T8聯(lián)考暨“五市十?！苯虒W聯(lián)盟2026屆高三上學期12月檢測訓練數(shù)學試卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2025秋·高三·湖南·月考]已知集合，，則()A. B.C. D.1．答案：B解析：，或，，,或.2．[2025秋·高三·湖南·月考]已知復數(shù)z滿足，則()A.4 B. C.2 D.2．答案：C解析：方法一：.方法二：，.3．[2026屆·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·一模?？糫已知，，，則的最小值為()A.3 B.2 C. D.13．答案：D解析：因為，，，所以，，當且僅當時取等號，.故選：D.4．[2025秋·高三·湖南·月考]已知點G為的重心，若，則()A.0 B.1 C. D.34．答案：B解析：如圖，延長AG交BC于點D，則，且不共線，.5．[2025秋·高三·湖南·月考]已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5．答案：A解析：已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則當時，，整理得，所以，又當時，，故數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，故，所以，當時，，則，當時，，所以，綜上可得：，若對任意，恒成立，則，故實數(shù)的取值范圍是.故選：A.6．[2025秋·高三·湖南·月考]圖1是古書《天工開物》中記載的筒車圖.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，在農(nóng)業(yè)上得到廣泛應用.在圖2中，一個半徑為2m的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心O距水面的高度為.設(shè)筒車上的某個盛水桶P（看作點）到水面的距離為d（單位：m）（若在水面下則d為負數(shù)），若以盛水桶P剛浮出水面時開始計時，d與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為，則()A. B. C. D.6．答案：A解析：由題得筒車半徑為2m，轉(zhuǎn)動一圈需要40s，且軸心O距水面高度為，.又以盛水桶P剛浮出水面時開始計時，.又.7．[2025秋·高三·湖南·月考]已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作圓的切線.交雙曲線C的右支于點M，若，則實數(shù)()A. B. C.2 D.7．答案：D解析：如圖，設(shè)點M在第一象限，過點作于點G，設(shè)N為圓O的切點，連接.在中，，由雙曲線定義得.8．[2025秋·高三·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·月考?？糫已知函數(shù),,若恰有4個零點,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.8．答案：B解析：,,故關(guān)于y軸對稱,又,且恰有4個零點,所以當時,恰有2個零點,當時,恰有2個零點,當時,,,時,,當且時,即有2個解,令且,,則,解得或,所以或時,,單調(diào)遞減,時,,單調(diào)遞增,,,故函數(shù)圖象如下：故時,有2個交點,即若恰有4個零點,則實數(shù)k的取值范圍是.故選：B.二、多項選擇題9．[2025秋·高三·湖南·月考]已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，將這組數(shù)據(jù)分別加上它們的平均數(shù)，得到一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比()A.極差相同 B.平均數(shù)不同 C.方差不同 D.中位數(shù)相同9．答案：AB解析：設(shè)數(shù)據(jù)中最大的數(shù)為M，最小的數(shù)為N，則原數(shù)據(jù)的極差為，新數(shù)據(jù)為，則新數(shù)據(jù)的極差為，因此新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的極差相同，故A正確；原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，由于，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)不同，故B正確；原數(shù)據(jù)的方差為，新數(shù)據(jù)的方差為，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的方差相同，故C錯誤；不妨設(shè)，若n為偶數(shù)，則原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，此時，則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，由于，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)不同，故D錯誤.故選：AB10．[2025秋·高三·湖南·月考]已知函數(shù)，，，則下列說法正確的是()A. B.不等式的解集為C. D.1為函數(shù)的極大值點10．答案：ACD解析：，選項A正確；，在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，解集為，選項B錯誤；，且，，，由，，選項C正確；，時，；時，.又，為極大值點，選項D正確.11．[2025秋·高三·湖南·月考]已知正四棱錐的底面邊長為1，高為h，該正四棱錐的頂點P在正方體的內(nèi)部（包括表面），則下列結(jié)論正確的是()A.h的取值范圍是B.若正四棱錐的側(cè)棱長為，則C.當點P為正方體的上底面的中心時，正四梭錐外接球的表面積為D.當點P為正方體的內(nèi)切球球心時，正方體的內(nèi)切球與正四棱錐的公共部分的體積為11．答案：ACD解析：記正方形ABCD和正方形的中心分別為O和，則點P在線段（不含端點O）上，易知選項A正確；在中，選項B錯誤；如圖，記四棱錐的外接球球心為G，則點G則在OP上，連接CG.在中，，則，∴選項C正確；該正方體恰好放入與四棱錐體積相同的6個四棱錐，∴公共部分的體積為正方體內(nèi)切球體積的公共部分的體積為選項D正確.三、填空題12．[2025秋·高三·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·月考?？糫已知的展開式中,第6項系數(shù)與第7項系數(shù)之比為.則n的值為___________________.12．答案：6解析：二項式的展開式的第項為,所以第6項的系數(shù)為,第7項的系數(shù).又第6項系數(shù)與第7項系數(shù)之比為,所以,所以,所以,解得.故答案為：6.13．[2025秋·高三·湖南·月考]已知拋物線的焦點為F.斜率為1的直線l與拋物線C交于M，N兩點.則的值為__________.13．答案：解析：設(shè)，由拋物線定義得..14．[2025秋·高三·湖南·月考]已知，，則的最小值為__________.14．答案：-3解析：令，則，或，或.∴點（）在圓位于第一、二、四象限（包括坐標軸）的部分上.∵點到直線距離為,又.下求d的最大值.如圖，d的最大值為點（-1，0）到直線的距離，,.四、解答題15．[2025秋·高三·湖南·月考]在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角C的大小；(2)若點D在邊AB上，且滿足，求的值.15．答案：(1)(2)2解析：（1）因為，，所以，即，由正弦定理得，即，又，所以，所以，即，又，所以，所以，又，所以.（2）因為，所以.在中，，則.在中，；在中，.因為，所以.因為，所以.將，代入上式得，，又，兩式相除得，.所以.16．[2025秋·高三·湖南·月考]（1）1個質(zhì)點在數(shù)軸上運動，每次向左或向右移動1個單位長度（相對于原點O，質(zhì)點向右移動了i（）個單位長度后位置記為i，向左移動了i（）個單位長度后位置記為）.已知質(zhì)點每次向右移動的概率為（）.記X為質(zhì)點從原點O出發(fā)，移動2次后的位置，求滿足隨機變量X的期望大于0的p的取值范圍；（2）1個質(zhì)點從平面直角坐標系中某點A出發(fā)，每次等可能地向上或向下或向左或向右移動1個單位長度，求該質(zhì)點經(jīng)過4次移動后回到點A的概率.16．答案：（1）；（2）解析：（1）由題可知X的可能取值為，0，2，，，，X的分布列如下：X02P，得.（2）移動四次，樣本空間的樣本點總數(shù)為，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，且為有限個，記質(zhì)點經(jīng)過4次移動后回到點A為事件B，要4次回到起點A，則向左移動次數(shù)與向右移動次數(shù)相等，且向上移動的次數(shù)與向下移動的次數(shù)相等，包含下列情況：①4次移動中向上，下，左，右各一次，②向上和向下各2次，③向左和向右各2次；所以事件B包含的樣本點個數(shù)為，所以，所以質(zhì)點經(jīng)過4次移動后回到點A的概率為.17．[2025秋·高三·湖南·月考]如圖，在斜三棱柱中，，，，O是BC的中點.（1）求證：平面平面；（2）若底面ABC，且直線與底面ABC所成角為，D是棱的中點，求平面與平面ABC夾角的余弦值.17．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：如圖，連接，.，，，，.為BC中點，.又，.又，平面，平面，平面.平面，平面平面.（2）平面，為與平面ABC所成的角，即.由題可知，，兩兩垂直，以O(shè)為坐標原點，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)，，，，.，，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，令，.平面，取平面ABC的法向量，記平面與平面ABC的夾角為，則，∴平面與平面ABC夾角的余弦值為.18．[2025秋·高三·湖南·月考]已知橢圓的左、右焦點分別為，.且橢圓C過點，橢圓的下頂點為E.（1）求桶圓C的方程：（2）過右焦點的直線l與橢圓C交于A，B兩點（點A在點B的上方），與y軸交于點P（點P在點E的下方）.Q為點P關(guān)于原點的對稱點，QB交x軸于點R，設(shè)，，的面積分別為，，.①若直線l的斜率為2，求的值；②是否存在直線l，使Q，R，，A四點共圓？若存在，試判斷直線l的條數(shù)；若不存在.請說明理由.18．答案：（1）（2）存在，1條解析：（1）橢圓C的左、右焦點分別為，，且過，，，.，橢圓C的方程為.（2）①直線l方程為，設(shè)，.聯(lián)立消去x，得，，.由題得.②假設(shè)存在直線l，設(shè)直線l方程為，，.聯(lián)立消去x，得，恒成立，，，.如圖，延長QA交x軸于點S，若Q，R，，A四點共圓，則.，.又，.由，得，，，.由點P在點E下方得，，記，，.又，，存在直線l，條數(shù)為1條.19．[2025秋·高三·湖南·月考]約翰?卡爾?弗里德里希?高斯，德國著名的數(shù)學家、物理學家、天文學家，是近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”之稱.函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如，.已知函數(shù).（1）當和時，求的值；（2）設(shè)，，，.①求的表達式；（，，）②求的表達式