【小初高+大學+考研考證公考免費資源公眾號：學霸點睛資料】第02講常用邏輯用語【學科素養(yǎng)】數(shù)學抽象、邏輯推理【課標解讀】1．會用常用邏輯用語表達數(shù)學對象、進行數(shù)學推理．2．體會常用邏輯用語在表述數(shù)學內(nèi)容和論證數(shù)學結(jié)論中的作用，提高交流的嚴謹性與準確性．【備考策略】1.理解命題的概念.2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義．4.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義。5.理解全稱量詞和存在量詞的意義。6.能正確地對含一個量詞的命題進行否定?！竞诵闹R】1．命題用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．3．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p4．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞．(2)命題p且q、p或q、非p的真假判斷pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真5.全稱量詞和存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“?”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“?”表示．6．全稱命題、特稱命題及含一個量詞的命題的否定命題名稱語言表示符號表示命題的否定全稱命題對M中任意一個x，有p(x)成立?x∈M，p(x)?x0∈M，┐p(x0)特稱命題存在M中的一個x0，使p(x0)成立?x0∈M，p(x0)?x∈M，┐p(x)【特別提醒】1.若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，請寫出集合A，B的其他關(guān)系對應(yīng)的條件p，q的關(guān)系．提示若AB，則p是q的充分不必要條件；若A?B，則p是q的必要條件；若AB，則p是q的必要不充分條件；若A＝B，則p是q的充要條件；若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．【高頻考點】高頻考點一充分條件與必要條件的判定例1.(2025·天津卷)設(shè)a∈R，則“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【規(guī)律方法】充要條件的判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷.(2)集合法：根據(jù)使p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題.【舉一反三】（2025·北京卷）已知，則“存在使得”是“”的（）．A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【變式探究】【2019·北京卷】設(shè)點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件高頻考點二充分條件、必要條件的應(yīng)用例2.(2025·河南洛陽模擬)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________．【方法技巧】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵點(1)先合理轉(zhuǎn)化條件,常通過有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象將恒成立問題和有解問題轉(zhuǎn)化為最值問題等,得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍.(2)求解參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點值的檢驗,尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時,不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍,處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.【變式探究】(2025·山東實驗中學模擬)已知條件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，條件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要條件，求m的取值范圍．高頻考點三全稱量詞命題、存在量詞命題的否定例3．(2025·山東淄博市高三模擬)命題“?x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”的否定是()A．?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．?x(0，＋∞)，lnx＝x－1C．?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1D．?x(0，＋∞)，lnx＝x－1【方法技巧】(1)全稱命題與特稱命題的否定①改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫；②否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進行否定．(2)全稱命題與特稱命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱命題真所有對象使命題為真否定為假假存在一個對象使命題為假否定為真特稱命題真存在一個對象使命題為真否定為假假所有對象使命題為假否定為真【特別提醒】因為命題p與﹁p的真假性相反，因此不管是全稱命題，還是特稱命題，若其真假不容易正面判斷時，可先判斷其否定的真假．【變式探究】(2025·廣東廣雅中學模擬)已知命題p：?m∈R，f(x)＝2x－mx是增函數(shù)，則﹁p為()A．?m∈R，f(x)＝2x－mx是減函數(shù)B．?m∈R，f(x)＝2x－mx是減函數(shù)C．?m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù)D．?m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù)高頻考點四全稱量詞命題、存在量詞命題的真假判斷例4．（2025·新課標Ⅱ）設(shè)有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號是__________.①②③④【舉一反三】(2019·高考全國卷Ⅲ)記不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面區(qū)域為D.命題p：?(x，y)∈D，2x＋y≥9；命題q：?(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面給出了四個命題①p∨q②﹁p∨q③p∧﹁q④﹁p∧﹁q這四個命題中，所有真命題的編號是()A．①③ B．①②C．②③ D．③④【規(guī)律方法】1.“p∨q”、“p∧q”、“┐p”形式命題真假的判斷關(guān)鍵是對邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”含義的理解，其操作步驟是：(1)明確其構(gòu)成形式；(2)判斷其中命題p，q的真假；(3)確定“p∨q”“p∧q”“┐p”形式命題的真假.2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，┐p則是“與p的真假相反”.【變式探究】(2025·湖南岳陽模擬)下列四個命題中的假命題是()A．?x∈R，x2≥0 B．?x∈R，2x－1＞0C．?x∈R，lgx＜1 D．?x∈R，sinx＋cosx＝2高頻考點五全稱量詞命題、存在量詞命題的應(yīng)用例5.(2025河北衡水調(diào)研)已知命題“?x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(4，＋∞) B．(0,4]C．(－∞，4] D．[0,4)【規(guī)律方法】1.由含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假求參數(shù)的方法步驟：(1)求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍；(2)根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍.2.全稱命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題.含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)的最值解決.【變式探究】(2025·湖南長沙質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝2ax－a＋3.若?x0∈(－1,1)，使