2025-2026學(xué)年第一學(xué)期期末考試2028屆高一數(shù)學(xué)試題一、選擇題：每題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知命題：，；命題：，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.4.已知角終邊上一點(diǎn)，則（）A B. C. D.5.下列函數(shù)中，在定義域范圍內(nèi)既是減函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.7.若，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：每題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分9已知非零實(shí)數(shù)，，滿足，則（）A. B.C. D.10.若、、是非零向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C若，則 D.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的值域?yàn)镃.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)三、填空題（每小題4分，共12分）12.已知向量滿足，且，則___________.13.設(shè)x＞0，y＞0，x+2y=7，則的最小值為_(kāi)_____．14.tan70°·cos10°(tan20°1)等于___________.四、解答題：本題共5小題，共58分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心；（2）求函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.17.已知函數(shù)．（1）若，求在區(qū)間上的值域；（2）若方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.已知，函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若，求證：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；（3）若方程的解集恰有一個(gè)元素，求a的取值范圍．19.在城鎮(zhèn)化的舊房改造進(jìn)程中，小明家舊房拆遷拿到一套新房外加一間店面.小明準(zhǔn)備將店面改建成超市，遇到如下問(wèn)題：如圖所示，一條直角走廊寬為2米，現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板車希望能自如在直角走廊運(yùn)行.平板車平板面為矩形，它的寬為1米.直線分別交直線于，過(guò)墻角作于，于；請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)知識(shí)幫小明解決如下問(wèn)題：（1）若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且，試將平板面的長(zhǎng)表示為的函數(shù)；（2）若平板車要想順利通過(guò)直角走廊，其長(zhǎng)度不能超過(guò)多少米?2025-2026學(xué)年第一學(xué)期期末考試2028屆高一數(shù)學(xué)試題一、選擇題：每題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用交集和補(bǔ)集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榧希?，所以，?故選：D.2.已知命題：，；命題：，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用全稱量詞命題、存在量詞命題的真假判斷方法確定命題真假即可.【詳解】對(duì)于命題，取，，是假命題，是真命題，對(duì)于命題，取，，是真命題，是假命題，因此選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤，B正確.故選：B3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的解析式可求得的值.【詳解】因?yàn)椋?故選：C4.已知為角終邊上一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正切函數(shù)的定義求出，再利用齊次法求解.【詳解】由為角終邊上一點(diǎn)，得，所以.故選：C5.下列函數(shù)中，在定義域范圍內(nèi)既是減函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知結(jié)合函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的定義，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷．【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，，，為偶函?shù)，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，的定義域?yàn)?，解得，，，為奇函?shù)，令在上是增函數(shù)，在定義域內(nèi)也是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上是增函數(shù)，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，定義域?yàn)?，，，為奇函?shù)，又由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在和上是減函數(shù)，在和上是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，恒成立，的定義域?yàn)?，，，為奇函?shù)，令在上是減函數(shù)，在定義域內(nèi)也是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上是減函數(shù)，故D正確，故選：D.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合題意可得出區(qū)間的包含關(guān)系，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得或，故函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)為增函數(shù)，故函數(shù)的增區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出.8.已知函數(shù)，若存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先畫(huà)出分段函數(shù)的圖像，然后判斷每段函數(shù)的單調(diào)性，求出每段函數(shù)的值域，根據(jù)對(duì)稱性推出，結(jié)合圖像可得到的范圍進(jìn)而得解.【詳解】函數(shù)的圖像如下圖所示.當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸是直線，且最大值為，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且此時(shí)，由題意知存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，，使得，不妨設(shè)，則，則，又，故的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：每題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.已知非零實(shí)數(shù)，，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由不等式的基本性質(zhì)判斷ABC選項(xiàng)，取特殊值判斷D選項(xiàng).【詳解】∵，∴，∴，A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴，C選項(xiàng)正確；取，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10.若、、是非零向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的定義可判斷B選項(xiàng)；利用垂直的向量關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；利用向量模的三角不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，所以或當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)、方向相反時(shí)，等號(hào)成立，D對(duì).故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的值域?yàn)镃.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，由周期性的定義判斷；對(duì)B，分段討論函數(shù)值域；對(duì)C，驗(yàn)證；對(duì)D，分段求解方程求零點(diǎn).【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以的最小正周期不是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以此時(shí)的值域?yàn)?；?dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以此時(shí)的值域?yàn)?；綜上，函數(shù)的值域?yàn)椋珺正確；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以，所以直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，由，解得或，當(dāng)時(shí)，由，解得，又，所以，所以函數(shù)有且僅有個(gè)零點(diǎn)，D正確；故選：BCD.三、填空題（每小題4分，共12分）12.已知向量滿足，且，則___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)得，由，兩邊同時(shí)平方得，結(jié)合兩式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，解?故答案為：.13.設(shè)x＞0，y＞0，x+2y=7，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】8【解析】【分析】把展開(kāi)，將x+2y=7整體代入，利用基本不等式即可解得最小值．詳解】===≥8，當(dāng)且僅當(dāng)xy=4時(shí)等號(hào)成立．故答案為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，屬于中檔題．14.tan70°·cos10°(tan20°1)等于___________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系實(shí)現(xiàn)切化弦，再利用輔助角公式以及正弦的降冪擴(kuò)角公式，整理化簡(jiǎn)，即可得到代數(shù)式的值.【詳解】tan70°·cos10°(tan20°-1)=·cos10°=·==1.故答案為：.點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)關(guān)系以及輔助角公式、降冪擴(kuò)角公式化簡(jiǎn)求值，屬綜合基礎(chǔ)題.四、解答題：本題共5小題，共58分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二次不等式解法可得出所求不等式的解集；（2）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出的表達(dá)式.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，由得，解得，故當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)，函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí).綜上所述，.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心；（2）求函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的對(duì)稱性求解.（2）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求解指定區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，由，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為.【小問(wèn)2詳解】由，得，由，得，由，得，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.17.已知函數(shù)．（1）若，求在區(qū)間上的值域；（2）若方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用換元法令，，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）由（1）知利用換元法可得，，方程有實(shí)根即等價(jià)于即有實(shí)數(shù)根且大于零，從而可得，即可求解；（3）若對(duì)任意的，總存在，使得，可得,由復(fù)合函數(shù)知識(shí)可得函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，從而求出，則只需令在上恒成立即可，分離參數(shù)可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，令，因?yàn)?，所以，所以可得一個(gè)二次函數(shù)，所以當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值，所以.所以時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?【小問(wèn)2詳解】由（1）知當(dāng)令，，，則，即有實(shí)數(shù)根，此時(shí)實(shí)數(shù)根大于零，所以可得，解得：.所以方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】由題意得，若對(duì)任意的，總存在，使得，可得,由函數(shù)可得當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，函數(shù)為增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)定義可得函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，由（2）知當(dāng)令，，，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)均單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以，即，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）主要利用換元后轉(zhuǎn)化為一般的二次函數(shù)在具體區(qū)間求最值問(wèn)題；（2）中轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問(wèn)題來(lái)求出相應(yīng)的不等式組，即可求解；（3）中由題可得,再結(jié)合指數(shù)型復(fù)合函數(shù)求出，從而可轉(zhuǎn)化為含參二次函數(shù)在定區(qū)間求解最值問(wèn)題.18.已知，函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若，求證：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；（3）若方程的解集恰有一個(gè)元素，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）由題意，得到，利用對(duì)數(shù)不等式的解法，列出不等式，求解即可；（2）任取，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可證明結(jié)論；（3）將方程進(jìn)行變形，得到，求出兩個(gè)根，分三種情況討論求解即可．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)a=3時(shí)，不等式，即，所以，解得，故不等式的解集為；【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?，任取，則，則＝＝，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；【小問(wèn)3詳解】由，可得，解得，若，則a=1，檢驗(yàn)定義域，符合題意；若是原方程的解，則；若是原方程的解，則，即．因?yàn)榉匠痰慕饧∮幸粋€(gè)元素，故當(dāng)是原方程的解，不是原方程的解時(shí)，則；當(dāng)不是原方程的解，是原方程的解時(shí)，，又，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．19.在城鎮(zhèn)化的舊房改造進(jìn)程中，小明家舊房拆遷拿到一套新房外加一間店面.小明準(zhǔn)備將店面改建成超市，遇到如下問(wèn)題：如圖所示，一條直角走廊寬為2米，現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板車希望能自如在直角走廊運(yùn)行.平板車平板面為矩形，它的寬為1米.直線分別交直線于，過(guò)墻角作于，于；請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)知識(shí)幫小明解決如下問(wèn)題：（1）若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且，試將平