橢圓的幾個重要幾何性質(zhì)分析目錄TOC\o"1-3"\h\u31228橢圓的幾個重要幾何性質(zhì)分析 1193881.焦半徑 1267551.1焦半徑的概念及推導(dǎo) 1243921.2焦半徑的應(yīng)用 1189702.焦點三角形 4145822.1焦點三角形的概念及面積公式推導(dǎo) 4185242.2焦點三角形的應(yīng)用 521543.通徑 6140663.1通徑的概念及推導(dǎo) 6294303.2通徑的應(yīng)用 7279074.橢圓上到焦點的距離最大和最小的點在橢圓長軸的兩個端點上[7]。 796624.1概念及推導(dǎo) 7131464.2應(yīng)用 8在這里我們就來探討四個書上沒有闡述但卻在高考中應(yīng)用廣泛的幾何性質(zhì)。1.焦半徑1.1焦半徑的概念及推導(dǎo)連結(jié)橢圓曲線上一點與對應(yīng)焦點的線段的長度，叫做橢圓曲線焦半徑。設(shè)是橢圓的一點，和分別是點與點的距離，那么（左焦半徑），（右焦半徑),其中是離心率。圖1推導(dǎo)：可得:。所以：1.2焦半徑的應(yīng)用例1:（2013年山東卷·理22）橢圓的左、右焦點分別是離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為1.(1)求橢圓的方程。(2)點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接設(shè)∠的角平分線交橢圓的長軸于點,求的取值范圍。解：（1）〈該題可參考3.通徑的性質(zhì)及應(yīng)用〉由離心率可得⑤通徑即⑥解⑤⑥，得.所以橢圓方程為（2）如圖所示，由于是∠的角平分線，則.圖2設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)橢圓的焦半徑公式，有：，解得.因為，所以.例2：點為橢圓的左、右焦點，且焦距為，是坐標(biāo)原點，點為橢圓上任意一點，且，成等比數(shù)列，則求橢圓的方程REF_Ref30453\r\h[4]。解：如圖所示，過點作?軸，垂足為;設(shè)，在?中有;即.⑦圖3由題意可得，，;又因為成等比數(shù)列；則有;由焦半徑公式；可得.⑧又點在橢圓上，所以有；⑨由⑦⑧⑨得，，故橢圓的方程為.例3:橢圓上的三個不同的點、、與橢圓的焦點之間的距離成等差數(shù)列，試求的值。解：在橢圓中，；根據(jù)焦半徑公式可得：；又因為成等差數(shù)列；所以有；則；故.例4：橢圓的焦點分別是，點在橢圓上?，F(xiàn)已知三點是一個直角三角形的三個頂點，且有，求的值。解：由橢圓的方程可知，；則，；不妨設(shè)，則由題意可知為左焦半徑、為右焦半徑；由焦半徑公式，；若∠為直角，則;即，得；故.（2）若∠為直角，略。2.焦點三角形2.1焦點三角形的概念及面積公式推導(dǎo)橢圓的焦點三角形是指以橢圓的兩個焦點與橢圓上任意一點為頂點組成的三角形。性質(zhì)：（1）；（2）；（3）周長；（4）面積=（∠).推導(dǎo)：如圖，圖4在?中，設(shè)∠;由余弦定理：;又因為.REF_Ref30639\r\h[5]2.2焦點三角形的應(yīng)用例1：焦點為的橢圓上有一點，若有,求?的面積。解：由題,則;又.例2：在橢圓中，、是它的左、右焦點，是橢圓短軸的上端點，是橢圓上異與頂點的點，試證明：∠>∠。解：如圖，設(shè)點的縱坐標(biāo)為；圖5則??;所以;即;又因為為銳角；所以得證。例3：如圖所示，,是橢圓與雙曲線的公共焦點，點分別是橢圓與雙曲線在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，求的離心率REF_Ref30639\r\h[5]。解：由題可知：；;則?；又?；圖6所以；則的離心率.3.通徑3.1通徑的概念及推導(dǎo)橢圓通徑長指的是橢圓的通徑就是過焦點垂直于長軸的直線與橢圓相交所得的線段。橢圓中的通徑是通過焦點最短的弦。推導(dǎo):設(shè)橢圓，焦點,且;令；所以；所以或；即通徑兩端點為，或者所以通徑長為。3.2通徑的應(yīng)用例1：已知橢圓的右頂點為,過的焦點且垂直軸的直線被橢圓所截得的弦長為1，求橢圓的方程REF_Ref30867\r\h[6]。解:根據(jù)題意可知，，通徑長；則橢圓.例2：已知橢圓的左、右焦點為、,點在橢圓上。如果線段的中點在軸上，那么線段、的長度有什么數(shù)量關(guān)系REF_Ref30867\r\h[6]。解：由題目知：的中點在軸上，的中點是原點，則有；又；又因為;所以有.例3：橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓所截得得線段長為，求橢圓的方程。解：由題意，過點且與軸垂直的直線被橢圓所截得得線段長為；可得：；又離心率；由上式子得：；故橢圓的方程為：.4.橢圓上到焦點的距離最大和最小的點在橢圓長軸的兩個端點上REF_Ref31031\r\h[7]。4.1概念及推導(dǎo)即橢圓上的動點到其中一個焦點的距離的最大值是,最小值是.推導(dǎo)：設(shè)橢圓為左右焦點分別為,，所以。設(shè)為橢圓上的動點；因為在?中，.*由橢圓的第一定義可知.⑩將⑩代入*式中得到.4.2應(yīng)用例：1.如圖，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道，是以地心(地球的中心)為一個焦點的橢圓。已知它的近地點(離地面最近的點)距地面439km,遠(yuǎn)地點(離地面最遠(yuǎn)的點)距地面2384km,并且,在同一直線上，地球半徑約為6371km.求:(1)衛(wèi)星運行的軌道方程(精確到1km);(2)略。REF_Ref31031\r\h[7]解：(1)建立直角坐標(biāo)系，使得點在軸上；為橢圓的右焦點，記為左焦點；圖7因為橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故有,解得所以有.所以衛(wèi)星運行的軌道方程為：.例2:已知橢圓上的一點到焦點距離的最大值為4，最小值為2，求橢圓的方程REF_R