則稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于線段的度等腰點(diǎn)．

（1）如圖，點(diǎn)在軸上，，，在，，中，是點(diǎn)關(guān)于線段的度等腰點(diǎn)的是________________；（2）如圖，，，，若存在點(diǎn)關(guān)于線段的度等腰點(diǎn)，求的取值范圍；（3）如圖，點(diǎn)，，點(diǎn)在軸正半軸上，滿足，點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，若存在點(diǎn)關(guān)于線段的度等腰點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍（用含的式子表示）．24．已知等邊中，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，________°；（2）連接，如圖2，當(dāng)時(shí)，①判斷的形狀，并證明；②設(shè)邊長(zhǎng)，面積，如圖3，的平分線所在直線交于點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，連接，寫出此時(shí)面積______．25．已知（是正整數(shù)），叫作的平方差倒數(shù)．例如，叫作3的平方差倒數(shù)．（1）2的平方差倒數(shù)是________；（2）是的平方差倒數(shù)，求的值：（3）已知是某一正整數(shù)的平方差倒數(shù)（，是正整數(shù)），求的最小值．26．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作直線軸，圖形關(guān)于直線的對(duì)稱圖形為，圖形上任一點(diǎn)到軸，軸的距離的最大值是，稱是圖形關(guān)于直線的倍鏡像“接收距離”．已知點(diǎn)，．（1）①線段關(guān)于直線的1倍鏡像“接收距離”是________；②線段關(guān)于直線的倍鏡像“接收距離”是3，的取值范圍是________；（2）點(diǎn)，關(guān)于直線的倍鏡像“接收距離”的最小值是________；（3）點(diǎn)，，線段關(guān)于直線的倍鏡像“接收距離”小于線段關(guān)于直線的倍鏡像“接收距離”，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．

答案1．【正確答案】C【分析】題目主要考查軸對(duì)稱圖形的定義，在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，叫做軸對(duì)稱圖形，理解此定義是解題關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，只有選項(xiàng)C能找到一條直線使得折疊后可以重合，是軸對(duì)稱圖形；故選C．2．【正確答案】D【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，熟練掌握一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定是解題的關(guān)鍵．左起第一個(gè)不為零的數(shù)為，前面有個(gè)零，故，即可求解．【詳解】解：，故選D．3．【正確答案】A【分析】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，掌握在三角形中，任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍即可解答．【詳解】解：由題意得，，∴，即，∴四個(gè)選項(xiàng)中，只有A選項(xiàng)符合題意.故選A．4．【正確答案】B【分析】本題考查指數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則，熟練掌握冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法和除法、積的乘方法則分別計(jì)算即可判斷．【詳解】解：A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B選項(xiàng)：，故B正確，符合題意；C選項(xiàng)：，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D選項(xiàng)：，故D錯(cuò)誤，不符合題意；故選B．5．【正確答案】B【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、，而，兩者不相等，∴A錯(cuò)誤；B、（當(dāng)），變形正確，∴B正確；C、與不一定相等，例如當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不相等，∴C錯(cuò)誤；D、，而不一定等于其平方，例如當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不相等，∴D錯(cuò)誤；故選B．6．【正確答案】D【分析】本題考查尺規(guī)作圖，全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定解答．根據(jù)演示由尺規(guī)作圖的方法確定作圖的具體步驟，即可判斷．【詳解】解：由圖示知，小宏第一步為截取線段，第二步為作線段，在與中，，，故選D．7．【正確答案】D【分析】本題考查等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)．利用平行線找出等角等邊，靈活運(yùn)用直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)是等腰三角形，且為中線，平分，可得，再由，則，，根據(jù)和直角三角形性質(zhì)可求解．【詳解】是等腰三角形，且為底邊中點(diǎn)，，，，，，平分，，，，，，，，．故選D．8．【正確答案】B【分析】本題考查了完全平方公式、平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，靈活應(yīng)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，分別表示出圖和圖中陰影部分的面積，結(jié)合完全平方公式得到，，然后逐個(gè)說(shuō)法利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行變形計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，圖中陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，，，，則，圖中陰影部分的面積為，，正方形和的面積和是，故不正確；圖中新的正方形的面積是，故不正確；由知，，則正方形和的面積差是，故正確；聯(lián)立，解得，則正方形的邊長(zhǎng)是，故正確；綜上所述，正確的有，共個(gè)．故選B．9．【正確答案】【分析】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．由分式有意義的條件：分母不為零，列不等式解不等式，從而可得答案．【詳解】解：由題意得，，解得.10．【正確答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可．本題考查的是三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：港珠澳大橋中的斜拉索橋，索塔、斜拉索、橋面構(gòu)成了三角形，這樣使其更穩(wěn)定，其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是三角形具有穩(wěn)定性.11．【正確答案】③【分析】本題主要考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)因式分解的概念：將多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式積的形式，依據(jù)此對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可求出答案．【詳解】解：選項(xiàng)①是整式乘法，不是因式分解；選項(xiàng)②右邊不是積的形式，不是因式分解；選項(xiàng)③左邊是多項(xiàng)式，右邊是整式的積，是因式分解；選項(xiàng)④右邊含有分式，不是整式，不是因式分解；故答案為③．12．【正確答案】【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，可得到，再由三角形內(nèi)角和定理可得，即可求解．【詳解】∵P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱是點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，，.13．【正確答案】110【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，以及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形的性質(zhì)得和，結(jié)合題意得和，利用三角形外角和性質(zhì)得即可求得答案．【詳解】解：∵，，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，則.14．【正確答案】10【分析】根據(jù)負(fù)指數(shù)冪的定義以及任何不為0的數(shù)的零次方都等于1，計(jì)算即可得到答案．【詳解】解.15．【正確答案】30【分析】過(guò)D作DM⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于M，DN⊥AE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF=DM，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠DAM=60°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAE=60°，推出DE平分∠AEB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AEB=90°，得到∠DEF=45°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】過(guò)D作DM⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于M，DN⊥AE，∵CD平分∠ACB，∴DF=DM，∵∠BAC=120°，∴∠DAM=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=60°，∴∠DAM=∠BAE，∴DM=DN，∴DF=DN,∵DF⊥BC，∴DE平分∠AEB，∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，∴AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠DEF=45°，∵∠B=∠ACB=30°，CD平分∠ACB，∴∠DCF=15°，∴∠EDC=∠DEF-∠DCF=30°.故答案為30．16．【正確答案】【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.作點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則交于點(diǎn)N，證明是等邊三角形，當(dāng)重合時(shí)，最小，此時(shí)在中求得最小.【詳解】解：作點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則交于點(diǎn)N，在等邊中，，，，，，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，得，，，，，，，即，，是等邊三角形，，，當(dāng)，即P，Q兩點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，在中，，當(dāng)時(shí)，最小，，，在中，，.17．【正確答案】（1）（2）【分析】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．（1）先提取公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；（2）先提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解；【詳解】（1）解：原式（2）解：原式18．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，解分式方程，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）先算乘方，再算乘除，最后算加減，即可得出答案；（2）分式方程先去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)，最后求出的解，檢驗(yàn)即可．【詳解】解：（1）原式解：（2）去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，．經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．19．【正確答案】（1）見詳解（2）；線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；【分析】本題考查了作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)；（1）根據(jù)題意作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，等邊等角可得，進(jìn)而根據(jù)等角的余角相等，可得，得出，等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】（1）作圖如圖所示：（2）證明：連接．∵垂直平分，∴（線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．∴．∵，∴，．∴．∴．∴．∴點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．20．【正確答案】；3【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，求代數(shù)式的值，運(yùn)用因式分解，通分，約分等技巧化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．先對(duì)分式通分、因式分解、約分等化簡(jiǎn)，化成最簡(jiǎn)分式，后代入求值．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．21．【正確答案】（1）見詳解（2），見詳解【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明出全等是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用“”即可證明全等；（2）由全等的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，即可求出的大?。驹斀狻浚?）證明：與是等邊三角形，，，，，即，在和中，，；（2）解：，，，∵，，，．22．【正確答案】第二小組的步行速度是每小時(shí)5千米【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系、正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)第二小組的步行速度是每小時(shí)x千米，則第一小組的騎行速度是每小時(shí)千米，根據(jù)第一小組比第二小組提前6分鐘到達(dá)，列出分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)第二小組的步行速度是每小時(shí)x千米，則第一小組的騎行速度是每小時(shí)2x千米，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．答：第二小組的步行速度是每小時(shí)5千米．23．【正確答案】（1），（2）的取值范圍為且（3）且【分析】（1）根據(jù)，，得線段的對(duì)稱軸為直線，設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為Q，且點(diǎn)B，點(diǎn)C到對(duì)稱軸的距離為，結(jié)合點(diǎn)使得是以為底邊的等腰三角形，得到點(diǎn)P在對(duì)稱軸直線上，當(dāng)時(shí)，得到，此時(shí)是等腰直角三角形，且，這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，恰好是；當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)在下方時(shí)，，也符合題意；當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)在上方時(shí)，，不符合題意；解答即可．（2）設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，確定直線為線段的垂直平分線，求得其解析式為，確定點(diǎn)，都是等腰點(diǎn)的直角點(diǎn)，列式解答即可．（3）當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，以為邊構(gòu)造等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，利用等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的思想解答即可．【詳解】（1）解：，，∴線段的對(duì)稱軸為直線，設(shè)對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為，∴點(diǎn)，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為，∵點(diǎn)使得是以為底邊的等腰三角形，∴點(diǎn)在對(duì)稱軸直線上，點(diǎn)，，都在對(duì)稱軸直線上，當(dāng)時(shí)，∴，此時(shí)是等腰直角三角形，且，這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，恰好是，符合題意；點(diǎn)在下方，連接，，∵，，∴，∴，即，故，也符合題意；點(diǎn)在上方，連接，，∵，，∴，即，∴，故，不符合題意.（2）解：設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵，，∴，，，，∴直線為線段的垂直平分線，設(shè)直線的解析式為，，解得，∴直線的解析式為，∴點(diǎn)關(guān)于線段的度等腰點(diǎn)在直線上，∵，，設(shè)的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為，∴，的垂直平分線為直線，∴點(diǎn)，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為，∵點(diǎn)使得是以為底邊的等腰三角形，且點(diǎn)關(guān)于線段的度等腰點(diǎn)，∴點(diǎn)關(guān)于線段的度等腰點(diǎn)在對(duì)稱軸直線上，且當(dāng)?shù)妊c(diǎn)到軸的距離為時(shí)，為直角，∴點(diǎn)，都是等腰點(diǎn)的直角點(diǎn)，∴或，解得或，∴等腰點(diǎn)在點(diǎn)下方，在上方，包括這兩點(diǎn)，∴的取值范圍為，∵時(shí)，，等腰點(diǎn)，三點(diǎn)共線，∴，此時(shí)不符合題意，∴的取值范圍為且．（3）解：當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，如圖，以為邊構(gòu)造等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，滿足，∴，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，∴，四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，存在點(diǎn)關(guān)于線段的度等腰點(diǎn)，∴是的一半，∴，當(dāng)向上平移個(gè)單位時(shí)，此時(shí)；當(dāng)向下平移個(gè)單位時(shí)，此時(shí)；根據(jù)定義得，當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，不符合題意，故，∴且．24．【正確答案】（1）（2）①是等邊三角形，見詳解；②．【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，利用“化曲為直”求最值是解題的關(guān)鍵．（1）由垂直平分線的性質(zhì)可得，由等邊對(duì)等角可得，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得，然后再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)即可解答；（2）①由等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角可以說(shuō)明垂直平分，即，結(jié)合已知條件可得，即，進(jìn)而證明是等邊三角形；②由等邊三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義可得，如圖：過(guò)P作于D，連接，由含30度直角三角形的性質(zhì)可得，要求，只需求的最小值即可，又，只需求得的最小值即可；如圖：過(guò)C作于，延長(zhǎng)交于，由垂線段最短可知是的最小值，；再求得，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．∴，∵，∴，∵等邊，∴，∴，∵，∴．（2）解：①是等邊三角形，證明如下：如圖：∵等邊，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形．②∵是等邊三角形，∴，∵的平分線所在直線交于點(diǎn)，∴，如圖：過(guò)P作于G，連接∵，∴，∴要求，只需求的最小值即可，∵，∴只需求得的最小值即可，如圖：過(guò)C作于，延長(zhǎng)交于，由垂線段最短可知是的最小值，∵，，∴，即，解得：；∵，∴，∵，∴，解得：，∴，∴的面積為，即當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，．25．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】本題主要考查了對(duì)平方差倒數(shù)的理解，完全平方公式的應(yīng)用、分式方程的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義平方差倒數(shù)，直接求解，即可解題；（2）根據(jù)“是的平方差倒數(shù)，”結(jié)合平方差倒