概率(古典概型與幾何概型)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解隨機(jī)事務(wù)的含義，了解頻率與概率的區(qū)分.

2.理解古典概型，駕馭其概率計(jì)算公式，會(huì)求一些隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的概率.

3.了解幾何概型的意義與其概率的計(jì)算方法，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)潔幾何概型的概率.

【教學(xué)重點(diǎn)】

對(duì)概率含義的正確理解與其在實(shí)際中的應(yīng)用；古典概型與幾何概型

【教學(xué)難點(diǎn)】

無(wú)限過(guò)渡到有限，實(shí)際背景轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度、面積、體積等的問(wèn)題

【學(xué)問(wèn)點(diǎn)梳理】

1.隨機(jī)事務(wù)

(1)必定事務(wù)：在確定條件下，必定會(huì)發(fā)生的事務(wù)叫做必定事務(wù)。

(2)不行能事務(wù)：在確定條件下，確定不會(huì)發(fā)生的事務(wù)叫做不行能事務(wù).

(3)隨機(jī)事務(wù)：在確定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事務(wù)叫做隨機(jī)

事務(wù)。

2.頻率與概率的關(guān)系

概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值.

3.概率的基本性質(zhì)

(1)隨機(jī)事務(wù)A的概率：OWP(A)W1.

(2)必定事務(wù)的概率為1.

(3)不行能事務(wù)的概率為。.

(4)假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥,則P(AD8)=P(A)+P(5).

(5)假如事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù),那么P(AuB)=尸(A)+P(B)=1,

即P(A)=1-P(8).

4,古典概型

(1)特點(diǎn)：有限性，等可能性.

A中所含的事件基本數(shù)

(2)概率公式:()一=~基本事件總數(shù)

5.幾何概型

(1)特點(diǎn)：無(wú)限性，等可能性.

⑵廄盅八弋尸⑶構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)

M牛么工5一=試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)?

古典概型

題型一隨機(jī)事務(wù)與概率

例1某市地鐵全線共有四個(gè)車站，甲、乙兩個(gè)同時(shí)在地鐵第1號(hào)車站(首

車站)乘車。假設(shè)每人自第2號(hào)車站起先，在每個(gè)車站下車是等可能的。約

定用有序數(shù)對(duì)(x,y)表示“甲在X號(hào)車站下車，乙在y號(hào)車站下車”。

(1)用有序數(shù)對(duì)把甲、乙兩人F車的全部可能的結(jié)果列舉出來(lái)；

(2)求甲、乙兩人同在第3號(hào)車站下車的概率；

(3)求甲、乙兩人同在第4號(hào)車站下車的概率.

變式1同時(shí)擲兩顆骰子一次

(1)“點(diǎn)數(shù)之和是13”是什么事務(wù)？其概率是多少？

(2)“點(diǎn)數(shù)之和在2?13范圍之內(nèi)”是什么事務(wù)？其概率是多少？

(3)“點(diǎn)數(shù)之和是7”是什么事務(wù)？其概率是多少？

題型二互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)

例題1：每一萬(wàn)張有獎(jiǎng)明信片中，有一等獎(jiǎng)5張，二等獎(jiǎng)1。張，三等獎(jiǎng)

100張。某人買了1張，設(shè)事務(wù)A“這張明信片獲一等獎(jiǎng)。事務(wù)B“這

張明信片獲二等獎(jiǎng)”，事務(wù)C“這張明信片獲三等獎(jiǎng)”，事務(wù)D“這張明信

片未獲獎(jiǎng)”，事務(wù)E“這張明信片獲獎(jiǎng)”，則在這些事務(wù)中

⑴.與事務(wù)D互斥的有哪些事務(wù)？

(2).與事務(wù)D對(duì)立的有哪些事務(wù)？

⑶.與事務(wù)A+B對(duì)立的有哪些事務(wù)？

⑷.與事務(wù)砧互斥的有哪些事務(wù)？

例題2:某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿10。元商品得一張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得，每

1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位。設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50

個(gè)。設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事務(wù)分別為A、B、C,求:

(1).，⑷、P(B)、P(C)；

⑵.1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；

⑶?1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)或一等獎(jiǎng)的概率。

變式2:對(duì)立事務(wù)求概率

某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)與其概率如F：

醫(yī)生人012345人與以

數(shù)上

概率0.10.160.30.20.20.04

求：①派出醫(yī)生至多是2人的概率；②派出醫(yī)生至少是2人的概率.

變式：（2010湖北，理）投擲一枚勻稱硬幣和一枚勻稱骰子各一次，記“硬

幣正面對(duì)上”為事務(wù)A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事務(wù)B,則事務(wù)A,B

中至少有一件發(fā)生的概率是（）

5173

A.—B.-C.—D.-

122124

題型三簡(jiǎn)潔事務(wù)的古典概型

例題3:無(wú)放問(wèn)抽取、擲骰子、有放回抽取、排隊(duì)問(wèn)題的古典概型

袋中裝有6個(gè)形態(tài)完全相同的小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中隨

意取出兩球，求下列事務(wù)的概率.①A:取出的兩球都是白球；②B:取出

的兩球一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球.

變式3同時(shí)拋擲兩枚骰子.

⑴求“點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率；

⑵求“至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的概率.

題型四與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的古典概型

例題4(201。?福建卷)設(shè)平面對(duì)量⑥=〃")，”=(2,〃)，其中

"2,〃E{1,2,3,4}.

(1)請(qǐng)列出有序數(shù)組(〃7，〃)的全部可能結(jié)果；

(2)記“使得4J包-瓦)成立的(，小〃)”為事務(wù)A,求事務(wù)A發(fā)生的概

率.

2.(本題滿分12分乂08?廣東文)某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2。。0名，各年級(jí)

男、女生人數(shù)如下表：

初一年初二年初三年

級(jí)級(jí)級(jí)

女生373Xy

男生377370Z

已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的概率是。」9.

⑴求x的值；

(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問(wèn)應(yīng)在初三年級(jí)抽取

多少名？

(3)已知y>245,z>245,求初三年級(jí)中女生比男生多的概率.

3.（本題滿分12分）某中學(xué)團(tuán)委組織了“弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，愛我中華”的學(xué)

問(wèn)競(jìng)賽，從參與考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成果（均為整數(shù)）分成六

段［40,50）,［50,60）,…，［90,100］后畫出如下部分頻率分布直方圖,視

察圖形給出的信息，回答下列問(wèn)題:

0405060708090100

（1）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；

（2）估計(jì)這次考試的與格率（6。分與以上為與格）和平均分；

⑶從成果是［40,50）和［90,100］的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)

段的概率.

幾何概型

題型一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型概率問(wèn)題

例題1：在區(qū)間口⑶上任取一數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于等于1.5的概率（）

A.0.25B.0.5C.0.6D.0.75

變式1:（201。湖南卷理）在區(qū)間［-1,2］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)一則國(guó)力的概

率為L(zhǎng)

題型二與面積有關(guān)的兒何概型概率問(wèn)題

例題2：假如所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為。，伙的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形，梯形

上、下底分別為:。與;。，高為人。向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)

JL

落在梯形內(nèi)部的概率為

變式2:（2011?福建卷）如圖1-1,矩形工中，點(diǎn)石為邊。。的

中點(diǎn).若在矩形&B8內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q,則點(diǎn)。取自ANB石內(nèi)部的

概率等于（）

A］B-3C-2D3

題型三會(huì)面問(wèn)題中的概率

例3:兩人約定在20:00到21:00之間相見，并且先到者必需等遲到者

40分鐘方可離去.假如兩人動(dòng)身是各自獨(dú)立的，在20:00至21:0。各時(shí)刻

相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率.

分析：兩人不論誰(shuí)先到都要等40分鐘，即2/3小時(shí),設(shè)兩人到的時(shí)間分別

為x、y,則當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|W2/3時(shí)，兩人才能見面，因而此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

面積性幾何概型

變式3:在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和小于］的概率

是.

題型四與體積有關(guān)的幾何概型概率問(wèn)題

例題4：在400毫升自來(lái)水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水

樣放到顯微鏡下視察，求發(fā)覺大腸桿菌的概率。

變式4:(2011山東臨沂一中期末)已知正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4,

高為3,在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P,使得％的概率是()

【方法與技巧總結(jié)】

1.互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的關(guān)系：

(1)對(duì)立確定互斥，互斥未必對(duì)立；

(2)可將所求事務(wù)化為互斥事務(wù)A、B的和，再利用公式

P(A+B)=P(A)+P(B)來(lái)求，也可通過(guò)對(duì)立事務(wù)公式P(A)=1-P(A)來(lái)求

P(A).

2.古典概型與幾何概型

古典概型

(1)特點(diǎn)：有限性，等可能性.

啊蟲八弋.meA中所含的事件基本數(shù)

（2）概率公式：尸⑷:基本事件總數(shù)

幾何概型

（1）特點(diǎn)：無(wú)限性，等可能性.

廄*八在丹口-構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）

）慟*“八.（，一試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）

課堂練習(xí)

一、選擇題

1.從12個(gè)同類產(chǎn)品中（其中有1。個(gè)正品，2個(gè)次品），隨意抽取3

個(gè)，下列事務(wù)是必定事務(wù)的是（）

A.3個(gè)都是正品

B.至少有一個(gè)是次品

C.3個(gè)都是次品

D.至少有一個(gè)是正品

2.給出關(guān)于滿意AB的非空集合力、B的四個(gè)命題:

①若任取則是必定事務(wù)；

②若任取對(duì)4則8是不行能事務(wù);

③若任取則是隨機(jī)事務(wù)；

④若任取一對(duì)B,則.對(duì)/是必定事務(wù).

其中正確的是命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2

張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（）

1123

A3B2C3DZ

4.（2011?威海模擬）一個(gè)袋子里裝有編號(hào)為1,2,…，12的12個(gè)

相同大小的小球，其中1到6號(hào)球是紅色球，其余為黑色球.若從中隨意

摸出一個(gè)球，記錄它的顏色和號(hào)碼后再放回袋子里，然后再摸出一個(gè)球，

記錄它的顏色和號(hào)碼，則兩次摸出的球都是紅球，且至少有一個(gè)球的號(hào)碼

是偶數(shù)的概率是（)

1317

C-D—

A?五B.元416

5.（2010?江蘇卷，理）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球,若

從中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是_______.

6.同時(shí)擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為;

點(diǎn)數(shù)之和大于9的概率為o

7.口袋里裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球，這四個(gè)球除顏色外完全相同，四個(gè)人

按依次依次從中摸出一球，試求“其次個(gè)人摸到白球”的概率。

9（2010湖南文數(shù)）在區(qū)間［-1,2］上隨即取一個(gè)數(shù)x,則x€［0,1］的概率

為_______________二

10取一根長(zhǎng)度為4m的繩子，拉直后在隨意位置剪斷，那么剪得的兩段

都不少于1m的概率是（）.

1112

B3C2D3

11（2009遼寧卷文）ABCD為長(zhǎng)方形，AB=2,BC=1,。為AB的中

點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率

為

(A)-(B)1--(C)-(D)1--

4488

12(2009?榮成模擬)設(shè)?1<〃<1,?1&〃&1,求關(guān)于工的方程

F+ax+b2=0有實(shí)根的概率.

【課后作業(yè)】

1、在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5,的五個(gè)小球，這些小球除

標(biāo)注的數(shù)字外完全相同.現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的

數(shù)字之和為3或6的概率是（）

3111

A-WB5C-WD.適

2、將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b,c,則方程M+bx

+。=。有實(shí)根的概率為（）

191517

A標(biāo)B2C9D.諉

3、把一顆骰子投擲兩次，視察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為小

其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為5,向量m=（a,坊,n=（l,2）,則向量m與向量A

不共線的概率是（）

11111

A-6B?運(yùn)C?運(yùn)D.五

4、有兩個(gè)質(zhì)地勻稱、大小相同的正四面體玩具，每個(gè)玩具的各面上分別

寫有數(shù)字1,2,3,4.把兩個(gè)玩具各拋擲一次，斜向上的面全部數(shù)字之和能被

5整除的概率為（)

1131

A?叁C，8D2

5、若將一顆質(zhì)地勻稱的骰子（一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正

方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率是________.

6、（09?江蘇）現(xiàn)有5根竹稈，它們的長(zhǎng)度（單位：m）分別為

2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好

相差0.3m的概率為.

7、我國(guó)已經(jīng)正式加入WTO,包括汽車在內(nèi)的進(jìn)口商品將最多五年內(nèi)把關(guān)

稅全部降低到世貿(mào)組織所要求的水平，其中有21%的進(jìn)口商品恰好5年

關(guān)稅達(dá)到要求，18%的進(jìn)口商品恰好4年達(dá)到要求，其余的進(jìn)口商品將在

3年或3年內(nèi)達(dá)到要求，求進(jìn)口汽車在不超過(guò)4年的時(shí)間內(nèi)關(guān)稅達(dá)到要求

的概率.

8（2。。9福建卷文）點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn),

若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,則劣弧AB的長(zhǎng)度小于1的

概率為o

9在長(zhǎng)為10cm的線段AB上取一點(diǎn)G,并以AG為半徑作一個(gè)圓，求圓

的面積介于36〃cm2至iJ64〃cm2的概率

10（2011?西安模擬）如圖所示,邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的

2

陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為小

則陰影區(qū)域的面積為（）.

482

A3B3C3D.無(wú)

法計(jì)算

11送報(bào)人每天早上6：30M7：30之間把劉師傅訂的報(bào)紙送到劉師傅家,

若劉師傅離開家去上班的時(shí)間在7:。。至8：。。之間，問(wèn)：劉師傅在離

家前收到報(bào)紙的概率是多少？

【參考答案】

1、鞏固練習(xí)答案

L答案D

解析在基本領(lǐng)件空間中，每一個(gè)事務(wù)中正品的個(gè)數(shù)可能是1,2;3,

而不行能沒有.

2.答案C

3.答案C

解析從4張卡片中抽取2張的方法有6種，和為奇數(shù)的狀況有4

2

種，..尸=三.

4、答案B

解析據(jù)題意由于是有放回地抽取，故共有12X12=144種取法，

其中兩次取到紅球且至少有一次號(hào)碼是偶數(shù)的狀況共有6X6-3X3=27

273

種可能，故其概率為不=?.

1

5.答案-

解析設(shè)3只白球?yàn)锳,B,只黑球?yàn)閐,則從中隨機(jī)摸出兩只

球的情形有：ABfAC9AdyBC,Ed,Cd共6種，其中兩只球顏色不

同的有3種，故所求概率為

6答案：—=1;-=-

369366

7.答案：把四人依次一編號(hào)為甲、乙、丙、丁，把兩白球編上序號(hào)1、2,

把兩黑球也編上序號(hào)1、2,于是四個(gè)人按依次依次從袋內(nèi)摸出一個(gè)球的

全部可能結(jié)果，可用樹形圖直觀地表示出來(lái)如下：

<黑

1黑

二

22<黑

1黑

白

1二2

黑

黑z

21黑2

黑1

二

白2

黑

2白

<二

1<1黑2

1白

2黑

黑\

黑

白

222白1

2<二2

二

白

白

黑

2<黑

111

黑

黑

2黑

白

11白1

丙

乙

丁

甲

丙T

白

黑

白

<2黑2<12

白

二

白

11二

黑

白

黑

?2白221

22

黑

二

二

白

白1

<1黑2<1

黑

黑

白

r2白1

白

黑

1黑

2白1

二

<二

黑

黑2

白

白

<21白1

2白1

2

白

12白1

白

白

乙

乙

丙

丙

甲

甲

丁

丁

從上面的樹形圖可以看出，試驗(yàn)的全部可能結(jié)果數(shù)為24,其次人摸到白

球的結(jié)果有12種，記“其次個(gè)人摸到白球”為事務(wù)A,貝|JP（A）=￡二;。

8【答案】|

9【解析】把繩子4等分，當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時(shí)，兩段繩子都不少

于1m,故所求概率為

21

p=—=一

42,

【答案】C

10【解析】長(zhǎng)方形面積為2,以O(shè)為圓心,1為半徑作圓，在矩形內(nèi)部的部分

（半圓）面積為W

因此取到的點(diǎn)到O的距離小于1的概率為g+2=f,取到的點(diǎn)到O的

24

萬(wàn)b

距離大于1的概率為1—￡

4____________

【答案】B、而

11【解析】由題意知方程有實(shí)根滿意條件：/皿比對(duì)/:

-K/?<1,a2-4b2>0,作平面區(qū)域

如圖.

由圖知陰影面積為1,總的事務(wù)對(duì)應(yīng)面積為正方形的面積4,故概率為4.

2、課后作業(yè)答案

1、答案A

解析從分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球中隨機(jī)取出2個(gè)小球的基本

領(lǐng)件數(shù)分別為:1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6,2+3=5,2+4=

6,2+5=7,3+4=7,3+5=8,4+5=9共10種不憐憫形；而其和為3

3

或6的共3種情形，故取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是五.

2、答案A

解析若方程有實(shí)根，則/="一4。＞0,當(dāng)有序?qū)崝?shù)對(duì)(幾目的取值為

(6,6),(6,5),…，(6,1),(5,6),(5,5),…，(5,1),(4,4),…，(4,1),(3,2),

(3,1),(2,1)時(shí)方程有實(shí)根，共19種狀況，而(b,c)等可能的取值共有36

19

種狀況，所以，方程有實(shí)根的概率為P=寶.

oo

3、答案B

解析若m與刀共線，則2a—b=0,而(a,b)的可能性狀況為6x6=

3

36個(gè).符合2a=b的有(1,2),(2,4),(3,6)共三個(gè).故共線的概率是云=