2026贏在微點(diǎn)高考數(shù)學(xué)考前頂層設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)專題六函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式微專題18函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(1)在公共定義域內(nèi),增+增=增,減+減=減.(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個(gè)函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個(gè)函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù),簡(jiǎn)稱“同增異減”.2.函數(shù)的奇偶性(1)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,則一定有f(0)=0;若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=f(|x|).(2)在公共定義域內(nèi),奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.3.函數(shù)的周期性(1)若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1f(x)或f(x+a)=-1f(x)(a≠0),則y=f(x)是以2|a|(2)若f(x+a)=f(x-a)(a>0)恒成立,則y=f(x)是以2a為周期的周期函數(shù).(3)函數(shù)圖象的對(duì)稱與周期關(guān)系的常見(jiàn)結(jié)論:①若函數(shù)y=f(x)圖象的兩條對(duì)稱軸的方程分別為x=a,x=b,則函數(shù)的一個(gè)周期為2|a-b|.②若函數(shù)y=f(x)圖象的兩個(gè)對(duì)稱中心分別為點(diǎn)(a,0),(b,0),則函數(shù)的一個(gè)周期為2|a-b|.③若函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸的方程為x=a,一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)(b,0),則函數(shù)的一個(gè)周期為4|a-b|.4.函數(shù)的對(duì)稱性已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù).(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a+b2對(duì)稱,特別地,若f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x)恒成立,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(2)若f(a+x)+f(b-x)=0恒成立,則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)a+b2,0對(duì)稱.特別地,若f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x)恒成立,則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)微點(diǎn)一函數(shù)的圖象與函數(shù)解析式例1(1)(2024·全國(guó)甲卷)函數(shù)f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在區(qū)間[-2.8,2.8]的圖象大致為(B)ABCD解析(排除法)由題知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sinx=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,排除A,C;f(1)=-1+e-1esin1>-1+e-1esinπ6=-1+e2-1(2)(2025·天津高考)已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為(D)A.f(x)=xB.f(x)=xC.f(x)=xD.f(x)=x解析由題圖可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠±1},且f(x)為偶函數(shù),易得f(x)=x1-x與f(x)=xx-1均為奇函數(shù),排除選項(xiàng)A,B.由題圖可知當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0,易得當(dāng)x>1時(shí),f(x)=x1-x2<0,f(x)=xx訓(xùn)練1(1)(2025·江西一模)函數(shù)f(x)=x-1xcosπx的部分圖象大致為(ABCD解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),函數(shù)f(-x)=-x+1xcos(-πx)=-x-1xcosπx=-f(x),f(x)是奇函數(shù),所以排除B,C,又函數(shù)f(x)在原點(diǎn)附近大于0的零點(diǎn)為12和1,可取大于0且接近于0的一個(gè)數(shù),如0.1,得f(0.1)=(0.1-10)cos(0.1π)<0(2)(2025·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式可能為(B)A.f(x)=cos2x·(ex-e-x)B.f(x)=sin2x·lnxC.f(x)=eD.f(x)=1x·ln解析對(duì)于A,函數(shù)f(x)=cos2x·(ex-e-x)的定義域?yàn)镽,而題中函數(shù)圖象在自變量為0時(shí)無(wú)意義,不符合題意,排除;對(duì)于C,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ex+e-xx>0,與題中函數(shù)圖象不符,排除;對(duì)于D,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1x·lnx2x2+1=1x[lnx2-ln(x微點(diǎn)二函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用考向1單調(diào)性與奇偶性例2(1)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(D)A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)解析函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù),而函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則函數(shù)y=x(x-a)=x-a22-a24在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,因此a2≥1,解得a≥2,所以a的取值范圍是[2(2)(2025·濟(jì)寧一模)已知函數(shù)f(x)=a-22x+1cosx是奇函數(shù),則實(shí)數(shù)解析因?yàn)?x+1>0,可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f(0)=a-1=0,解得a=1,則f(x)=1-22x+1cosx,又因?yàn)閒(-x)+f(x)=1-22-x+1cos(-x)+1-22x+1cosx=2-2×2x2x+1-22x+1cosx=(2-2)cosx=0,函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)比較函數(shù)值的大小,應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí),往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí),應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.訓(xùn)練2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0.則關(guān)于x的不等式f(x2)+f(2x)≥0的解集為(A)A.[-2,0]B.[0,2]C.(-∞,-2]∪[0,+∞)D.(-∞,0]∪[2,+∞)解析解法一:由題意得f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2),即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),不妨令x1>x2,則x1-x2>0,所以f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上單調(diào)遞減.在f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)中,令x1=x2=0,則f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.令x1=x,x2=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x),所以f(x)+f(-x)=0,故f(x)是奇函數(shù).由f(x2)+f(2x)≥0,得f(x2)≥-f(2x),即f(x2)≥f(-2x),所以x2≤-2x,解得-2≤x≤0,即x∈[-2,0].故選A.解法二:因?yàn)閒(x1+x2)=f(x1)+f(x2),所以可令f(x)=kx,又當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,所以k<0,所以f(x2)+f(2x)≥0可轉(zhuǎn)化為kx2+2kx≥0,即x2+2x≤0,解得-2≤x≤0,即x∈[-2,0].故選A.考向2奇偶性、周期性與對(duì)稱性例3(2025·合肥模擬)(多選題)已知函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)g(x)的定義域均為R,且f(x-1)和g(2x+1)都是奇函數(shù),且g(0)=13,則下列說(shuō)法正確的有(ACD)A.g(x)關(guān)于x=-1對(duì)稱B.f(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱C.g(x)是周期函數(shù)D.i=112ig(2i)解析因?yàn)閒(x-1)為奇函數(shù),所以f(x-1)=-f(-x-1),所以f'(x-1)=f'(-x-1),即g(x-1)=g(-x-1),所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱.故A正確;因?yàn)閒(x-1)為奇函數(shù),則其圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱,向左平移一個(gè)單位后得到f(x)的圖象,則f(x)的圖象關(guān)于(-1,0)對(duì)稱,故B錯(cuò)誤;因?yàn)間(2x+1)為奇函數(shù),則g(2x+1)=-g(-2x+1),則有g(shù)(x+1)=-g(-x+1),所以g(x)=-g(-x+2)①,又g(x-1)=g(-x-1),則g(x)=g(-x-2)②,由①②得g(-x-2)=-g(-x+2),則g(x-2)=-g(x+2),則g(x)=-g(x+4),g(x+4)=-g(x+8),則g(x)=g(x+8),所以8是函數(shù)g(x)的一個(gè)周期,g(x)是周期函數(shù),故C正確;因?yàn)間(0)=13,g(x)=-g(-x+2),g(x)=-g(x+4),所以g(2)=-g(2-2)=-g(0)=-13,g(4)=-g(0)=-13,g(6)=-g(2)=13,所以i=112ig(2i)=(-1-2+3+4-5-6+7+8-9-10+11+12)×13=4,周期性與奇偶性的綜合應(yīng)用周期性與奇偶性相結(jié)合的問(wèn)題多為求函數(shù)值問(wèn)題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換,將所求函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間內(nèi)求解.訓(xùn)練3(2025·南昌一模)(多選題)已知f(x)是R上的連續(xù)函數(shù),滿足?x,y∈R有f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且f(1)=1.則下列說(shuō)法中正確的是(BCD)A.f(0)=0B.f(x)為偶函數(shù)C.f(x)的一個(gè)周期為6D.32,0是f(x解析因?yàn)閒(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于選項(xiàng)A:令x=y=0,則2f(0)=f2(0),解得f(0)=0或f(0)=2,若f(0)=0,令y=0時(shí),f(x)+f(x)=2f(x)=f(x)f(0)=0,這與f(1)=1矛盾,故f(0)=2,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B:令x=0,則f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y),即f(-y)=f(y),可知f(x)是偶函數(shù),故B正確;對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)閒(0)=2,f(1)=1,當(dāng)x=1,y=1時(shí),f(2)+f(0)=f(1)f(1),故f(2)=-1,當(dāng)x=2,y=1時(shí),f(3)+f(1)=f(2)f(1),故f(3)=-2,當(dāng)x=y=32時(shí),f(3)+f(0)=f232,故f32=0,當(dāng)x=32時(shí),f32+y+f32-y=f32f(y)=0,所以f32+y+f32-y=0,32,0是f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心,故D正確;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)閒32+y+f32-y=0,即f32+y=-f32-y,即f32+x=-f32-x,則f(x+3)=-f(-x),又f(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即f(x+3)=-f(x),所以f(x+61.(2021·全國(guó)甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(D)A.f(x)=-x B.f(x)=2C.f(x)=x2 D.f(x)=3解析如圖,在坐標(biāo)系中分別畫出A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的大致圖象,即可快速直觀判斷D項(xiàng)符合題意.故選D.2.(2023·天津高考)函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示,則f(x)的解析式可能為(D)A.f(x)=5(ex-e-x)x2+2C.f(x)=5(ex+e-x)x2+2解析由題圖可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).對(duì)于A,f(x)=5(ex-e-x)x2+2,定義域?yàn)镽,f(-x)=5(e-x-ex)x2+2=-f(x),所以函數(shù)f(x)=5(ex-e-x)x2+2是奇函數(shù),所以排除A;對(duì)于B,f(x)=5sinxx2+1,定義域?yàn)镽,f(-x)=5sin(-x)x2+1=-5sinxx2+1=-f(x),所以函數(shù)f(x)=5sinxx2+1是奇函數(shù),所以排除B;對(duì)于C,f(x)=5(ex+e-x)x2+2,定義域?yàn)镽,f(-x)=3.(2025·全國(guó)一卷)已知f(x)是定義在R上且周期為2的偶函數(shù),當(dāng)2≤x≤3時(shí),f(x)=5-2x,則f-34=(A.-12 B.-C.14 D.解析f-34=f34=f34+24.(2021·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=1.解析因?yàn)閒(x)=x3(a·2x-2-x)的定義域?yàn)镽,且是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)對(duì)任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)對(duì)任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0對(duì)任意的x∈R恒成立,所以a=1.微練(二十九)函數(shù)的圖象與性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、單項(xiàng)選擇題1.(2023·北京高考)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(C)A.f(x)=-lnx B.f(x)=1C.f(x)=-1x D.f(x)=3|x解析對(duì)A,因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=-lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以A不符合要求;對(duì)B,因?yàn)閒(x)=12x=12x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以B不符合要求;對(duì)C,因?yàn)楹瘮?shù)y=1x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)=-1x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以C符合要求;對(duì)D,當(dāng)0<x<1時(shí),y=3|x-1|=31-x在(0,1)上單調(diào)遞減,2.(2025·茂名一模)已知函數(shù)f(x)=3x,x<1,log3(x+8),x≥1,則f(-1)+f(A.43 B.3 C.73 解析因?yàn)閒(x)=3x,x<1,log3(x+8),x≥1,所以f(1)=log39=2,f(-1)=3-1=13,所以f(-1)+f(1)=3.(2025·四川一模)若函數(shù)f(x)=a·2x+22x為奇函數(shù),則A.0 B.1 C.2 D.無(wú)解解析根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=a·2x+22x=a+22x=a+21-x,則f(-x)=a+21+x,若f(x)為奇函數(shù),則f(x)+f(-x)=2a+21-x+21+x=0,即a=-(2-x+2x),a4.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式可能為(A)A.f(x)=-2x2x-1 B.f(C.f(x)=-2xx-1 D.f(x)解析由圖可知,圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù),函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集,故排除B,C;D選項(xiàng)中,當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→0,不符合圖象,故排除D.故選A.5.(2024·天津高考)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(B)A.f(x)=ex-x2x2+1 C.f(x)=ex-xx+1 D.f(x解析對(duì)于A,f(-x)=e-x-(-x)2(-x)2+1=e-x-x2x2+1≠f(x),故f(x)不是偶函數(shù);對(duì)于B,f(-x)=cos(-x)+(-x)2(-x)2+1=cosx+x2x2+1=f(x),故f(x)是偶函數(shù);對(duì)于C,f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠-1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故f(x)不是偶函數(shù);對(duì)于D,f6.(2025·沈陽(yáng)一模)函數(shù)f(x)=sinxlg(x2+e)ABCD解析因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=sin(-x)lg[(-x)2+e]=-sinxlg(x2+e)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),故排除B,C,又當(dāng)x∈0,π2時(shí),lg(x2+e)>0,sinx>0,f(x)7.函數(shù)y=f(x)和y=f(x-2)均為R上的奇函數(shù),若f(1)=2,則f(2025)=(D)A.-2 B.-1 C.0 D.2解析因?yàn)閥=f(x-2)為奇函數(shù),所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)對(duì)稱,即f(-x)+f(x-4)=0,又y=f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),則f(x)=f(x-4)?f(x+4)=f(x),所以y=f(x)的周期為4,故f(2025)=f(1+2024)=f(1)=2.故選D.8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),且對(duì)任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,都有f(x2)-f(x1)x2-x1>2,f(1)=2026,則滿足不等式f(x-2025)A.(2026,+∞) B.(2025,+∞)C.(1013,+∞) D.(1012,+∞)解析由f(x2)-f(x1)x2-x1>2,得[f(x2)-2x2]-[f(x1)-2x1]x2-x1>0,即函數(shù)y=f(x)-2x在[0,+∞)上單調(diào)遞增.又f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),所以y=f(x)-2x為奇函數(shù),所以y=f(x)-2x在R上單調(diào)遞增.由f(x-2025)>2(x-1013),f(1)=2026,得f(x-2二、多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù)f(x)=ex-e-x2,g(x)=exA.函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增B.函數(shù)f(x)g(x)是奇函數(shù)C.函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.g(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2解析對(duì)于A,因?yàn)閥=ex在R上單調(diào)遞增,y=-e-x在R上單調(diào)遞增,所以f(x)=ex-e-x2在R上單調(diào)遞增,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)閒(x)g(x)=ex-e-x2·ex+e-x2=e2x-e-2x4,所以f(-x)g(-x)=e-2x-e2x4=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)為奇函數(shù),故B正確;對(duì)于C,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,而g(x)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以f(x)與g(x)的圖象不會(huì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,[f(x)]2+[g(10.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(2-x),f(x+3)=f(3-x),則下列說(shuō)法正確的是(AC)A.f(x)的周期為4 B.f(x+2)為偶函數(shù)C.f(0)=0 D.f(1)=0解析由f(x+2)=-f(2-x),得f(x+4)=-f(-x),由f(x+3)=f(3-x),得f(x+6)=f(-x),所以f(x+6)=-f(x+4),即f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù),A正確;由f(x+2)=-f(2-x)可知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,所以f(2)=0,所以f(0)=-f(2)=0,C正確;由f(x+3)=f(3-x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱,所以f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,結(jié)合周期、對(duì)稱中心,進(jìn)一步可知f(x+2)圖象的對(duì)稱軸為直線x=m(m為奇數(shù)),所以f(x+2)不是偶函數(shù),B錯(cuò)誤.結(jié)合周期、對(duì)稱軸,可知f(x)圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)(n,0)(n為偶數(shù)),無(wú)法得到f(1)=0,D錯(cuò)誤.故選AC.11.已知函數(shù)f(x)=2x+12x+a,則A.當(dāng)a>0時(shí),f(x)是增函數(shù)B.當(dāng)a<0時(shí),f(x)的值域?yàn)?2,+∞)C.當(dāng)a=1時(shí),曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱D.當(dāng)a=4時(shí),?x∈R,f(kx+1)+f(2-x2)<2,則-2<k<2解析對(duì)于A:因?yàn)閒(x)=2x+12x+a=2+-2a2x+a的定義域?yàn)镽,當(dāng)a>0時(shí)y=2x+a在定義域R上單調(diào)遞增,且y=2x+a>a>0,又y=-2ax在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在定義域R上單調(diào)遞增,故A正確;對(duì)于B:當(dāng)a=-2時(shí)f(0)=-2,但是-2?(2,+∞),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=2x+12x+1,則f(x)+f(-x)=2x+12x+1+2-x+12-x+1=2x+12x+1+22x+1=2,所以曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱,故C正確;對(duì)于D:當(dāng)a=4時(shí),f(x)=2x+12x+4=2x-12x-2+1的圖象是由y=2x+12x+1的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到,所以f(x)的對(duì)稱中心為(2,1),且在定義域R上單調(diào)遞增,所以?x∈R,f(kx+1)+f(2-x2)<2,可得?x∈R,2-f(4-kx-1)+f(2-x2)<2,即?x∈R,f(2-x2)<f(4-kx-1),三、填空題12.“函數(shù)f(x)=ax2-sinx是奇函數(shù)”的充要條件是實(shí)數(shù)a=0.解析若f(x)為奇函數(shù),則f(-x)+f(x)=0,所以a(-x)2-sin(-x)+ax2-sinx=0,2ax2=0,所以a=0.13.(2025·昆明一模)已知函數(shù)f(x)=ex,x≥1,f(x+1),x<1,則f(ln2)解析因?yàn)閒(x)=ex,x≥1,f(x+1),x<1,且0=ln1<ln2<lne=1,所以f(ln2)=f(1+ln2)=e1+ln2=e×eln14.已知函數(shù)f(x)=e|x|-cosπ2x,則使得f(x-1)>f(2x)成立的x的取值范圍是

-1,1解析顯然f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ex-cosπ2x,f'(x)=ex+π2sinπ2x,當(dāng)0<x≤2時(shí),顯然f'(x)>0,當(dāng)x>2時(shí),ex>e2,-π2≤π2sinπ2x≤π2,所以f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)上單調(diào)遞減.所以當(dāng)f(x-1)>f(2x)時(shí),有|x-1|>|2x|能力提升練15.(2025·貴州一模)函數(shù)f(x)=-x,x<0,-x,x≥0,若?x∈(1,+∞),不等式f(x+2m)+f1x-1-m2<0A.(-3,1)B.(-1,3)C.(-∞,-3)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=-x,x<0,-x,x≥0,f(x)為減函數(shù);又因?yàn)閤<0,f(-x)=--x=-f(x),x>0,f(-x)=x=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),若?x∈(1,+∞),不等式f(x+2m)+f1x-1-m2<0恒成立,則不等式f(x+2m)<-f1x-1-m2,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(x+2m)<f-1x-1+m2,因?yàn)閒(x)為減函數(shù),所以x+2m>-1x-1+m2恒成立,所以x+1x-1>m2-2m恒成立,所以x+1x-1min>m2-2m,?x∈(1,+∞),x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2(x-1)×1x-1+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取最小值3,所以m2-2m<3,16.(2025·云南一模)已知min{a,b}=a,a≤b,b,a>b,函數(shù)f(x)=minx2,1x+1,若?x∈[1,3],使得關(guān)于x的不等式f(x)≤f(t)成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

解析因?yàn)閒(x)=minx2,1x+1,則定義域?yàn)閧x|x≠-1},所以f(x)的圖象是取y=x2與y=1x+1圖象位于下方的部分,作出y=f(x)的圖象如圖所示(實(shí)線部分):當(dāng)x∈[1,3]時(shí)f(x)=1x+1,顯然f(x)在[1,3]上單調(diào)遞減,且f(x)∈14,12;因?yàn)?x∈[1,3],使得關(guān)于x的不等式f(x)≤f(t)成立,所以f(t)≥14,令x2=14,解得x=±12,結(jié)合圖象可得f(t)≥14的解集為-1<x≤-微專題19基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程1.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖象和性質(zhì),分0<a<1,a>1兩種情況討論.當(dāng)a>1時(shí),兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù),當(dāng)0<a<1時(shí),兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù).(2)底數(shù)互為倒數(shù)的兩指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;底數(shù)互為倒數(shù)的兩對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.2.函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題(1)三個(gè)等價(jià)關(guān)系:方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法:①直接解方程;②利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理求解;③數(shù)形結(jié)合,利用兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.微點(diǎn)一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=loga(-x),y=a-1x(a>0,且a≠1)的圖象可能是(CABCD解析因?yàn)楹瘮?shù)y=loga(-x)的圖象與函數(shù)y=logax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以函數(shù)y=loga(-x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(-1,0),故選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤.當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y=loga(-x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,而y=a-1x(a>1)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減,故D錯(cuò)誤,C正確(2)已知函數(shù)f(x)=log5(ax-2)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(C)A.(1,+∞) B.[ln2,+∞)C.(2,+∞) D.[2,+∞)解析若f(x)=log5(ax-2)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,則必然在x=1處有定義,所以a1-2>0,即a>2.若a>2,則當(dāng)x≥1時(shí),ax-2≥a-2>0,所以f(x)在[1,+∞)上有定義,再由a>2知ax-2在R上單調(diào)遞增,所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故a的取值范圍是(2,+∞).(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)會(huì)受底數(shù)a的影響,解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題時(shí),首先要看底數(shù)a的取值范圍.(2)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的,在解題中可相互轉(zhuǎn)化.訓(xùn)練1(1)(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,則a,b,c的大小關(guān)系為(D)A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c解析解法一:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1.01x是增函數(shù),且0.6>0.5>0,所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1;因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=0.6x是減函數(shù),且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1.綜上,b>a>c.故選D.解法二:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1.01x是增函數(shù),且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a;因?yàn)楹瘮?shù)h(x)=x0.5在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.綜上,b>a>c.故選D.(2)(2025·徐州模擬)已知函數(shù)f(x)=2ax2-x+1的值域?yàn)镸.若(1,+∞)?M,則實(shí)數(shù)aA.-∞,B.0,C.-∞,-14D.1解析當(dāng)a=0時(shí),f(x)=2-x+1∈(0,+∞),符合題意;當(dāng)a≠0時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2ax2-x+1的值域?yàn)镸,且滿足(1,+∞)?M,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,二次函數(shù)y=ax2-x+1的最小值ymin≤0,當(dāng)a>0時(shí),依題意有y=ax2-x+1的最小值4a-14a≤0,即0<a≤14;當(dāng)a<0時(shí),不符合題意微點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)考向1函數(shù)零點(diǎn)的判斷例2(1)(2025·天津高考)函數(shù)f(x)=0.3x-x的零點(diǎn)所在區(qū)間是(B)A.(0,0.3) B.(0.3,0.5)C.(0.5,1) D.(1,2)解析易知f(x)單調(diào)遞減,又f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.3=0.30.3-0.30.5>0,f(0.5)=0.30.5-0.5=0.3-0.5<0,所以f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間是(0.3,0.5),故選B.(2)(2023·全國(guó)甲卷)函數(shù)y=f(x)的圖象由函數(shù)y=cos2x+π6的圖象向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度得到,則y=f(x)的圖象與直線y=12x-1A.1 B.2 C.3 D.4解析因?yàn)閥=cos2x+π6的圖象向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度所得函數(shù)為y=cos2x+π6+π6=cos2x+π2=-sin2x,所以f(x)=-sin2x,而y=12x-12顯然過(guò)0,-12與(1,0)兩點(diǎn),作出y=f(x)與y=12x-12的大致圖象如圖所示,考慮2x=-3π2,2x=3π2,2x=7π2,即x=-3π4,x=3π4,x=7π4處f(x)與y=12x-12的大小關(guān)系,當(dāng)x=-3π4時(shí),f-3π4=-sin-3π2=-1,y=12×-3π4-12=-3π+48<-1;當(dāng)x=3π4時(shí),f3π4=-sin3π2=1,y=12×3π4-12=3π-4判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)利用零點(diǎn)存在定理判斷.(2)代數(shù)法:求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根.(3)幾何法:對(duì)于不易求根的方程,將它與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái),利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.考向2函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用例3(2025·江西模擬)已知函數(shù)f(x)=(x2-4x+m)(4x3-m-1)恰有3個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4)解析令f(x)=(x2-4x+m)(4x3-m-1)=0,得m=-x2+4x或m=4x3-1.令g(x)=-x2+4x,h(x)=4x3-1,作出兩函數(shù)的大致圖象,如圖所示,這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)為(0,0),(3,3),因?yàn)間(x)max=4,h(x)>-1,所以由圖可知m的取值范圍是(-1,0)∪(0,3)∪利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法訓(xùn)練2(1)設(shè)c∈R,函數(shù)f(x)=x-c,x≥0,2x-2c,x<0.若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn),則c的取值范圍是A.(0,1) B.{0}∪[1,+∞)C.0,12 D.{0}解析畫出函數(shù)g(x)=x,x≥0,2x,x<0的圖象如圖所示.函數(shù)f(x)=x-c,x≥0,2x-2c,x<0可由g(x)=x,x≥0,2x,x<0分段平移得到,易知當(dāng)c=0時(shí),函數(shù)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn),滿足題意;當(dāng)c<0時(shí),代表圖象往上平移,顯然沒(méi)有零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)c>0時(shí),圖象往下平移,若當(dāng)0<2c<1時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);若當(dāng)2c≥1,即當(dāng)c≥12時(shí),f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn),滿足題意.綜上,可得(2)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x-1)=f(x+1),且當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=x2,函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),g(x)=lgx,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是11.解析因?yàn)閒(x-1)=f(x+1),所以f(x)=f(x+2),則f(x)的周期為2,又f(x)為偶函數(shù),且當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=x2,所以可利用f(x)的周期性與奇偶性作出f(x)的大致圖象,因?yàn)間(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),g(x)=lgx,所以函數(shù)y=g(x)的大致圖象如圖所示.考慮特殊位置,當(dāng)x=-1時(shí),f(-1)=1,g(-1)=-g(1)=-lg1=0;當(dāng)x=9時(shí),f(9)=f(1)=f(-1)=1,g(9)=lg9<1;當(dāng)x=11時(shí),f(11)=f(1)=1,g(11)=lg11>1,函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),所以由圖象可知函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為11(不要忽略原點(diǎn)).微點(diǎn)三函數(shù)模型及其應(yīng)用例4(1)(2025·北京高考)在一定條件下,某人工智能大語(yǔ)言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要時(shí)間T=klog2N(單位:小時(shí)),其中k為常數(shù).在此條件下,已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從106個(gè)單位增加到1.024×109個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加20小時(shí);當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024×109個(gè)單位增加到4.096×109個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加(單位:小時(shí))(B)A.2 B.4 C.20 D.40解析設(shè)當(dāng)N取106個(gè)單位、1.024×109個(gè)單位、4.096×109個(gè)單位時(shí)所需時(shí)間分別為T1,T2,T3,由題意,T1=klog2106=6klog210,T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210),T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210),因?yàn)門2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2,所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4,所以當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024×109個(gè)單位增加到4.096×109個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加4小時(shí).故選B.(2)(2025·江西一模)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)湟魚(yú)的游速可以表示為函數(shù)v=12log3θ100(單位:m/s),θ表示湟魚(yú)的耗氧量的單位數(shù).若某條湟魚(yú)把游速提高2m/s,則它的耗氧量的單位數(shù)是原來(lái)的(A.2倍 B.4倍 C.9倍 D.81倍解析設(shè)原來(lái)和現(xiàn)在的耗氧量的單位數(shù)分別為θ1,θ2,則12log3θ2100=12log3θ1100+2,所以log3θ2θ1=4,所以θ2訓(xùn)練3(多選題)某大型商場(chǎng)開(kāi)業(yè)期間為吸引顧客,推出“單次消費(fèi)滿100元可參加抽獎(jiǎng)”的活動(dòng),獎(jiǎng)品為本商場(chǎng)現(xiàn)金購(gòu)物卡,可用于以后在該商場(chǎng)消費(fèi).已知抽獎(jiǎng)結(jié)果共分5個(gè)等級(jí),等級(jí)x與購(gòu)物卡的面值y(元)的關(guān)系式為y=eax+b+k,三等獎(jiǎng)比四等獎(jiǎng)的面值多100元,比五等獎(jiǎng)的面值多120元,且四等獎(jiǎng)的面值是五等獎(jiǎng)的面值的3倍,則(ACD)A.a=-ln5B.k=15C.一等獎(jiǎng)的面值為3130元D.三等獎(jiǎng)的面值為130元解析由題意可知,四等獎(jiǎng)比五等獎(jiǎng)的面值多20元,所以(e3a+b+k)-(e4a+b+k)(e4a+b+k)-(e5a+b+k)=e-a=10020=5,則a=-ln5,故A正確.由(e3a+b+k)-(e4a+b+k)=e3a+b(1-ea)=100,可知e3a+b=125.因?yàn)樗牡泉?jiǎng)的面值是五等獎(jiǎng)的面值的3倍,所以e4a+b+k=3(e5a+b+k),解得k=5,故B錯(cuò)誤.三等獎(jiǎng)的面值為e3a+b+k=125+5=130元,故D正確.由ea+b+k=e3a+b·e-2a+k=125×25+5=31301.(2024·天津高考)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,則a,b,c的大小關(guān)系為(B)A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a解析由函數(shù)y=4.2x單調(diào)遞增可知,0<a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c,故選B.2.(2020·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)alog34=2,則4-a=(B)A.116 B.19 C.18解析因?yàn)閍log34=2,所以log34a=2,則有4a=32=9,所以4-a=14a=193.(2021·全國(guó)甲卷)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題,視力情況可借助視力表測(cè)量,通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(1010≈1.259)(CA.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6解析4.9=5+lgV?lgV=-0.1?V=10-110=11010≈11.259≈0.8,所以該同學(xué)視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為4.(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)(多選題)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級(jí)Lp=20×lgpp0,其中常數(shù)p0(p0>0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值,p是實(shí)際聲壓,聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060~90混合動(dòng)力汽車1050~60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1,p2,p3,則(ACD)A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2解析因?yàn)長(zhǎng)p=20×lgpp0隨著p的增大而增大,且Lp1∈[60,90],Lp2∈[50,60],所以Lp1≥Lp2,所以p1≥p2,故A正確;假設(shè)p2>10p3,則p010Lp220>10p010Lp320,所以10Lp220-Lp320>10,所以Lp2-Lp3>20,不可能成立,故B不正確;由Lp=20×lgpp0,得p=p010Lp20.因?yàn)長(zhǎng)p3=40,所以p5.(2024·全國(guó)甲卷)已知a>1且1log8a-1loga4解析根據(jù)題意有113log2a-12loga2=-52,即3loga2-12loga2=-52,設(shè)t=loga2(a>1),則t>0,故3t-12t=-52,得t=16微練(三十)基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)f(x)=5-2x-lg(2x+1)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(C)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=5-2x-lg(2x+1)在-12,+∞上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)最多只有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)閒(0)=5-lg1=5>0,f(1)=3-lg3>0,f(2)=1-lg5>0,f(3)=-1-lg7<0,所以函數(shù)f(x)=5-2x-lg(2x+1)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(2,3)2.已知函數(shù)f(x)=log2x+x2+m在區(qū)間(2,4)上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(D)A.(-∞,-18) B.(5,+∞)C.(5,18) D.(-18,-5)解析由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知,若函數(shù)f(x)=log2x+x2+m在區(qū)間(2,4)上存在零點(diǎn),顯然函數(shù)為增函數(shù),只需滿足f(2)·f(4)<0,即(m+5)(m+18)<0,解得-18<m<-5,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-18,-5).故選D.3.(2025·南昌一模)已知f(x)=x2-2x,x<0,2x,x≥0,則方程f(x)A.1 B.2 C.5 D.7解析若x<0,由x2-2x=8?(x+2)(x-4)=0,所以x=-2;若x>0,由2x=8?x=3.因?yàn)?2+3=1,所以方程f(x)=8的所有根的和為1.故選A.4.(2025·桂林模擬)已知a=32,3b=5,5c=8,則(CA.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a解析由3b=5,5c=8,得b=log35,c=log58.因?yàn)?322=33=27>25=52,所以332>5,所以32=log3332>log35,所以a>b.因?yàn)?322=53=125>64=82,所以532>8,所以32=log5532>log58,所以a>c.因?yàn)閎c=log35log58=lg5lg3lg8lg5=5.(2025·福建模擬)已知函數(shù)y=log2(ax2-x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍為(D)A.0,12 C.12,+∞ D.[1,解析令t=ax2-x,因?yàn)楹瘮?shù)y=log2(ax2-x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y=log2(ax2-x)在區(qū)間(1,2)上有意義,且t=ax2-x在(1,2)上單調(diào)遞增,所以a≠0,則a>0,12a≤1,a-1≥0或a<0,12a≥2,a-1≥0,解得a≥1,所以a的取值范圍為6.(2024·北京高考)已知(x1,y1),(x2,y2)是函數(shù)y=2x的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn),則(B)A.log2y1+B.log2y1+C.log2y1+y22<D.log2y1+y22>解析因?yàn)?x1,y1),(x2,y2)為函數(shù)y=2x的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn),所以y1=2x1,y2=2x2,且x1≠x2,則2x1≠2x2,所以y1+y2=2x1+2x2>22x1·2x2=22x7.(2025·貴州一模)20世紀(jì)30年代,里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí),地震能量越大,測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大,這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M,其計(jì)算公式為M=lgA-lgA0,其中A是被測(cè)地震的最大振幅,A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差).假設(shè)在一次地震中,一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是50,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.002,則這次地震的震級(jí)約為(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3)(A)A.4.4 B.4.7C.5 D.5.4解析根據(jù)題意可知這次地震的震級(jí)為:M=lg50-lg0.002=lg500.002=lg25000=lg1054=5-2lg2≈5-0.6=4.4;因此可知這次地震的震級(jí)約為4.4級(jí).8.若f(x)為R上的偶函數(shù),且f(x)=f(4-x),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-1,則函數(shù)g(x)=3|sinπx|-f(x)在區(qū)間[-1,5]內(nèi)的所有零點(diǎn)的和是(A)A.20 B.18 C.16 D.14解析若f(x)為R上的偶函數(shù),則f(-x)=f(x),且f(x)=f(4-x),則f(-x)=f(4-x),f(x)的周期T=4,當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-1,則當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),f(x)=12x-1,即可畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖.函數(shù)y=3sinπx的周期是2,最大值為3,把函數(shù)y=3sinπx在x軸下方的圖象翻折到x軸上方,即可得到y(tǒng)=3|sinπx|的圖象.由圖可知y=f(x)與y=3|sinπx|的圖象在區(qū)間[-1,5]內(nèi)一共有10個(gè)交點(diǎn),且這10個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于直線x=2對(duì)稱,所以g(x)在區(qū)間[-1,5]內(nèi)的所有零點(diǎn)的和是二、多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù)f(x)=log2(x+6)+log2(4-x),則(AB)A.f(x)的定義域是(-6,4)B.f(x)有最大值C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞)D.f(x)在[0,4]上單調(diào)遞增解析由題意可得x+6>0,4-x>0,解得-6<x<4,即f(x)的定義域是(-6,4),則A正確;f(x)=log2(-x2-2x+24),因?yàn)閥=-x2-2x+24在(-6,-1)上單調(diào)遞增,在(-1,4)上單調(diào)遞減,又y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-6,-1)上單調(diào)遞增,在(-1,4)上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(-1)=2log25,則B正確;因?yàn)閒(x)在(-6,-1)上單調(diào)遞增,在(-1,4)上單調(diào)遞減,且f(-4)=f(2)=4,所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),則C錯(cuò)誤;因?yàn)閒(x)在(-1,4)上單調(diào)遞減,所以D錯(cuò)誤.故選10.已知函數(shù)f(x)=4x+14x+2,則下列說(shuō)法正確的是(A.f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱D.不等式f(x+1)<254的解集是(-2,0解析對(duì)于A,當(dāng)x<0時(shí),f'(x)=4xln4-14xln4=(4x-4-x)ln4<0,所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,f(x)的定義域?yàn)镽,f(-x)=4-x+14-x+2=14x+4x+2=f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)閒(x)+f(-x)=24x+14x+4>2,故函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由f(x+1)=4x+1+14x+1+2<254,得(4x+1)2-174×4x+1+1<0,則14<4x+1<4,可得-1<x+1<1,解得-2<x<0,因此不等式f(x11.已知函數(shù)f(x)=2x-12x+1A.不等式|f(x)|<13的解集是(-1,1B.?x∈R,有f(-x)=f(x)C.f(x)在R上單調(diào)遞減D.f(x)的值域?yàn)?-1,1)解析對(duì)于A,|f(x)|<13,即-13<2x-12x+1<13,即-13<1-22x+1<13,即13<12x+1<23,即32<2x+1<3,即12<2x<2,所以-1<x<1,故A正確;對(duì)于B,f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,f(x)=1-22x+1,因?yàn)閡=2x+1在R上單調(diào)遞增,且u>1,y=1-2u在u>1時(shí)單調(diào)遞增,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,記y=f(x)=1-22x+1,顯然y≠1,則2三、填空題12.已知3x=32,y·log33=1,則x+y=2-log32解析因?yàn)?x=32,y·log33=1,所以x=log332=1-log32,y=1,所以x+y=2-log313.已知函數(shù)f(x)=1b-1lnx+b+1的零點(diǎn)在(1,e)內(nèi),則b的取值范圍為(-1,0)∪(0,1)解析當(dāng)b=0時(shí),f(x)=-lnx+1,令f(x)=0得x=e?(1,e);當(dāng)b≠0時(shí),易知f(x)在(0,+∞)上單調(diào),所以f(1)·f(e)=(b+1)·1b-1+b+1<0,即-1<b<1,且b≠0,所以b∈(-1,0)∪(0,114.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,f(x+2)為偶函數(shù),若f(x)=m在[0,12]上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=24.解析由f(x+2)為偶函數(shù),可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,又f(x)是奇函數(shù),所以f(x)是周期函數(shù),周期為8.作出函數(shù)f(x)在[0,12]上的大致圖象趨勢(shì)如圖所示,作出直線y=m,由圖可知,若f(x)的圖象與直線y=m在[0,12]上有4個(gè)交點(diǎn),則f(2)<m<0.不妨記x1<x2<x3<x4,則x1+x2+x3+x4=2×2+2×10=24.能力提升練15.(多選題)已知函數(shù)f(x)=ex+2x-2,g(x)=2lnx+x-2的零點(diǎn)分別為x1,x2,則(ACD)A.2x1+x2=2 B.x1x2=ex1+lnC.x1+x2>43 D.2x1x2<解析對(duì)于A,由題知ex1+2x1-2=0,2lnx2+x2-2=0,所以ex1+2x1=2lnx2+x2=2,即ex1+2lnex1=2lnx2+x2=2,所以ex1=x2,故2x1+x2=2x1+ex1=2,故A正確;對(duì)于B,由f(x)=0,g(x)=0得ex=-2x+2,lnx=-12x+1,故函數(shù)y=ex與y=-2x+2的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和y=lnx與y=-12x+1的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)和g(x)的零點(diǎn)x1,x2,如圖,由圖象性質(zhì)可知0<x1<12,1<x2<2,又由A得ex1=x2,故x1=lnx2,所以x1x2=x1ex1<ex1<ex1+x1=ex1+lnx2,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由2lnx2+x2=2,x1=lnx2以及1<x2<2得,x1+x2=lnx2+x2=2lnx2+2x22=1+12x2>32>43,故C正確;對(duì)于D,由A,B得ex1=x2,0<x16.(2025·泉州一模)如圖,假定兩點(diǎn)P,Q以相同的初速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q沿射線CD做勻速運(yùn)動(dòng),CQ=x;點(diǎn)P沿線段AB(長(zhǎng)度為107單位)運(yùn)動(dòng),它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離(PB=y).令P與Q同時(shí)分別從A,C出發(fā),則數(shù)學(xué)家納皮爾定義x為y的對(duì)數(shù)中,x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系就是y=1071ex107,其中e為自然對(duì)數(shù)的底.若點(diǎn)P從線段AB的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近B的四等分點(diǎn),點(diǎn)Q同時(shí)從Q1運(yùn)動(dòng)到Q2,則CQ解析令y=1072,則1072=1071ex107,整理得x=107ln2,即CQ1=107ln2,令y=1074,則1074=1071ex107,整理得x=107ln4,進(jìn)階點(diǎn)8高考中的抽象函數(shù)視角一抽象函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的交匯(1)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),若f(x+a)(a∈R)是奇函數(shù),則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,0)對(duì)稱.(2)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),若f(x+a)(a∈R)是偶函數(shù),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.(3)若函數(shù)y=f(x)同時(shí)關(guān)于直線x=a與x=b軸對(duì)稱,則函數(shù)y=f(x)必為周期函數(shù),且T=2|a-b|.(4)若函數(shù)y=f(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)(a,0)與點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱,則函數(shù)y=f(x)必為周期函數(shù),且T=2|a-b|.(5)若函數(shù)y=f(x)既關(guān)于x=a對(duì)稱,又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則函數(shù)y=f(x)必為周期函數(shù),且T=4|a-b|.例1(1)(2025·滄州模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),則(D)A.f(0)=1 B.f(1)=-1C.f(2)=0 D.f(3)=0解析根據(jù)題意,因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)為奇函數(shù),所以f(-x+1)=-f(x+1),即f(1-x)=-f(1+x),所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱,所以f(1)=0.又因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù),所以f(x+2)=f(-x+2),即f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,所以f(3)=0.故選D.(2)(2025·山西二模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=0,函數(shù)y=xf(x+3)是奇函數(shù),函數(shù)y=(x+1)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,則(B)A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x-1)是奇函數(shù)C.f(x+8)=f(x) D.f(1)=0解析因?yàn)閥=xf(x+3)是奇函數(shù),所以f(x+3)為偶函數(shù),所以f(-x+3)=f(x+3),即f(-x)=f(x+6),故f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱,由y=(x+1)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱得(x+1)f(x)=(-2-x+1)f(-2-x),即(x+1)f(x)=-(x+1)f(-2-x),即f(x)=-f(-x-2),所以f(x)關(guān)于(-1,0)對(duì)稱,所以f(-x)=-f(x-2),所以f(-x-1)=-f(x-1),故f(x-1)是奇函數(shù),所以B選項(xiàng)正確;因?yàn)閒(-x)=-f(x-2),又f(-x)=f(x+6),所以f(x+6)=-f(x-2),即f(x+8)=-f(x),所以f(x+16)=-f(x+8)=f(x),故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;不能得到f(x)的奇偶性與f(1)的值,故A,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.視角二雙抽象函數(shù)這類問(wèn)題的處理策略是根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)間的關(guān)系,再判斷奇偶性、單調(diào)性、周期性,進(jìn)而求解.例2(1)(2025·河南二模)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),若函數(shù)y=g(x+2)與y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,則g(4)=(B)A.1 B.0 C.-1 D.-2解析根據(jù)題意,函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,函數(shù)y=g(x+2)與y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,則f(x)+g(2+2-x)=0,即f(x)+g(4-x)=0,所以g(4)=-f(0)=0.故選B.(2)(2022·全國(guó)乙卷)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,g(2)=4,則k=122f(k)=(DA.-21 B.-22 C.-23 D.-24解析由y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,可得g(2+x)=g(2-x),在f(x)+g(2-x)=5中,用-x替換x,可得f(-x)+g(2+x)=5,可得f(-x)=f(x)①,y=f(x)為偶函數(shù).在g(x)-f(x-4)=7中,用2-x替換x,得g(2-x)=f(-x-2)+7,代入f(x)+g(2-x)=5中,得f(x)+f(-x-2)=-2②,所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,-1)中心對(duì)稱,所以f(1)=f(-1)=-1.由①②可得f(x)+f(x+2)=-2,所以f(x+2)+f(x+4)=-2,所以f(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).由f(x)+g(2-x)=5可得f(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以可得f(0)=1,又f(x)+f(x+2)=-2,所以f(0)+f(2)=-2,得f(2)=-3,又f(3)=f(-1)=-1,f(4)=f(0)=1,所以k=122f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=6×(-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.故選視角三與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的抽象函數(shù)例3(1)(2025·湖北二模)(多選題)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R,若f(2-3x)=f(3x),f'12x的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,f'(x)在[1,3]上單調(diào)遞減,且f'(2031)=6,則(ABDA.f'(x-1)是偶函數(shù) B.f'(x+1)是奇函數(shù)C.f'(7)=-6 D.f'(x)的極小值為-6解析因?yàn)閒'12x的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,所以f'12(-2+x)=f'12(-2-x),即f'-1+12x=f'-1-12x,所以f'(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,則f'(x-1)是偶函數(shù),故A正確;因?yàn)閒(2-3x)=f(3x),所以f(2-x)=f(x),所以-f'(2-x)=f'(x),所以f'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以f'(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,即f'(x+1)是奇函數(shù),故B正確;因?yàn)?f'(2-x)=f'(x),又因?yàn)閒'(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,所以f'(x)=f'(-2-x),所以-f'(2-x)=f'(-2-x),則f'(x)=-f'(4+x),所以f'(x+8)=-f'(4+x)=f'(x),所以8為f'(x)的一個(gè)周期.所以f'(2031)=f'(253×8+7)=f'(7)=6,故C錯(cuò)誤;因?yàn)閒'(x)在[1,3]上單調(diào)遞減,且f'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以f'(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,f'(x)在[-1,3]上單調(diào)遞減,因?yàn)閒'(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,所以f'(x)在[-5,-1]上單調(diào)遞增,因?yàn)閒'(x)是T=8的周期函數(shù),所以f'(x)在[3,7]上單調(diào)遞增,因?yàn)閤=3時(shí),f'(x)取得極小值,所以f'(3)=-f'(-1)=-(2)(2025·秦皇島二模)(多選題)記定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為f'(x)和g'(x),若f(x+3)-g(3-x)=4,f'(x)=g'(x+2),且g(x+2)+g(2-x)=0,則(BC)A.f(-x)=-f(x)B.g'(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱C.f(x)是周期函數(shù),且其中一個(gè)周期為8D.i=12025g(i)解析由題意,函數(shù)f(x)與g(x)的定義域均為R.由g(x+2)+g(2-x)=0求導(dǎo)可得g'(x+2)-g'(2-x)=0,即g'(x+2)=g'(2-x),所以g'(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,故B正確;由f(x+3)-g(3-x)=4求導(dǎo)可得f'(x+3)+g'(3-x)=0,因?yàn)閒'(x)=g'(x+2),所以f'(1-x)=g'(3-x),所以f'(x+3)+f'(1-x)=0,則f(x+3)-f(1-x)=c(c為常數(shù)),令x=-1,則有f(2)-f(2)=c=0,所以f(x+3)-f(1-x)=0,即f(x+3)=f(1-x),所以f(-x)=f(x+4),即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.又由f(x+3)-g(3-x)=4可得g(3-x)=f(x+3)-4,則有g(shù)(x+2)=f(-x+4)-4,g(2-x)=f(x+4)-4,因?yàn)間(x+2)+g(2-x)=0,所以f(-x+4)-4+f(x+4)-4=0,即f(-x+4)+f(x+4)=8,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4,4)對(duì)稱.所以函數(shù)f(x)是周期函數(shù),周期T=4×|4-2|=8.故C正確;對(duì)于A,因?yàn)閒(-x)=f(x+4),f(x)=f(x+8),若f(-x)=-f(x),則f(x+4)+f(x+8)=0,與f(x+4)+f(x+8)=8矛盾.故A錯(cuò)誤;對(duì)于D,由f(x+3)-g(3-x)=4求導(dǎo)可得f'(x+3)+g'(3-x)=0,則有f'(x)+g'(6-x)=0,因?yàn)閒'(x)=g'(x+2),所以g'(x+2)+g'(6-x)=0,則g(x+2)-g(6-x)=t(t是常數(shù)),令x=2,可得g(4)-g(4)=t=0,所以g(x+2)=g(6-x),即函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱.所以函數(shù)g(x)也是周期函數(shù),周期T=4×|4-2|=8.因?yàn)間(x+2)+g(2-x)=0,令x=0,可得g(2)=0,根據(jù)對(duì)稱性可知,g(6)=g(2)=0,g(1)+g(3)=g(7)+g(5)=0,g(4)+g(8)=g(4)+g(0)=0,所以g(1)+g(2)+…+g(7)+g(8)=0.所以i=12025g(i)=g(1),g(1)不確定是否為0,故D錯(cuò)誤.故選視角四抽象函數(shù)還原具體函數(shù)抽象函數(shù)還原具體函數(shù)模型的幾種構(gòu)造方法:(1)f(x)+f(y)=f(x+y)時(shí),可構(gòu)造f(x)=kx.(2)若f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c,則可構(gòu)造f(x)=ax2+bx+c.(3)若f(x+y)=f(x)f(y),則可構(gòu)造f(x)=ax(a>0且a≠1).(4)若f(xy)=f(x)+f(y)(xy≠0),則可構(gòu)造f(x)=loga|x|(a>0且a≠1).(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),則可構(gòu)造f(x)=cosωx.例4(1)(2025·四川一模)(多選題)已知函數(shù)f(x)滿足:?x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(1)≠0,那么(AC)A.f(0)=1B.f(1)=2C.f(-x)=f(x)D.若f(π)=12,則f(x+2π)=f(x解析對(duì)于A,令x=1,y=0,f(1)+f(1)=2f(1)f(0),因?yàn)閒(1)≠0,所以f(0)=1,故A正確;設(shè)f(x)=cosx,則f(x+y)+f(x-y)=cos(x+y)+cos(x-y)=cosxcosy-sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny=2cosxcosy=2f(x)f(y),顯然滿足條件,但是f(1)=cos1≠2,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,令x=0,f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),所以f(y)=f(-y),又y∈R,所以f(x)為偶函數(shù),即f(-x)=f(x),故C正確;對(duì)于D,設(shè)f(x)=cosx3,類似B中推導(dǎo),可知滿足題設(shè)條件,但最小正周期是6π,故D錯(cuò)誤.故選AC(2)(2025·重慶模擬)(多選題)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù),若f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y),且f'(0)=-3,則(ACD)A.f(x)是奇函數(shù)B.f(x)是減函數(shù)C.f(3)=0D.x=1是f(x)的極小值點(diǎn)解析對(duì)于選項(xiàng)A:令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令y=-x,可得0=f(x)+f(-x),且函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以f(x)是奇函數(shù),故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,D,因?yàn)閒(x+y)=f(x)+f(y)+3x2y+3xy2=f(x)+f(y)+(x+y)3-x3-y3,所以f(x+y)-(x+y)3=f(x)-x3+f(y)-y3,設(shè)f(x)-x3=kx,所以f'(x)=3x2+k,因?yàn)閒'(0)=-3,所以k=-3,f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,解得x<-1或x>1;令f'(x)<0,解得-1<x<1;可知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上為增函數(shù),f(x)在(-1,1)上為減函數(shù),所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn),故B錯(cuò)誤,D正確.對(duì)于選項(xiàng)C,f(x)=x3-3x,所以f(3)=(3)3-33=0,故C正確.故選ACD.1.(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且當(dāng)x<3時(shí),f(x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是(B)A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000解析因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí),f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2.對(duì)于f(x)>f(x-1)+f(x-2),令x=3,得f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3;令x=4,得f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5;依次類推,得f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8;f(6)>f(5)+f(4)>8+5=13;f(7)>f(6)+f(5)>13+8=21;f(8)>f(7)+f(6)>21+13=34;f(9)>f(8)+f(7)>34+21=55;f(10)>f(9)+f(8)>55+34=89;f(11)>f(10)+f(9)>89+55=144;f(12)>f(11)+f(10)>144+89=233;f(13)>f(12)+f(11)>233+144=377;f(14)>f(13)+f(12)>377+233=610;f(15)>f(14)+f(13)>610+377=987;….顯然f(16)>1000,所以f(20)>1000,故選B.2.(2022·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則k=122f(k)=(AA.-3 B.-2 C.0 D.1解析因?yàn)閒(1)=1,所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中,令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②相加,得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+3)+f(x)=0,所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6.在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中,令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令x=1,y=1,得f(2)+f(0)=f(1)f(1),所以f(2)=-1.由f(x+3)=-f(x),得f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=-f(3)=2,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1-1-2-1+1+2=0,根據(jù)函數(shù)的周期性知,k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3,故選3.(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)(多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則(ABC)A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函數(shù)D.x=0為f(x)的極小值點(diǎn)解析取x=y=0,則f(0)=0,故A正確;取x=y=1,則f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,故B正確;取x=y=-1,則f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0,取y=-1,則f(-x)=f(x)+x2f(-1),所以f(-x)=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),故C正確;不妨取f(x)=0,此時(shí)f(x)符合題設(shè),但f(x)無(wú)極值.故D不正確.綜上,選ABC.4.(2022·新課標(biāo)Ⅰ卷)(多選題)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R,記g(x)=f'(x).若f32-2x,g(2+x)均為偶函數(shù),則(A.f(0)=0 B.g-1C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)解析解法一(轉(zhuǎn)化法):因?yàn)閒32-2x為偶函數(shù),所以f32-2x=f32+2x,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=32對(duì)稱,f32-2×54=f32+2×54,即f(-1)=f(4),所以C正確;因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù),所以g(2+x)=g(2-x),函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,因?yàn)間(x)=f'(x),所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)32,0對(duì)稱,所以g(x)的周期T=4×2-32=2,因?yàn)閒(-1)=f(4),所以f'(-1)=-f'(4),即g(-1)=-g(4)=-g(2),所以D不正確;因?yàn)閒32-2=f32+2,即f-12=f72,所以f'-12=-f'72,所以g-12=-g72=-g2×2-12=-g-12,所以g解法二(特例法):因?yàn)閒32-2x,g(2+x)均為偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=32對(duì)稱,函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.取符合題意的一個(gè)函數(shù)f(x)=1(x∈R),則f(0)=1,排除A;取符合題意的一個(gè)函數(shù)f(x)=sinπx,則f'(x)=πcosπx,即g(x)=πcosπx,所以g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos2π=π,所以g(-1)≠g(2),排除微練(三十一)高考中的抽象函數(shù)一、單項(xiàng)選擇題1.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)也為奇函數(shù),若f(1)=2,則f(2027)的值是(D)A.1 B.-1 C.2 D.-2解析因?yàn)閒(x+2)為奇函數(shù),所以f(-x+2)=-f(x+2),用x+2代替x得f(-x)=-f(x+4),又f(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x)=-f(x+4),所以f(x)=f(x+4),f(x)是以4為周期的周期函數(shù),因?yàn)閒(1)=2,所以f(2027)=f(4×507-1)=f(-1)=-f(1)=-2.故選D.2.(2025·杭州二模)設(shè)函數(shù)y=f(x)-x2是奇函數(shù).若函數(shù)g(x)=f(x)+5,f(4)=9,則g(-4)=(B)A.27 B.28 C.29 D.30解析由函數(shù)y=f(x)-x2是奇函數(shù)可知f(x)-x2+f(-x)-(-x)2=0,因此可得f(x)+f(-x)=2x2;又g(x)=f(x)+5,因此g(4)=f(4)+5,g(-4)=f(-4)+5;兩式相加可得g(4)+g(-4)=f(4)+5+f(-4)+5=2×42+10=42;又g(4)=f(4)+5=14,因此g(-4)=42-14=28.故選B.3.(2025·山西一模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(2x)+f(1-2x)=1,f(1-x)=f(1+x),則i=02025f(i)=(DA.0 B.2025 C.20252 解析由f(2x)+f(1-2x)=1得f(0)+f(1)=1,且函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)12,12對(duì)稱;由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=f(1+(1+x))=f(1-(1+x))=f(-x).又由f(2x)+f(1-2x)=1得f(-x)=1-f(1+x)=1-f(1-x)=1-[1-f(x)]=f(x),所以f(x+2)=f(-x)=f(x),得函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù),當(dāng)i=0時(shí),f(2i)+f(2