人教A版(2019)數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第四章數(shù)列

4.4*

數(shù)學(xué)歸納法

鹿柴(唐)王維空山不見人，

但聞人語響。

返景入深林，

復(fù)照青苔上。唐代詩人王維的“空山不見人，但聞人語響”,用有限的文字，

構(gòu)建了空谷傳音的無限聲場.宋代畫家馬遠(yuǎn)的《獨(dú)釣寒江

圖》,通過有限的視覺符號，激活了無限的想象空間.有限與無限最先明確而清晰地闡述并使用數(shù)學(xué)歸納法的是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡，

在他的《論算術(shù)三角形》一書中，

首次使用數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，

并用其證明了“帕斯卡三角形”.數(shù)學(xué)歸納法的創(chuàng)建人帕斯卡引

例

3

已知數(shù)列{an}

滿

足

，a?=1,計(jì)

算a2,a3,a4,猜想其通項(xiàng)公式，并證明你的猜想.

不完全歸納法猜想a1=1

→a2=1

→

a3=1→a4=1

an=1引例2費(fèi)馬觀察到：F?=22°+1=3F?=22'+1=5,F?=22+1=17,F?=22+1=257,F?=22?+1=65537,引例1某班有50名學(xué)生，

如何證明他們的身高都超過1.5米?

逐

一

驗(yàn)證歐拉發(fā)現(xiàn)：F?=223+1=641×6700417是個(gè)合數(shù)，宣布了猜想不成立.情境引入，提出主題猜想：任何形如22”+1(n∈N*)的數(shù)都是質(zhì)數(shù).不完全歸納法完全歸納法歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的方法.歸納法分為

完全歸納法

和

不完全歸納法.考察部分對象，

得到一般結(jié)論

的推理方法.結(jié)論不

一

定可

靠考察全體對象，

得到一般結(jié)論

的推理方法.結(jié)論一定可靠情境引入，提出主題引例3

已知數(shù)列{an}滿

足

，a?=1,

(n∈N*).

計(jì)算a?

,

a?,a?,

猜想其通項(xiàng)公式，并證明你的猜想.逐一驗(yàn)證?

證明n取所有正整數(shù)都成立的命題時(shí)，逐一驗(yàn)證是不可能的.思考2:

有沒有一種方法，能通過有限個(gè)步驟的推理，證明n

取所有

正整數(shù)時(shí)命題都成立?思考1:

如何證明引3中“數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=1”這個(gè)猜想呢?情境引入，提出主題神奇的多米諾骨牌兩個(gè)基本條件：(1)要推倒第一塊骨牌；(2)任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下思考4:

你認(rèn)為條件(2)的作用是什么?如何用數(shù)學(xué)語言描述它?思考3:

能使所有的多米諾骨牌倒下的條件是什么?條件(2)給出了遞推關(guān)系：第k塊骨牌倒下

→

第k+1塊骨牌倒下.抽象概念，辨析內(nèi)涵思考5:

你認(rèn)為證明引例3的猜想“數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=1”與

上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎?你能類比多米諾骨牌游戲

解決這個(gè)問題嗎?神奇的多米諾骨牌

數(shù)學(xué)歸納法抽象概念，辨析內(nèi)涵骨牌倒下第1塊骨牌倒下假設(shè)第k塊骨牌倒下，則第k+1塊骨牌一定倒下第n塊骨牌倒下引例3

已知數(shù)列{aπ}滿足，a?=1,

(n∈N*).

計(jì)算a?

,

a?,a?,猜想其通項(xiàng)公式，并證明你的猜想.命題成立檢驗(yàn)a?=1

成立假設(shè)a=1

成立，則

也成立抽象概念，辨析內(nèi)涵類

比命題a=1

成立一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n

有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n=n?(n?

∈N)時(shí)，命題成立；(2)(歸納遞推)以“當(dāng)n=k(k∈N,k≥n?)

時(shí)，命題成立”為條件推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”.思考6:

從引例3的解答過程中，你能歸納出證明一個(gè)與正整數(shù)n

有關(guān)的命題的一般步驟嗎?只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n。開始的所有正整數(shù)

n

都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法(mathematical

induction).抽象概念，辨析內(nèi)涵學(xué)生活動：

先獨(dú)立思考下列3個(gè)問題，然后在小組內(nèi)交流討論，互相補(bǔ)充，學(xué)生代表做好答題準(zhǔn)備，時(shí)間為3分鐘.追問1:

什么時(shí)候需要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法?追問3:

你知道數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)是什么嗎?追問2:

數(shù)學(xué)歸納法的第一步初始值n?

是否一定為1?抽象概念，辨析內(nèi)涵不能用常規(guī)方法嚴(yán)格證明的、與無限個(gè)正整數(shù)n有關(guān)的命題.不一定.如證明n邊形的內(nèi)角和為(n-2)

·

180°時(shí)

，n?=3.實(shí)質(zhì)：自動遞推，無窮驗(yàn)證，通過有限，歸納無限.多米諾骨牌原理數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟(1)第一塊骨牌倒下(1)當(dāng)n=n?

時(shí)，命題成立提供了基礎(chǔ)(2)第k塊骨牌倒下→第k+1塊骨牌倒

下

.(2)證明“如果n=k時(shí)命題成立

n=k+1時(shí)，命題也成立”.那么保證了傳遞根據(jù)(1)(2),所有骨牌都能倒下根據(jù)(1)(2),這個(gè)命題對一切正整數(shù)

n≥no都成立除了多米諾骨牌，烽火臺軍情的傳遞、過節(jié)燃放的鞭炮，都形象地解釋了數(shù)學(xué)歸納法的原理.抽象概念，辨析內(nèi)涵“骨牌原理”與“數(shù)學(xué)歸納法”的類比分析2.用數(shù)學(xué)歸納法證明

1+2+3+…+4

n=8n2+2n(n∈N*),則當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(

D)A.4k+1

B.8(k+1)2+2(k+1)C.4(k+1)

D.(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+

.

.+(n+3)=(n∈N*),驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是

(D)A.1

B.1+2C.1+2+3

D.1+2+3+4n=k時(shí),左邊=1+2+十?.?+4kn=k+時(shí),左邊=1+2+3+??.+4k+4k+1∴增加了1項(xiàng)幾二次時(shí)左邊計(jì)十千=

k

十

時(shí)

左

邊

計(jì)

千

十十二十千+十千十千——塞心了48頁應(yīng)用舉例，鞏固理解注

意

：n

每增加1,等式左邊增加4項(xiàng)試證明

①當(dāng)n=1

時(shí)，a?=a?+(1-1)d=a?

,等式成立②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=a?+(k-1)d成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=ac+d=a?+(k-1)d+d=a?+[(k+1)-1]d即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式an=a?+

(n-1)d

也成立.例1:用數(shù)學(xué)歸納法證明，如果{an}是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，那么an=a?+(n-1d對任何n∈N都成立.應(yīng)用舉例，鞏固理解歸納奠基歸納假設(shè)歸納遞推由①②可知，等式an=a?+(n-1)d

對任意n∈N*都成立.例2:已知數(shù)列{an}滿足a?=0,2an+1-anan+1=1(n∈N),通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.因

為

a?=0試猜想數(shù)列{an}的探索性

思維方式觀察歸納猜想證明應(yīng)用舉例，鞏固理解所以例2:已知數(shù)列{a。}滿足a=0,2an+1-ana+1=1(n∈N),

通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.證

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想

當(dāng)

n

=

時(shí)

,

左

邊

o

,

右

邊

二左邊二邊,所以猜想成立(2

)假沒幾=k時(shí),猜想成立,即ak=n

=

k

+1

時(shí)

,

猜

想

也

成

立試猜想數(shù)列{a}

的歸納奠基歸納假設(shè)歸納遞推應(yīng)用舉例，鞏固理解由(1(

2

)

知

,

猜

想

對以

毛

N

都

成

立

。(1)驗(yàn)證初始值是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，初始值不一定是1.(2)遞推是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，要正確分析式子中

項(xiàng)數(shù)的變化，弄清式子兩邊的構(gòu)成規(guī)律.(3)利用假設(shè)是核心：證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立一定要利用歸納假

設(shè)，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n=k+1

證明目標(biāo)

的表達(dá)式變形.用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：…--

規(guī)律方法劃重點(diǎn)●歸納奠基：證明當(dāng)n=n。(n?∈N*)時(shí)，命題成立；歸納推理：以“當(dāng)n

=k(k∈N*,k≥n?)時(shí)，命題成立”為條件推出“當(dāng)n=k+1

時(shí)命題也成立”.證明等式恒成立問題證明?思考7:本節(jié)課你學(xué)到了什么?(什么方法?什么時(shí)候用?怎么用?)