青海省海北市2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.相離2．直線過點(diǎn)且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條3．年月日我國公布了第七次全國人口普查結(jié)果.自新中國成立以來，我國共進(jìn)行了七次全國人口普查，如圖為我國歷次全國人口普查人口性別構(gòu)成及總?cè)丝谛詣e比（以女性為，男性對(duì)女性的比例）統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.第五次全國人口普查時(shí)，我國總?cè)丝跀?shù)已經(jīng)突破億B.第一次全國人口普查時(shí)，我國總?cè)丝谛詣e比最高C.我國歷次全國人口普查總?cè)丝跀?shù)呈遞增趨勢(shì)D.我國歷次全國人口普查總?cè)丝谛詣e比呈遞減趨勢(shì)4．動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和是，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定5．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.6．若圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A. B.C. D.8．拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的兩點(diǎn)，均在第一象限，且，，，則直線的斜率為（）A.1 B.C. D.10．已知等比數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.11．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，則第十層球的個(gè)數(shù)為（）A.45 B.55C.90 D.11012．已知l，m是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知長方體的棱，則異面直線與所成角的大小是________________.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）14．已知數(shù)列滿足下列條件：①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；③數(shù)列的公比滿足.請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.15．已知函數(shù)滿足：①是奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，．寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)________16．某地區(qū)有3個(gè)疫苗接種定點(diǎn)醫(yī)院，現(xiàn)有10名志愿者將被派往這3個(gè)醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個(gè)醫(yī)院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①若恒成立，求的最小值；②證明：，其中.19．（12分）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，證明：20．（12分）在正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）證明：21．（12分）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明，，；（2）若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長50%.預(yù)計(jì)以后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費(fèi)資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn).設(shè)第n年年底扣除消費(fèi)資金后的剩余資金為萬元.（1）用x表示，，并寫出與的關(guān)系式；.（2）若企業(yè)希望經(jīng)過5年后，使企業(yè)剩余資金達(dá)3000萬元，試確定每年年底扣除的消費(fèi)資金x的值（精確到萬元）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)兩圓半徑和、差、圓心距之間的大小關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，該圓的圓心為，半徑為.圓圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A的圓心距為，兩圓的半徑和為，所以兩圓的半徑和等于兩圓的圓心距，因此兩圓相外切，故選：A2、C【解析】根據(jù)直線的斜率存在與不存在，分類討論，結(jié)合雙曲線的漸近線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線過雙曲線的右頂點(diǎn)，方程為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，若直線與兩漸近線平行，也能滿足與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).綜上可得，滿足條件的直線共有3條.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及雙曲線的漸近線的性質(zhì)，其中解答中忽視斜率不存在的情況是解答的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖第五次全國人口普查時(shí)，男性和女性人口數(shù)都超過6億，故總?cè)丝跀?shù)超過12億，A對(duì)，由統(tǒng)計(jì)圖，第一次全國人口普查時(shí)，我國總?cè)丝谛詣e比為107.56，超過余下幾次普查的人口的性別比，B對(duì)，由統(tǒng)計(jì)圖可知，我國歷次全國人口普查總?cè)丝跀?shù)呈遞增趨勢(shì)，C對(duì)，由統(tǒng)計(jì)圖可知，第二次，第三次，第四次，第五次時(shí)總?cè)丝谛詣e比呈遞增趨勢(shì)，D錯(cuò),D錯(cuò)，故選：D.4、A【解析】根據(jù)橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據(jù)橢圓定義可得，P點(diǎn)的軌跡為橢圓，故選：A5、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項(xiàng)公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.6、B【解析】先求出圓心到直線的距離為，由此可知當(dāng)圓的半徑為時(shí)，圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)圓的半徑時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故半徑的取值范圍是，即可求出答案.【詳解】由已知條件得的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線為，∵圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，∴圓的半徑的取值范圍是，即，即半徑的取值范圍是.故選：.7、B【解析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)8、C【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得選項(xiàng).【詳解】解：將拋物線y＝4x2的化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開口向上，焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）.故選：C9、C【解析】作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，結(jié)合拋物線定義得出斜率為可求.【詳解】如圖：作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，因?yàn)?，，，由拋物線的定義可知：，，，所以，直線斜率為：.故選：C.10、C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，可得出，即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，可得出.故選：C.11、B【解析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并將規(guī)律表達(dá)出來，第層有個(gè)球.【詳解】根據(jù)規(guī)律，可以得知：第一層有個(gè)球；第二層有個(gè)球；第三層有個(gè)球，則根據(jù)規(guī)律可知：第層有個(gè)球設(shè)第層的小球個(gè)數(shù)為，則有：故第十層球的個(gè)數(shù)為：故選：12、B【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系分析選項(xiàng)A,C,D，由平面與平面垂直的判定定理判定選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項(xiàng)B.由，，則，故正確.選項(xiàng)C.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項(xiàng)D.由,,則可能相交，可能平行，故不正確.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線與的方向向量，再求出兩向量的夾角，進(jìn)而可得異面直線與所成角的大小【詳解】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：在長方體中，，，，，，，，，，異面直線與所成角的大小是故答案為：14、（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意判斷數(shù)列特征，寫出一個(gè)符合題意的數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列公比滿足，所以等比數(shù)列公比，且各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，符合題意的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：（答案不唯一）15、（答案不唯一）【解析】利用函數(shù)的奇偶性及其單調(diào)性寫出函數(shù)解析式即可.【詳解】結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)可知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則符合上述兩個(gè)條件，故答案為：（答案不唯一）.16、22050【解析】先分組，再排列，注意部分平均分組問題，需要除以平均組數(shù)的全排列.【詳解】根據(jù)題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類：第一類是2，4，4，第二類是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：22050三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、.【解析】求得，根據(jù)其在上有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，令，由題意可知在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).又，若，則，故在上為增函數(shù)，這與在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)矛盾，故.當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)不同零點(diǎn)，故，即，即，取，，故在有一個(gè)零點(diǎn)，取，，令，，則，故在為減函數(shù)，因?yàn)椋?，故，故在有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，涉及零點(diǎn)存在定理，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬綜合困難題.18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）①1；②證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）①分離參數(shù)得，令，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可；②由①知：，時(shí)取“=”，令，即，最后累加即可.【小問1詳解】由已知條件得，其中的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】①由恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴，∴的最小值為1.②由①知：，時(shí)取“=”，令，得，∴，當(dāng)時(shí)，.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4)；（2）證明見解析.【解析】（1）求的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合定義域及導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；（2）法一：討論、時(shí)的零點(diǎn)情況，即可得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究在(0,2a)恒成立，結(jié)合單調(diào)性證明不等式；法二：設(shè)，由零點(diǎn)可得，進(jìn)而應(yīng)用分析法將結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明，綜合換元法、導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，當(dāng)a=2時(shí)，，則令得，x>4；令得，0<x<4；所以,單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4).【小問2詳解】法一：當(dāng)a≤0時(shí)，>0在(0,+∞)上恒成立，故函數(shù)不可能有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2a)上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則，不妨設(shè)，設(shè)，（0<x<2a），則，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上單調(diào)遞減，即>=0，所以，即，又，故，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，所以，即法二：不妨設(shè)，由題意得，，得，即，要證，只需證，即證：，即，令，，則，所以在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞減，故<=0，即恒成立因此，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，法一：應(yīng)用極值點(diǎn)偏移方法構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化為在(0,2a)恒成立，法二：根據(jù)零點(diǎn)可得，再由分析法將問題化為證明，構(gòu)造函數(shù)，綜合運(yùn)用換元法、導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接，分別證明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：連接，在正方體中，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，在中，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面因?yàn)榍?，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，，平面，平面，平面又，所以，平面平面【小問2詳解】證明：在正方體中，平面，平面，,因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)?，則平面由知（1）平面平面，所以，平面，平面，因此，21、（1）證明見解析：（2）【解析】(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.(2),若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即可.【詳解】(1)證明：當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,則,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,僅時(shí),,所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.(2),因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒有極值點(diǎn).②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,因?yàn)?當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,沒有極值點(diǎn).當(dāng)時(shí),,所以存在,使