初中數(shù)學(xué)人教版(2024)八年級下冊第二十一章四邊形21.3.1

矩

形第1課時(shí)

矩形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解矩形的概念，知道矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系.

(重點(diǎn))2.會證明矩形的性質(zhì)，會用矩形的性質(zhì)解決簡單的問題.

(難點(diǎn))3.掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并會簡單的運(yùn)用.

(重點(diǎn))課堂引入回顧一下平行四邊形及其邊、角、對角線都有哪些性質(zhì)

.一、矩形的定義及性質(zhì)提示我們?nèi)舾淖兤叫兴倪呅蔚膬?nèi)角，使其一個內(nèi)角恰好為直角，會得到一種特殊的平行四邊形，也就是我們早已熟悉的長方形，即矩形，如圖所示.

DC問題1

如圖，現(xiàn)有一個活動的平行四邊形，使它的一個內(nèi)角變化，當(dāng)內(nèi)角變化為90°時(shí)，這是我們學(xué)過的哪個圖形?問題2

因?yàn)榫匦问瞧叫兴倪呅?，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，由于它有一個角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性

質(zhì)呢?請同學(xué)們以小組為單位，測量身邊的矩形(如書本等)的四個角度

數(shù)和對角線的長度，并記錄測量結(jié)果.根據(jù)測量結(jié)果證明以下猜想.(1)猜想1:矩形的四個角都是直角；提示

如圖，四邊形ABCD

是矩形，∠A=90°.求證：

∠B=∠C=∠D=∠A=90°.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∠A=90°,∴∠C=∠A=90°,∠B=∠D,AD//BC.∴∠B+∠A=180°

,∵∠A=90°,∴∠B=180°-∠A=180°-90°=90°,∴∠D=90°,∠B=∠C=∠D=∠A=90°.ABD2猜想2:矩形的對角線相等提示如圖，四邊形ABCD是矩形，∠ABC=90°,對角線AC與DB相交于點(diǎn)O.求證：AC=DB.證明：∵四邊形ABCD是矩形，B

C∴AB=DC,∠DCB=∠ABC=90°,在△ABC和△DCB中，∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB,AC=DB.1

知識梳理1.矩形的定義：有一個角是

直角的平行四邊形叫作

矩形

，矩形也就是長方形.2.作為特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，另外，矩形還有

以下性質(zhì)：(1)矩形的四個角都是

直角；(2)矩形的對角線_

相

等

.D幾何語言：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，B

C∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AC=BD.例1

下列選項(xiàng)中，矩形具有的性質(zhì)是A.四邊相等B.對角線互相垂直C.對角線相等D.每條對角線平分一組對角跟蹤訓(xùn)練1

矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是A.對邊相等

B.對角相等C

對角線相等

D.對角線互相平分解析矩形的對角線互相平分且相等，而平行四邊形的對角線互相平分，不一定相等.例2

(課本P69例1)如圖，矩形ABCDBD

相交于點(diǎn)O

,

∠AOB=60°,AB=4.的對角線的長.解

∵四邊形ABCD是矩形，∴AC與BD相等且互相平分，∴OA=OB,又∠AOB=60°

,∴△OAB

是等邊三角形，∴OA=AB=4,AC=BD=2OA=8.A.B

C的對角線AC,求矩形ABCD跟蹤訓(xùn)練2

(1)如圖，矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O

若∠BAO=55°,則∠AOD等于M10°

B.115°C.120°

D.125°

BC解析

∵四邊形

ABCD

是矩形，∴AC與BD相等且互相平分，∴OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=55°,∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°

.(2)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD

相交于點(diǎn)O,AE//BD,且交CB的延長線于點(diǎn)E,

求證：∠EAB=∠CAB.證明

∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB.∴∠OAB=∠OBA.∵AE//BD,∴∠EAB=∠OBA.∠EAB=∠CAB.E

C直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半B

C

C在Rt△ABC中

，BO是一條怎樣的線段?它的長度與斜邊AC有什么關(guān)系?提示BO是Rt△ABC

中斜邊AC上的中線，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得問題3

如圖，一張矩形紙片，畫出兩條對角線，沿著對角線AC

剪去一半.ABD=AC,

所以1

知識梳理直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半幾何語言：如圖，∵在Rt△ABC

中，∠ABC=90°,

點(diǎn)O

在AC上，

且OA=OC,C。例3

如圖，在△ABC

中，AD

是高

，E,F

分別是AB,AC

的中點(diǎn).(1)若AB=10,AC=8,求四邊形AEDF的周長；解

∵AD是△ABC

的高，E,F分別是AB,AC的中點(diǎn)，∴四邊形AEDF

的周長為AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18.GEBZADF例3

如圖，在△ABC

中，AD

是

高

，E,F

分別是AB,AC

的中點(diǎn).(2)求證：EF垂直平分AD.證明

∵DE=AE,DF=AF,∴E,F在線段AD的垂直平分線上，∴EF

垂直平分AD.AE

FBZ

D反思感悟當(dāng)已知條件含有線段的中點(diǎn)、直角三角形等條件時(shí)，可聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練3

(1)如圖，在△ABC中，∠ABC=90°

,

BD

是斜邊AC上的中線.B

C①若BD=3cm,

則AC=6

cm;②若∠C=30°,AB=5cm,則AC=

10

cm,BD=5

cm.(2)如圖，在△ABC

中，CD⊥AB

于點(diǎn)D,E是AC

的中點(diǎn).若AD=6,DE=5,則CD

的長

等

于

8.B

C解析

∵在△ABC

中

，CD⊥AB

于點(diǎn)D,E是AC

的中點(diǎn)，DE=5,∴AC=2DE=10.在Rt△ACD中，∠

ADC=90°,AD=6,AC=10,則根據(jù)勾股定理，得CD=

√AC2-A

D2=√

102-62=8.有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)四個內(nèi)角都是直角，兩條對角線互相

平分且相等軸對稱圖形一有兩條對稱軸直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半課堂小結(jié)矩形的相關(guān)

概念及性質(zhì)課堂練習(xí)1.若直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12,則斜邊上的中線長為A.13

B.66.5

D.不能確定解析∵

直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12,∴斜邊長為13,∴斜邊上的中線長為OA.20°

B.40°解析如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD,

,∴OB=OC,

∴∠OBC=∠1,∵∠1=40°,∴∠AOB=∠1+∠OBC=2∠1=80°.口

課堂練習(xí)2.若矩形的一條對角線與一邊的夾角為40°,則兩條對角線相交所成的銳角是D.10°BDC口課堂練習(xí)3.如圖，在矩形ABCD

中，對角線AC,BD

相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,F分別是AO,AD

的中點(diǎn)，若AB=6

cm,BC=8

cm,則EF=

2.5

cm.解析

∵四邊形ABCD

是矩形，∴∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD,∵AB=6cm,BC=8cm,∴由勾股定理得BD=AC=√62+82=10(cm),∵點(diǎn)E,F分別是AO,AD

的中點(diǎn)，B

C口

課堂練習(xí)4.

如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC,BD

相交

于點(diǎn)O,B

E//AC

交DC的延長線于點(diǎn)E.(1)求證：BD=BE;證明

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB//CD,AC=BD,∵BE//AC,∴

四邊形ABEC是平行四邊形，

∴BE=AC,∴BD=BE.E課堂練習(xí)4.如圖，四邊形ABCD

是矩形，對角線AC,BD

相交于點(diǎn)0,BE//AC交DC的延長線于點(diǎn)E.(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四邊形ABED的面積.解

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DCB=90°,,AB=CD,∴∠BCE=90°,∵∠DBC=30°,

,二

DC=BO,